东湖区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

东湖区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）
A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435 2． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A ．2日和5日 B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
3．
已知双曲线
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2
关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．1＜e
＜ B ．e
＞ C ．e
＞
D ．1＜e
＜
4．
若双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．2
5． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
6． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ） A
．
B
．
C ．2
D ．4
7． 设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2
')()(2x x xf x f >+，则不等式
0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为
A 、)2012
,(--∞ B 、)0,2012(- C 、)2016,(--∞ D 、)0,2016(- 8． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）
A B ． C D ．2 10．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
11．如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）
A ．
B ． C. D ．1111]
12．在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8
C ．6
D ．4
二、填空题
13．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；
⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．
14．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
15． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
16．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是 17．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为 （用数字作答）
18．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()1
e e
x
x f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()
2
240f x f x -+-<的解集为________．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a 的取值集合A
（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a
．
20．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．
（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围； （2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．
21．已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，
过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△F 2PQ 面积的最小值．
22．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256
log ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
23．已知函数f （x ）=2x ﹣，且f （2）=． （1）求实数a 的值； （2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
24．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*
2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
东湖区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11
2527
22n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 2． 【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C ．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3． 【答案】B
【解析】解：设点F 2（c ，0），
由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上， 由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ， 则MO==
c ，∠MF
1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，
设直线PF 1：y=
（x+c ），
代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2
=0，
则方程有两个异号实数根，
则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2
，即c ＞
a ，
则有e=＞．
故选：B ．
4． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x ﹣2）2
+y 2
=2的圆心（2，0），半径为
，
双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，
可得：
， 可得a 2
=b 2
，c=
a ，
e==．
故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
5． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
6． 【答案】A
【解析】解：分两类讨论，过程如下：
①当a ＞1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是增函数， ∴f （x ）=a
x ﹣1
+log a x
在[1，2]上递增，
∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，
∴log a 2=﹣1，得a=，舍去；
②当0＜a ＜1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是减函数， ∴f （x ）=a
x ﹣1
+log a x
在[1，2]上递减，
∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，
∴log a 2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A ．
7． 【答案】C.
【解析】由，
得：， 即
，令
，则当
时，
，
即在是减函数，，
，，
在是减函数，所以由得，，
即，故选
8．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
9．【答案】C
【解析】
考点：余弦定理．
10．【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．
故答案选D．
11．【答案】A
【解析】
考点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，
题目新颖，属于中档试题.
12．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】②③④
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；
对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，
如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；
对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
14．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P 2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P 2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
15．【答案】①②④ 【
解
析】
16．【答案】(],1-∞ 【解析】
试题分析：函数(){}
2
min 2,f x x x =-的图象如下图：
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

17．【答案】 15
【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），
∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，
根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种 故答案为：15．
【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．
18．【答案】()32-，
【解析】∵()1e ,e x x f x x R =-
∈，∴()()11x
x x x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭，即函数()f x 为奇函数，又∵()0x
x
f x e e
-=+>'恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f x f x -+-<可转化为
()()224f x f x -<-，即224x x -<-，解得：32x -<<，即不等式()()
2240f x f x -+-<的解集为
()32-，，故答案为()32-，. 三、解答题
19．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x ﹣10|+|x ﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min ＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x ﹣10|+|x ﹣20|≥|（x ﹣10）﹣（x ﹣20）|=10， 即（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min =10， 所以，10＜10a+10，解得a ＞0，
所以，实数a 的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a ，b ∈（0，+∞）且a ≠b ，
∴不妨设a ＞b ＞0，则a ﹣b ＞0且＞1，
则
＞1恒成立，即
＞1，
所以，a a ﹣b ＞b a ﹣b
，
将该不等式两边同时乘以a b b b
得，
a a
b b ＞a b b a ，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
20．【答案】 【解析】解：（1）当m=0时，f （x ）=﹣1＜0恒成立，
当m ≠0时，若f （x ）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F 1M
：，令x=4，得P （4
，），同理，Q （4
，
），
∴
=
||=15×
|
|=180×
|
|，
令μ
=∈[1
，
），则=180
×，
∵
y=
=
在[1
，
）上是增函数， ∴当μ=1时，即t=0
时，（
）min
=
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
22．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．
Ⅱ 由8
82222222562log ()log log 28212
n n n n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；
当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=2x ﹣，且f （2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数，定义域为{x|x ≠0}关于原点对称…（3分）
∵=
，
∴函数
为奇函数．…（6分）
（3）函数f （x ）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）
任取x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＜x 2，则
=
…（10分）
∵x 1，x 2∈（1，+∞）且x 1＜x 2∴x 2﹣x 1＞0，2x 1x 2﹣1＞0，x 1x 2＞0 ∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， ∴f （x ）在（1，+∞）上是增函数 …（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
24．【答案】（1）102n a n =-；（2）2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．。