人教A版选修2-3高二下学期期中考

y
x
12
1
o
P
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
腾八中2015-2016学年高二下学期期中考
数学试卷（文）
第 I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．)
1．设集合{
}
2
41A x x =≤，{}
ln 0B x x =<，则A B ⋂=
A ．11
(,)22
-
B ．1(0,)2
C ．1[,1)2
D ．1(0,]2
2．设p:l<x <2，q ：2x>1，则P 是q 成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知复数11i
z i
-=
+，则2016z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
4．口袋中有四个小球，其中一个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则取到的两个球同色的概率为
A ．
16 B ．12 C ．14 D ．34
5．已知x ，y 满足约束条件10,
20,2,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则目标函数2z x y =-的最大值为
A ．1
2
- B ．1 C ．4 D ．5
6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象过点1(0,)2
P ，如图， 则ϕ的值为
A ．
6π B ．56π C ．6π或56π D ．6
π-或56π
7．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点(1,1)P ，且其两条渐近线的方程分别为20+=x y 和
20x y -=，则双曲线C 的标准方程为
A ．224133x y -
= B ．22
4133x y -= C ．224133x y -= 或224133x y -= D ．22
4133
-=y x 8．如图，给出的是求111246+++ (1)
20
+的值的一程序框图，
则判断框内填入的条件是
A ．10i ≥
B ．10i ≤
C ．9≥i
D ．9≤i
9．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是
半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 10．下列说法错误的是
A ．命题“若2x －5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2
x －5x ＋6≠0”
B ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假
C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥2
(
)2
x y ＋”的充要条件 D ．若命题p ：0x ∃∈R ，2
0x ＋0x ＋1＜0，则p ⌝：x ∀∈R ，2
x ＋x ＋1≥0 11． 已知数列{}n a 为等差数列，且公差0d
>，数列{}n b 为等比数列，若110=>a b ，
44a b =，则
A ．77a b >
B ．77a b =
C ．77a b <
D ．7a 与7b 大小无法确定 12．过点P(l ，一3)的直线l 截圆x 2 +y 2 =5所得弦长不小于4，则直线l 的倾斜角的取值
否
是
1
S S n
=+
输出S 2n n =+ 1i i =+
结束
开始
0,2,1S n i ===
?
0.050 组距
频率
0.125 0
2
4
6
8
10
分数
0.025
0.075 0.100 0.150 0.175 范围是 A ．[
6π，3π] B ．[3π，23π] C ．[2
π，56π
] D ．[23π，π]
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知圆2
2
:(2)(1)5-+-=M x y ，则过点(0,0)O 的圆M 的切线方程为 ．
14．已知α，β∈（0，π），cosa=
1213，cos （α十β）=3
5
，则cos β= ． 15．已知双曲线22
22x y a b
-=l （a>0，b>0）的一条渐近线与直线2x+y 一3=0垂直，则该双曲
线 的离心率为_______．
16．四棱锥P ABCD -的底面是边长为22的正方形，高为1，其外接球半径为22，则
正方形ABCD 的中心与点P 之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
已知()2sin
(3cos sin )1222x x x
f x =-+ （Ⅰ）若2[,]63
x ππ
∈，求()f x 的值域；
（Ⅱ）在ABC ∆中，A 为BC 边所对的内角若()2f A =，1BC =，求AB AC ∙uu u r uuu r
的最
大值．
18．（本小题满分12分）
某汽车公司为了考查某4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S 店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第四、五组的频率；
（Ⅱ）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．
19．（本小题满分12分）
定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直， 则这条直线垂直于斜线。

