安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试 数学理 含解析

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出
的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1.设p ∶2
2,x x q --＜0∶
12
x
x +-＜0，则p 是q 的
( ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
2。

若112
2
2
(21)
(1)
m m m +>+-，则实数m 的取值范围是
（ ）51
51
51
.(.[
).(1,2)
.[
A B C D -
----∞+∞-
3.若方程02
3
2
=--
k x x 在（—1，1)上有实根，则k 的取值范围为
( ）
A 。

)2
1,169[-- B 。

)2
5,21[-
C.)2
5,169[-
D 。

),16
9[+∞-
4.若()f x 是偶函数,且当[)0,x ∈+∞时，f (x) = x －1，则f (x －1） < 0的解集是 （ )
A ．{x |－1 < x < 0}
B ．{x ｜ x 〈 0或1< x 〈 2｝
C ．{x ｜ 0 〈 x 〈 2}
D ．｛x ｜ 1 〈 x < 2｝
5。

函
数f （x ） =Asin （()(0,0),1x A x ωϕω+>>=-和x=1是函数f （x ）图象相邻的两条对称轴，且x∈[-1，1］时f (x)单调递增,则函数y=f （x －1)的 （ ）
A ．周期为2，图象关于y 轴对称
B ．周期为2,图象关于原
点对称
C ．周期为4，图象关于原点对称
D ．周期为4,图象关于y 轴对称
【答案】D ．
6.要得到函数π
s i n (2)3
y x =-的图象，只需将函数）—（—πx 2cos y =的图象
（ )
A ．向左平移π6
个单位; B ．向左平移5π12
个单位； C ．向右平移5π12
个
单位； D ．向右平移π3
个单位
7。

已知0ω>，函数()sin()4
f x x πω=+在(,)2
ππ上单调递减，则ω的取值范围
是（ ）
A 、(0,2]
B 、1(0,]2
C 、13[,]24
D 、15[,]24
8。

把函数sin()0,||2y A x πωφωφ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭的图象向左平移3π个单位得到()y f x =的图象
A ．6
π- B ．6π
C 。

3
π
-
D. 3π
9。

定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数
)(x f y '=的图象如图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则
2
2
b a ++的取值范围是 （ )
A ．1
1(,)3
2
B ．()
1(,)3,2
-∞+∞
C ．1(,3)2
D ．(,3)-∞-
【答案】C ． 【解析】
642
2
4
6
510
A
B
O
P (-2,
-2)
10.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2
-+-=x x x f ,若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点,
则a 的取值范围是
（ ） A ．)2
2,
0( B ．)3
3,
0( C ．)5
5,
0( D ．)6
6,
0( 【答案】B ．
x
y
O
2
2
4
5
10
y
x g (x )=l
og a x +1()g (x )=l
og 33
x +1()
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.已知tan 125tan αα
+=-，则
sin cos sin 2cos αα
αα
+=-________________．
【答案】4． 【解析】 试题分析：
tan 1sin cos tan 131
2,tan 3,45tan sin 2cos tan 232
ααααααααα++++=∴=∴===----．
考点：利用三角函数恒等变换解决知值求值问题．
12.已知函数()x f 在[)+∞,0上是增函数，()()x f x g -=,若()()1lg g x g >,则x 的取值范围是________________．
13。

已知函数
⎩
⎨
⎧>≤≤=)1(log )
10(sin )(2013x x x πx x f ，若c b a ，，互不相等，且f(c)f(b)f(a)==,则c b a ++的取值范围是________________．
14。

已知函数
⎩
⎨⎧<≥++=)1-(),2()
1-(,)(2x -x-f x c bx ax x f ，在其图象上点(1，(1)f )处的切线方
程为12+=x y ，则图象上点（—3，(-3)f ）处的切线方程为________________．
15.设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠。

若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对一切x R ∈恒成
立，则 ①
11012
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
； ②
7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数;
④ ()f x 的单调递增区间是()2,63
k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．
以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （12分) 已知sin ,cos θθ是关于x 的方程()
2
0x ax a a R -+=∈的两个根．
（1)求)2
3sin()2
cos(θπθπ+++的值；
（2)求()1tan tan πθθ
--的值．
【答案】(1)
21
-；（2)
21
+．
()11sin cos 1tan tan ,tan tan cos sin sin cos θθπθθθθθθθθ⎛⎫
--
=--=-+=- ⎪⋅⎝⎭
代入即可求其值．
试题解析：由已知原方程判别式Δ≥0，即()2
40,0a a a --≥∴≤或4a ≥，又错误!
∴（sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0。

∴a ＝1－错误!或a ＝1＋错误!（舍去）．∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－错误!. （1))2
3sin()2
cos(θπθπ+++=—(sin θ＋cos θ）＝错误!-1
（2）tan （π－θ）－错误!＝－tan θ－错误! ＝－错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!＝错误!＋1. 考点：1．韦达定理；2．三角函数求值．
17.(12分）命题p:实数x 满足2
2430x
ax a -+<（其中0a >），命题q:实数x 满
足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02
3
21x-x x- (1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
(2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

