黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

哈师大附中2014-2015高二下学期期中考试数学试卷（文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对下列函数求导正确的是（ ）
A ．()2
x x '= B ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．()
1x x
'
=
D ．()1ln 22'= 2．已知i 为虚数单位，则1
i z i
-=
在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数4
y x x
=+
的单调递增区间为（ ） A ．(2,0)
(0,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,0),(0,2)- D ．(,2),(2,)-∞-+∞
4．下列函数中，在0x =处的导数不．
等于零的是（ ） A ．32y x x =+ B ．x y x e -=+ C ．2(1)y x e =- D ．sin y x x = 5．已知函数3()2(0)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 6．函数32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．2
D ．4
7．做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（ ）
A ．
1
2
分米 B ．1分米 C ．2分米 D ．4分米 8．直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点(1,5)，则a b -=（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2 9．函数32()31f x ax x x =-++恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,3)-∞
B ．(,3]-∞
C ．(,0)(0,3)-∞
D ．(,0)(0,3]-∞
10．已知函数21()sin()42
f x x x π
=++，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）
11．已知函数(),()x
f x e
g x kx k ==+，若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[0,)+∞
B ．[0,1)
C ．(0,1)
D ．(1,)+∞
O y
x
O y
x
O
y
x
O y
x
A
B C D
12．可导函数()f x 满足()()f x f x '<对x R ∈恒成立，则（ ）
A ．(1)(0)f ef <，2015(2015)(0)f e f <
B ．(1)(0)f ef >，2015(2015)(0)f e f <
C ．(1)(0)f ef <，2015(2015)(0)f e f >
D ．(1)(0)f ef >，2015(2015)(0)f e f > 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为____________．
14．函数2()1
x a
f x x +=-在0x =处取得极值，则a =____________．
15．经过点(2,0)且与曲线4
y x
=
相切的直线方程为____________． 16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）
已知函数()()2x
f x x e =-．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 在[]2,0上的最值． 18．（本题满分12分）
已知在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为2cos ,
3sin x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数
方程为11232
x t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 与直线l 相交于点,,A B 且定点P 的坐标为(1,0)．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值． 19．（本题满分12分）
已知函数()()32
1132
f x x ax x x R =
-+∈． （Ⅰ）若函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若1a =，当1x >时，求证：()1f x x >-．
已知函数()x mx x x f ln 2-+=．
（Ⅰ）当0=m 时，求曲线=y )(x f 在()()1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）令()()2x x f x g -=，当(]e x ,0∈（e 是自然常数）时，()3≥x g ，求实数m 的取值范围． 21．（本题满分12分）
已知函数36)2(2
3
)(23
-++-
=x x a ax x f ． （Ⅰ）当2-=a 时，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当2<a 时，讨论函数)(x f 零点的个数．
y
x
M
P
B A O
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22
，且经过点
(2,1)，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：AP ⊥OM ；
（Ⅲ）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
哈师大附中2014-2015高二下学期期中数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
A
D
C
B
C
C
A
C
D
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(0,2)； 14．0； 15．480x y +-=； 16．1
(0,)2
． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）()()1x f x x e '=-． …………2分
当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．
∴()f x 的单调减区间为(,1)-∞，增区间为(1,)+∞． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上递减，在[1,2]上递增．
又(0)2,(2)0f f =-=
∴max ()(2)0f x f ==；min ()(1)f x f e ==-． …………10分
18．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22
143
x y += …………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得
2213
3(1)4()1222
t t ++=，即254120t t +-=，△>0
设其两根为12,t t ，1212
5
t t ∴⋅=-
12121212
55
PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-
=． …………12分 19．解：（Ⅰ）由已知()2
10f x x ax '=-+≥，即21
x a x
+≤对()0,x ∈+∞恒成立．
∵0x >时，211
2x x x x
+=+≥（当且仅当1x =取等号） ∴2a ≤ …………5分 （Ⅱ）1a =时，()321132f x x x x =
-+，设3211
()132
g x x x =-+，则2()(1)g x x x x x '=-=- 当1x ≥时，()0g x '≥，∴()g x 在[1,)+∞单调递减． ∴当1x >时，5
()(1)06
g x g >=
>，即()1f x x >-． …………12分
20．解：（Ⅰ）当0=m 时，()2ln f x x x =-，
∴()1
2f x x x
'=-
，∴(1)1k f '==，又(1)1f = ∴切线方程为y x = …………4分
（Ⅱ）（方法一）
当(]e x ,0∈时，()ln 3g x mx x =-≥，即3ln x
m x
+≥
对(]e x ,0∈恒成立． 设3ln ()(0)x h x x e x +=<≤，则2ln ()x
h x x --'= 当210x e <<时，()0h x '>；当21
x e e
<<时，()0h x '<
∴()h x 的增区间为21(0,)e ，减区间为21
(,)e e
∴2
max 21()()h x h e e
==
∴2
m e ≥． …………12分
（方法二）
()ln (0)g x mx x x e =-<≤，则()1
g x m x
'=-
当(]e x ,0∈时，11
x e
≥
①1
m e
≤时，()0g x '≤，∴()g x 在(]0,e 单调递减
∴()min ()10g x g e em ==-≤矛盾，（舍） ②1
m e
>
时， 当10x m <<时，()0g x '<；当1
x e m
<<时，()0g x '>
∴()g x 在1(0,)m 单调递减，1
(,)e m 单调递增
∴()min 1()1ln 3g x g m m
==+≥，解得2
m e ≥
综上，实数m 的取值范围为2
[,)e +∞． …………12分 21．解：())1)(2(36)2(332
--=++-='x ax x a ax x f
（Ⅰ）当2-=a 时，())1)(1(6-+-='x x x f 令()x f '=0得1,121-==x x
x
)1,(--∞
1-
)1,1(-
1
),1(+∞
()f x ' - 0 + 0 - ()f x
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴7)1()(-=-=f x f 极小值，1)1()(==f x f 极大值． …………4分 （Ⅱ）())1)(2(36)2(332--=++-='x ax x a ax x f …………5分 ①若0=a ，则2)13)(--=x x f （，由()0f x =，得1x =
∴)(x f 只有一个零点． …………6分 ②若0<a ，则
12
<a
∴当a x 2<
或x ＞1时，()x f '＜0；当12
<<x a
时，()x f '＞0 ∴)(x f 的单调递减区间为2
(,)a -∞和),1(+∞，单调递增区间为2(,1)a
∵=极大值)(x f 02)1(>-
=a
f ，且=极小值)(x f 2246()30f a a a
=-+-< ∴)(x f 有三个零点． …………9分 ③若20<<a ，则12>a
∴当1<x 或a x 2>
时，()x f '＞0；当12
<<x a
时，()x f '＜0 ∴)(x f 的单调递增区间为(,1)-∞和2
(,)a +∞，单调递减区间为2(1,)a
∴=极大值)(x f 02
)1(<-
=a
f ∴)(x f 有一个零点． …………11分
综上，02a ≤<时，)(x f 只有一个零点；
0<a 时，)(x f 有三个零点． …………12分
22．解：（Ⅰ）由已知
22
c a =，则222a b =，又22211a b +=，∴22
4,2a b ==
∴椭圆C 的方程为22
142
x y += …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0),(2,0)A B -，直线BM 斜率显然存在，设BM 方程为(2)y k x =-，则
(2,4)M k --
由22(2)
142
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得2222(21)8840
k x k k +-+-=，△>0
则
2
2
84
2
21
P
k
x
k
-
=
+
，∴
2
2
42
21
P
k
x
k
-
=
+
，
2
4
(2)
21
P P
k
y k x
k
-
=-=
+
，即
2
22
424
(,)
2121
k k
P
k k
--
++
………7分
又
2
22
84
(,)
2121
k k
AP
k k
-
=
++
，(2,4)
OM k
=--
∴
22
22
1616
2121
k k
AP OM
k k
-
⋅=+=
++
，即AP⊥OM．…………10分
（Ⅲ）
2222
2222
424841684
(,)(2,4)4
21212121
k k k k k
OP OM k
k k k k
---+++⋅=⋅--===
++++
∴OP OM
⋅为定值4．…………12分。