《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)解答题+第四周+星期六

星期六 (解答题综合练) 2017年____月____日
1. 在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m ＝(cos A ，sin B )， n ＝(cos B ，sin A ).
(1)若a cos A ＝b cos B ，求证：m ∥n ；
(2)若m ⊥n ，a ＞b ，求tan A －B 2的值.
(1)证明 因为a cos A ＝b cos B ，
所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以m ∥n .
(2)解 因为m ⊥n ，所以cos A cos B ＋sin A sin B ＝0，
即cos(A －B )＝0，
因为a ＞b ，所以A ＞B ，
又A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(0，π)，
则A －B ＝π2，
所以tan A －B 2＝tan π4＝1.
2.如图，在三棱锥P －ABC 中，∠P AC ＝∠BAC ＝90°，P A
＝PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点.
(1)求证：直线DF ∥平面P AC ；
(2)求证：PF ⊥AD .
证明 (1)因为点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，
所以DF ∥AC ，
又因为DF ⊄平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，
所以直线DF ∥平面P AC .
(2)因为∠P AC ＝∠BAC ＝90°，
所以AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，
又因为AB ∩AP ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，
因为PF ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PF ，
因为P A ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF ⊥AB ，
因为AC ∩AB ＝A ，所以PF ⊥平面ABC ，
因为AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥PF .
3.某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P (x )件与月份x 的近似关系是：
P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *).
(1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式；
(2)若第x 月的销售量g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－21x ，1≤x ＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 2－10x ＋96，7≤x ≤12且x ∈N * (单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝10e x x ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403)
解 (1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39.
当x ≥2时，
f (x )＝P (x )－P (x －1)
＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x )
＝3x (14－x ).
由于x ＝1适合上式，∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *).
(2)设月利润为h (x )，
h (x )＝q (x )·g (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x （7－x ），1≤x ≤7，x ∈N *，103
x 3－100x 2＋960x ，7≤x ≤12，x ∈N *， h ′(x )＝⎩
⎨⎧30e x （6－x ），1≤x ＜7，x ∈N *，10（x －8）（x －12），7≤x ≤12，x ∈N *， ∵当1≤x ≤6时，h ′(x )≥0，
当6＜x ＜7时，h ′(x )＜0，
∴当1≤x ＜7且x ∈N *时，h (x )max ＝30e 6≈12 090，
∵当7≤x ≤8时，h ′(x )≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x )≤0，
∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)≈2 987.
综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元.
4.如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的上，下两个顶点为A ，B ，直线l ：y ＝－2，点P 是椭圆上异于点A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l 于点M ，设AP 所在的直线的斜率为k 1，BP 所在的直
线的斜率为k 2.若椭圆的离心率为32，且过点A (0，1).
(1)求k 1·k 2的值；
(2)求MN 的最小值；
(3)随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由.
解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方
程为x 24＋y 2＝1.
设椭圆上点P (x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1，
所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14
. (2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上，设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，由方程知x 2
4＋y 2＝1知，A (0，1)，B (0，－1)，
所以k BM ·k AN ＝－2－（－1）x 1－0·－2－1x 2－0＝3x 1x 2
， 又由(1)知k AN ·k BM ＝k 1·k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12，
不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则
MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2·12x 2
＝43， 所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3.
(3)设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，
则以MN 为直径的圆的方程为
(x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，
即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点，
则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0，
解得x ＝0，y ＝－2±23，
所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23).
5.已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R .
(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；
(2)设F (x )＝⎩
⎨⎧f （x ），x ＜1，g （x ），x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围.
解 (1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .
由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.
从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min
. 设t (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈[1，e].求导，得t ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2
. x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数.
所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1].
(2)F (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.
设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点.
假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP
→·OQ →＜0.
①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP →·OQ →＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3
＋t 2).
由于OP
→·OQ →＜0恒成立，a (1－t )ln(－t )＜1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )＜1恒成立.
当t ＜－1时，a ＜
1（1－t ）ln （－t ）恒成立. 由于1（1－t ）ln （－t ）
＞0，所以a ≤0. ②若－1＜t ＜1，且t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)，
则OP →·OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0，
即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t ≠0恒成立.
③当t ≥1时，同①可得a ≤0.
综上所述，a 的取值范围是(－∞，0].
6.已知数列{a n }的前三项分别为a 1＝5，a 2＝6，a 3＝8，且数列{a n }的前n 项和
S n 满足S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2，其中m ，n 为任意正整数.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)求满足S 2n －32
a n ＋33＝k 2的所有正整数k ，n . 解 (1)在等式S m ＋n ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2中，分别令m ＝1，m ＝2，得
S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，①
S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，②
②－①，得a n ＋2＝2n －3＋S 4－S 22.
在等式S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m 2)中，令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，
由题设知，S 2＝11，S 3＝19，故S 4＝29.
所以a n ＋2＝2n ＋6(n ∈N *)，即a n ＝2n ＋2(n ≥3，n ∈N *).
又a 2＝6也适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.
S n ＝⎩⎨⎧5， n ＝1，n 2＋3n ＋1， n ≥2.
即S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *. (2)记S 2n －32
a n ＋33＝k 2(*). n ＝1时，无正整数k 满足等式(*).
n ≥2时，等式(*)即为(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)＝k 2.
①当n ＝10时，k ＝131.
②当n ＞10时，则k ＜n 2＋3n ＋1，
又k 2－(n 2＋3n )2＝2n 2＋3n ＋31＞0，所以k ＞n 2＋3n .
从而n 2＋3n ＜k ＜n 2＋3n ＋1.
又因为n ，k ∈N *，所以k 不存在，从而无正整数k 满足等式(*). ③当n ＜10时，则k ＞n 2＋3n ＋1，因为k ∈N *，所以k ≥n 2＋3n ＋2. 从而(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)≥(n 2＋3n ＋2)2.
即2n 2＋9n －27≤0.因为n ∈N *，所以n ＝1或2.
n ＝1时，k 2＝52，无正整数解；
n ＝2时，k 2＝145，无正整数解.
综上所述，满足等式(*)的n ，k 分别为n ＝10，k ＝131.。