考
点:1．常用逻辑用语（ “且"命题真值表、充分不必要条件）；2．简单不等式的解法．
18.（12分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知3C π=。

（Ⅰ）若2a =,3b =，求ABC ∆的外接圆的面积； （Ⅱ）若2c =，sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积。

【答案】(Ⅰ)73
π；(Ⅱ）23
ABC
S
∆=
（Ⅱ)
(),sin sin 2sin 2,A B C C B A A π++=+-=
()()()()2sin 2sin sin sin sin 2sin cos ,A A B B A A B B A B A π∴=-++-=++-=⎡⎤⎣⎦即
()2sin cos sin cos ,2sin sin cos 0,cos 0
A A
B A A B A A =∴-=∴=或2sin sin 0.A B -=
当cos 0A =时，,2A π=又2c =且2
,tan ,33C b
ππ=∴=即23b =此时12323
22ABC
S ∆=
⨯=
当2sin sin 0A B -=时,由正弦定理得2,b a =又2c =且2
21,442232
C a
a a a π=∴=+-⋅⋅⨯
（或得
到2B π=求解）,解得2
4,3
a
=
此时21323sin 23ABC
S
ab a π∆=
== 综上知
23
ABC S ∆=
…………………………………………………………………
………………………12分
考点：应用正余弦定理解三角形、求三角形的面积．
19.(13分)设函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x =． （1）记()g x '为()g x 的导函数，若不等式()2()(3)()f x g x a x g x '+≤+- 在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，对任意的1
20x
x >>，
不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立，
求m （m ∈Z ,m ≤1）的值．
试题
解析：(1）不等式()()()()23,f x g x a x g x '+≤+-即为()2
1ln 23,2
a x x a x x +≤+-化简得
()2
1ln .2a x x x x -≥-由[]1,x e ∈知ln 0x x ->，因而212,ln x x a x x -≥-设212,ln x x y x x
-=-由()()()()()
222
111
1ln 111ln 22.ln ln x x x x x x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+- ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭'==--
当()1,x e ∈时110,1ln 0,02
x x x y '->+->∴>在[]1,x e ∈上恒成立．
由不等式有解,可得知min
1,2a y
≥=-即实数a 的取值范围是1,.2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
20.(13分）设函数()*() ,,n
n
f x x
bx c n N b c R =++∈∈
（Ⅰ）设2n ≥,1b =，1c =-，证明：()n
f x 在区间1,12
⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点; (Ⅱ）设2n =，若对任意[]1
2
,1,1x x ∈-，均有
()()21224
f x f x -≤，求b 的取值范围.
试题
解析：（Ⅰ）2,1,1n b c ≥==-时,() 1.n
n
f x x
x =+-
()()111110,222n n n n f f f x ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⨯<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在区间
1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有零
点．……………………………………2分
()()
110,n n n f x nx f x -=+>∴在区间
1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内是单调递增函
数，………………………………………3分
()
n f x ∴在区间
1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零
点．…………………………………………………………………4分
21.（13分）已知2()3ln f x ax x x
=--，其中a 为常数。

(Ⅰ）当函数()f x 的图象在点22,33f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
处的切线的斜率为1时，求函数()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ)在(Ⅰ）的条件下，过点()1,4P -作函数[]2
()()3ln 3F x x f x x =+-图象的切线，
试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程。

【答案】（Ⅰ）()
()min
213ln 2f x f ==-;（Ⅱ）9
08
a <<
;（Ⅲ）510x y +-=．
故
()()()()2
122
3ln ,,x x f x x x f x x x --'=--=
由()0f x '=得
2.
x =……………………………2分
()(),f x f x '随x 的变化关系如下表：
x 3
2
3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
2 ()2,3
3
()f x ' -
0 +
()f x
↘ 13ln 2-
↗
……………………………………………………………………………………………………………………3分 于是可得：
()()min 213ln 2.
f x f ==-………………………………………………………
……………4分 （Ⅱ）
()()222
2332
0ax x f x a x x x x
-+'=+-=>…………………………………………………………5分 由题设可得方程2
320ax
x -+=有两个不等的正实根，不妨设这两个根为
12,,x x 并令()232,h x ax x =-+则12129803020a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩
（也可以()9803
00200a a a h ⎧∆=->⎪
⎪->⇒>⎨⎪⎪>⎩）,解得
9
0.8
a <<
…………8分
（Ⅲ）由(Ⅰ）()23ln 2,f x x x
=--故()()()()3
22320,3620F x x
x x x F x x x x '=-->=-->
………………………………………………………………………………………………………………9分 设切点为()0
0,,
T x
y 由于点P 在函数()F x 的图象上,。