高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人教A版必修1

课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解函数的概念，会求一般函数的零点，了解函数零点与方程根的关系 （2）会求二次函数的零点及零点个数的判定
衔接性知识
1.解下列方程：
（1）240x += (2)2
210x x -+=
（3）2320x x -+= （4）2
240x x -+=
2.求下函数的图象与
x 轴交点坐标：
（1）()24f x x =+ (2)2()21f x x x =-+ （3）2()32f x x x =-+ （4）2()24f x x x =-+
3.由上述1与2说明方程()0f x =与()y f x =的图象的交点之间有什么关系？
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.
(1)3
()x f x x
+=
(2)2()24f x x x =++ (3)2()44f x x x =++ (4)3()1log f x x =- (5)2()(23)(4)x f x x =--
解：(1)设
30x x +=，解得3x =-，所以函数3
()x f x x
+=的零点是3- (2) 设2240x x ++=，由于22414120∆=-⨯⨯=-<，所以方程2240x x ++=无实数根，从而2()24f x x x =++无零点.
(3) 设2440x x ++=，解得4x =-，所以函数2()44f x x x =++的零点为2-. (4)设31log 0x -=，解得3x =，所以函数3()1log f x x =-的零点为3.
(5)设2(23)(4)0x x --=，得23x =或2
4x =，所以2log 3x =或2x =±
从而函数2()(23)(4)x f x x =--的零点为2log 3，2与2-.
例2. 已知函数()2
f x x ax b ++=的两个零点是2和4-，求函数2()1
g x bx ax =++的
零点
解：因为函数()2
f x x ax b ++=的两个零点是2和4-
所以2
0x ax b ++=的两个根为2和4-，
所以2(4)
2(4)
a b -=+-⎧⎨
=⨯-⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩，2()821g x x x ∴=-++
令()0g x =，得2
8210x x --=，(21)(41)0x x ∴-+=，即12x =
或1
4
x =- 所以()g x 的零点为
12与14
- 例3.函数()2
1f x ax x --＝仅有一个零点，求实数a 的取值范围．
解：当0a =时，()1f x x =--，令()0f x =，得1x =-，此时()f x 仅有一个零点－1；
当0a ≠时，由()f x 仅有一个零点，得方程2
10ax x --=有两个相等的实数根，
140a ∴∆=+=，即1
4
a =-.
从而实数a 的取值范围是1{0,}4
-
例4. 已知二次函数2()f x ax bx c =＋＋，并且·
0a c <，判断函数()f x 的零点的个数 解：法1.
()()000c f a c a f =∴⋅=⋅<，，0(0)0a f >⎧∴⎨
<⎩或0
(0)0
a f <⎧⎨>⎩ ∴由二次函数的图象知()f x 有两个零点． 法2.
2040ac b ac <∴∆=->，，20ax bx c ∴=＋＋有两个不相等的实数根
∴()f x 有两个零点．
精练部分
A 类试题（普通班用）
1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23
解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=
，所以函数()23f x x =-的零点为3
2
，选C 2.函数()2230
2ln 0x x x f x x
x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：令2
230x x -=+，∴3x =-或1
03x x ≤∴=，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零
点．选C
3. 已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=
6()36f -=，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，
∴2
()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=
4．已知函数()2
f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2
()1g x bx ax ++=的零点
解：
()2f x x ax b =-+有两个零点2和3，
2
0x ax b ∴+=-的根为2和3，235
236
a b =+=⎧∴⎨
=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+= 令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13
x =- ∴()g x 有两个零点12-
和1
3
- 5．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0f
f αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，
()()20f a f b =-∴<=.
结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< B 类试题（3+3+4）（尖子班用）
1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3
(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23
解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=，所以函数()23f x x =-的零点为3
2
，选C 2.函数1
()f x x x
=+的零点个数为( ) A ．0个
B ．1个
C ．至少1个
D ．至多1个
解：易知函数定义域为{|0}x x ∈≠R ，令()0f x =，得1
0x x +=，即
210x x
+=，由0x ≠得2
1x =-，它无实数根，所以()f x 无零点，选A
3．函数()2230
2ln 0x x x f x x
x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：令2
230x x -=+，∴3x =-或1
03x x ≤∴=，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零
点．选C
4．函数()ln 1f x x =+，则函数()f x 的零点为 解：令()0f x =，得ln 1x =-，1x e ∴=
，所以函数()f x 的零点为1e ，填1
e
5．若函数()f x ax b ＝＋的零点是2，则函数()2
g x bx ax ＝－的零点是
解：由条件20a b +=，2b a ∴=-，(()21)g x ax x ∴=-+令()0g x =，
得0x =或1
2
x =-，所以()g x 的零点为0和12-
.填0和12
- 6．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0f
f αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，
()()20f a f b =-∴<=.
结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< 7．已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=
6()36f -=，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，
∴2
()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=
8．已知函数()2
f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2
()1g x bx ax ++=的零点
解：
()2f x x ax b =-+有两个零点2和3，
2
0x ax b ∴+=-的根为2和3，235
236
a b =+=⎧∴⎨
=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+= 令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13
x =- ∴()g x 有两个零点12-
和1
3
- 9．定义在R 上的偶函数()y f x =在(0]∞－，上递增，函数()f x 的一个零点为1
2
-，求满足14
(log )0f x ≥的x 的取值集合．
解：∵12-
是函数的零点，∴1()02f -=，∵()f x 为偶函数，∴1
()02
f =， ∵()f x 在(0]∞－，上递增，14
1
(log )0()2
f x f ≥=-，
∴14
1
0log 2x ≥≥-
，111444
log 1log log 2x ≥≥，∴12x ≤≤， ∵()f x 为偶函数，∴()f x 在[0,)+∞上单调减， ∵14
(log )0f x ≥，又14
1
(log )()2
f x f ≥，
∴14
10log 2x ≤≤
，1114441
log 1log log 2
x ≤≤，∴112x ≤≤，∴12≤x ≤2.
从而
112x ≤≤或12x ≤≤，即故x 的取值集合为1
{|2}2
x x ≤≤． 10．已知a R ∈，讨论函数2
(8)6||x f x x a =--+的零点的个数.
解：令()0f x =，得2
8|6|x x a +-=，令2
(|)8|6g x x x -+=，()h x a =，
则()f x 的零点的个数等于()g x 与()h x 的图象的交点的个数，在同一坐标系中画出()g x 与
()h x 的图象，如图所示，
2268(||(3)1||)g x x x x +=--=-，
下面对a 进行分类讨论，由图象得，
当0a <时，()g x 与()h x 的图象无交点，()f x 的零点的个数为0； 当0a =时，()g x 与()h x 的图象有3个交点，()f x 的零点的个数等于3； 当01a <<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，()f x 的零点的个数等于4； 当1a >或0a =时，()g x 与()h x 的图象有2个交点，()f x 的零点的个数等于2.。