试证明此定理：如图所示：若PA α⊥，A 是垂足，斜线,,PO O a a AO αα⋂=⊂⊥， 试证明a PO ⊥
20．（本小题满分12分）
已知抛物线)0(2:2
>=p py x C ，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16||=MN ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0，4)，若动圆P 与x 轴交于A 、
B 两点，且||||DB DA <，求
||
||
DA DB 的最小值． 21．（本小题满分12分）
已知函数()ln 1f x x x =-+，函数()=g x ax
4-x x ，其中a 为大于零的常数． （Ⅰ）求函数
()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求证：()2()2(ln ln 2)g x f x a -≥-．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点Q ，AC 平分DAB ∠，AP 为梯形ABCD 外接圆的切线，交BD 的延长线于点P ．
e P
O
A
a
（Ⅰ）求证：2PQ PD PB =⋅； （Ⅱ）若3AB =，2AP =，4
3
AD =
，求AQ 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 222x t
y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数)， 在以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为2
213sin ρθ
=
+．
（Ⅰ）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|1||21|=-+-f x x x ． （Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；
（Ⅱ）若x R ∀∈，不等式()≥f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．
A
B C
D
P
Q
数学试卷（文史类）答案
一、选择题
DAAB CABB ABCC 二、填空题
13．2y x =- 14．
65
5615．25 16．22
17．（Ⅰ）()3sin cos 2sin()6
f x x x x π
=+=+
， -------------3分
2[,]63x ππ∈5[,]636
x πππ
∴+∈，()f x ∴的值域为[1,2]；-------------6分
（Ⅱ）
()2f A =，sin()16A π∴+=，3
A π
∴=，
2
2
2
1
cos 22
AB AC BC A AB AC +-∴==
-------------9分
2
2
121AB AC AB AC AB AC ∴=+-≥-，1AB AC ∴≤
11
cos 22
AB AC AB AC A AB AC ∴⋅==
≤． AB AC ∴⋅的最大值为1
2
． -------------12分
18．解：(1)由直方图知，第四组的频率为35.02175.0=⨯，第五组的频率为30
.0215.0=⨯所以第四、五组的频率分别为35.0和3.0． ………………………4分
(2) 由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A ，B ，第三组有4人，设为a,b,c,d ． 从中随机抽取2人的所有情况如下：
AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种．…8分 其中，两人来自不同组的情况共有8种， ………………………10分
所以，得到奖励的人来自不同组的概率为
15
8
． ………………………12分 19．（(1)证明：αα⊂⊥a ，PA a ⊥∴PA
AO ⊥a PA AO A ⋂=又 PAO 平面⊥a
PO PAO PO ⊥∴⊂a 平面-．
20． 解：(1) 设抛物线的焦点为)2
,
0(p F ，则直线2:p
x y l +=，
由⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=py x p x y 222，得022
2=--p px x ………………………2分
p x x 221=+∴，p y y 321=+∴，
164||21==++=∴
p p y y MN ，4=∴p ………………………4分 ∴抛物线C 的方程为y x 82
= ………………………5分
(2) 设动圆圆心)0,(),0,(),,(2100x B x A y x P ，则02
08y x =， 且圆2
0202020)4()()(:-+=-+-y x y y x x P ，
令0=y ，整理得：01622
002=-+-x x x x ，
解得：4,40201+=-=x x x x ， ………………………7分
32
816132832816
)4(16)4(|||
|02
00
02002
02
020++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x DB DA ，…………9分 当00=x 时，
1|
||
|=DB DA ， 当00≠x 时，
0328161||||x x DB DA ++-=，00>x ，2832
00≥+
∴x x ，
122232
8816
1||||-=-=+-≥DB DA ，112<-
所以
|
||
|DB DA 的最小值为12-． ………………………12分 21．（1）解：x
x
x f -=
'1)(，----------------------------------------------------------------1分 令()0>'x f 得10<<x ，则()x f 在()1,0上单调递增；
令()0<'x f 得1>x ，则()x f 在()+∞,1上单调递减。

---------------------3分
（2）()()2ln 222---=-x x axe x f x g x
.令()22ln 2---=x x axe x F x
，---------4分
则()()()
21
21-+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
+='x x
axe x
x x ae x x F ， 令()2-=x
axe x G ，
则()()01>+='x
e x a x G ，故()x G 在()+∞,0上单调递增。

-------------------------6分
而()020<-=G ，01222
>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a e a G ，故存在⎪⎭⎫
⎝⎛∈a x 2,00，使得()00=x G ， 即020
0=-x e
ax 。

---------------------------------------------------------------------------8分
则()0,0x x ∈时，()0<'x G ，故()0<'x F ；()+∞∈,0x x 时，()0>'x G ，故()0>'x F 。

则()x F 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，------------------------------------10分 故()()()000000ln 22ln 220
x x x x e
ax x F x F x +-=---=≥
()
2ln 2ln 22
ln
2ln 200-=-=-=a a
e x x 。

故()()()2ln ln 22->-a x
f x a
g 。

--------------------------------------------------------------12分 22． (1)
PA 为圆的切线∴PAD ABD ∠=∠，AC 平分DAB ∠BAC CAD ∴∠=∠
PAD DAC BAC ABC PAQ AQP ∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠PA PQ
∴=PA 为圆的切线
2PA PD PB ∴=⋅2PQ PD PB ∴=⋅．-------------6分
(2)
PAD ∆PBA ∆92
PA PB PB AD AB ∴
=∴=
2PA PD PB =⋅8
9PD ∴=， 810
299
AQ DQ PA PD ∴==-=-=．-------------12分
23．(1) 2
212:2320,:14
x C x y C y --=+=．-------------6分
(2)设()2cos ,sin B θθ，则22cos 322cos 2sin 32455
AB πθθθ⎛
⎫+-- ⎪--⎝
⎭==
， 当且仅当()24
k k Z π
θπ=-
∈时min 210
55
AB =
=．-------------12分 24．(1) {
0x x ≤或43x ⎫
≥
⎬⎭
．-------------6分 (2)当0x =时， ()2,0f x a x ==，原式恒成立； 当0x ≠时，原式等价转换为11
12a x x
-
+-≥恒成立，即min 1112a x x ≤-+-．
111112121x x x x ⎛⎫⎛⎫-
+-≥---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11120x x ⎛⎫⎛⎫
--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭即112x ≤≤时取等，
1a ∴≤．-------------12分。