高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程课件 新人教版选修4

来自抛物线的顶点连线的斜率的倒数．
3．几个结论
(1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为
x2 b2
＋
y2 a2
＝1(a>b>0)，其参
数方程是
x＝bcosφ， y＝asinφ
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
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(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝ ＝batsaencφφ， (φ为参数)．
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解析 (1)椭圆的标准方程为1x62 ＋2y52 ＝1.
∴c＝3，∴2c＝6.
(2)对比双曲线的参数方程可知：a＝1，b＝ 3 ，且双曲线的
中心在原点，焦点在y轴上，故其渐近线为y＝±
3 2
x，则两条渐近
线所夹的锐角是60°，此题也可将双曲线的参数方程转化为普通方
程再求解．
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x2 3
＋
y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
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解
因为椭圆
x2 3
＋y2＝1的参数方程为
x＝ 3cosφ， y＝sinφ
(φ为参
数)，故可设动点P的坐标为( 3cosφ，sinφ)，其中0≤φ<2π.
因此，S＝x＋y＝ 3cosφ＋sinφ＝2sinφ＋π3. 所以，当φ＝6π时，S取得最大值2.
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第二讲 参数方程
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二 圆锥曲线的参数方程
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共33页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 1.理解椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，了解参数的几何 意义． 2．掌握椭圆的参数方程在计算最值问题中的应用，了解双曲 线、抛物线的参数方程在计算中的应用． 3．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方 程表示更方便，感受参数方程的优越性.
x－22 4
＋(y－1)2＝
1.
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规律技巧 本题的解法体现了应用参数方程对于解决相关问 题的优越性，使用参数方程解决相关问题方法简单，运算更简 便．
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变式训练2 已知抛物线y2＝2px过顶点的两弦OA⊥OB，求以
OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹． 解 抛物线的参数方程为xy＝＝22pptt2， (t为参数)．
(3)另三种情况抛物线的参数方程如下：
普通方程
参数方程
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
(t为参数)
x2＝－2py(p>0)
x＝2pt， y＝－2pt2
(t为参数)
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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又OA⊥OB，kOA＝t11，kOB＝t12，∴kOA·kOB＝－1. ∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0. ∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．
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【例3】 已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2 ＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值．
设A(2pt
2 1
，2pt1)，B(2pt
2 2
，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为
x2＋y2－2pt
2 1
x－2pt1y＝0，以OB为直径的圆方程为x2＋y2－2pt
2 2
x－
2pt2y＝0，即t1，t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝
－x2＋y2 2px .
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由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
第二十三页，共33页。
x＝6＋0＋3 6cosθ＝2＋2cosθ， y＝0＋3＋3 3sinθ＝1＋sinθ.
由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为
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当tanθ＝1，即θ＝4π时，|O1Q|2取最小值3， 此时有|O1Q|min＝ 3. ∴|PQ|min＝ 3－1.
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规律技巧 利用双曲线的参数方程，可以求目标函数的最 值，这是常见题型的解题方法，一定要熟练掌握．
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变式训练3
在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程
x＝2pt2， y＝2pt
(t为
参数)中参数t的几何意义是什么？
提示 由抛物线参数方程的推导过程可知，参数t表示抛物线
上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
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名师点拨 1.圆、椭圆、双曲线的参数方程
圆、椭圆、双曲线的参数方程如下表：
点所在的 x2＋y2＝r2
曲线
ax22＋by22＝1
ax22－by22＝1
参数方程
x＝rcosθ， y＝rsinθ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
x＝acosφ， y＝bsinφ
x＝asecφ， y＝btanφ
(acosφ，bsinφ) (asecφ，btanφ)
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这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于：
变式训练1
(1)已知椭圆的参数方程为
x＝4cosθ， y＝5sinθ
(θ为参
数，θ∈R)，则该椭圆的焦距为________．
(2)双曲线
x＝ 3tanθ， y＝secθ
(θ为参数)那么它的两条渐近线所夹
的锐角是________．
(3)抛物线xy＝＝22pptt，2 (p>0，t为参数)的准线方程是________．
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1.椭圆的参数方程
课前预习
椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的一个参数方程为：
x＝ y＝
，
(φ为参数)．
它表示中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程．
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2．双曲线的参数方程 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的参数方程为：
x＝asecφ， y＝
典例剖析 【例1】 写出下列圆锥曲线的参数方程． (1)x－312＋y＋522＝1； (2)x2－y2＝4； (3)y2＝4x.
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【解】
(1)由题意可设xy－＋3512＝＝csionsθθ，，
即
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
(θ为参数)为所求．
(2)x2－y2＝4变形为：x42－y42＝1.
中的参数φ与圆的
参数方程xy＝＝rrcsionsθθ， 中的参数θ的意义有何区别？ 提示 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数φ是椭圆上的
点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角，
而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的φ称
为点M的离心角．
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思考探究2
(φ为参数)，φ∈[0,2π)，且φ≠2π，φ≠32π.
3．抛物线的参数方程
抛物线y2＝2px(p>0)的一个参数方程为：
x＝2pt2， y＝
(t为参数).
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自我 校对
1.acosφ bsinφ 2.btanφ 3.2pt
第七页，共33页。
思考探究1
椭圆的参数方程
x＝acosφ， y＝bsinφ
∴参数方程为xy＝＝22staencαα， (α为参数)．
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(3)y2＝4x，令x＝4t2，则y＝4t. ∴参数方程为xy＝＝44tt2， (t为参数)．
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规律技巧 (1)应熟悉圆锥曲线参数方程的一般形式；(2)普通 方程化参数方程时，表达式不唯一．
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(1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
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2．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝ ＝22pptt2，
由于
y x
＝
1 t
，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与
第二十八页，共33页。
【解】 圆具有对称性，可转化为用参数法求Q到圆心的距 离的最小值．
设Q(secθ，tanθ)， 易知O1(0,2)， 则|O1Q|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4) ＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.
(3)抛物线的标准方程为x2＝2py， ∴准线方程为y＝－p2. 答案 (1)6 (2)60° (3)y＝－p2
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【例2】
已知A、B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方
程．
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【解】 如图所示：