湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题

教学合作2015届高三年级十月联考试题
数学（理科）
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1
、已知集合2
{|{|
0}2
x A x y B x x +==
=≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是
（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．
（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
4、已知12515111
(),log ,log 533
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．a c b >>
D ．c b a >> 5
、将函数2cos2y x x -的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得图象对应的函数()g x A
1 B ．对称轴方程是7,12
x k k Z π
π=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,
]1212
ππ
上单调递增
6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-
(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx =⎰
⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上
的一组“等积分”函数，给出四组函数：
①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③(
)()2
34
f x
g x x π==
； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8、已知222
1a b c ++=，
21c x x m
++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m
的取值范围是
A ．[)8,+∞
B ．(]
[),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞
9、已知由不等式组0
0240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪
⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若
N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是
A ．8-
B ．7-
C ．6-
D ．4- 10、已知函数()()2
212,3ln 2
f x x ax
g x a x b =
+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是
A ．6136e
B ．616e
C ．2372e
D ．2
332
e
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上
11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12
120()()
x x f x f x -<-，
则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3
AB AC A π
===，若AO xAB yAC =+，
则23x y +=
14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04
π
ρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过
交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)
lg x a y a x
-+=-的定义域为集合B ．
（1） 若1
2
a =
，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．
18、（本小题满分12分）
据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，
其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．
（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．
19、（本小题满分12分）
某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：
()[]
244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8
π
ω∈．
（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？
20、（本小题满分13分）
已知函数()()2
2
(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）
（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区
间；
（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．
21、（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：当1x >时，1
2ln x x x
<-
； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t
++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围；
（Ⅲ）求证：19291()10e
<
教学合作2015届高三年级十月联考试题
数学（理科）答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}A
B x x =-≤≤-.故选D.
2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C
3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.
4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<
，而
1211
()52
a ==<，
1
55511
log log 3log 3
2c ==>=，所以有c a b >>，故选B.
5．解析：D
化简函数得2cos 22sin(2)6
y x x x π
=-=-
，所以2()2sin(2)3
g x x π
=-
易求最大值是2，周期是π，由22()32
x k k Z ππ
π-=+∈，得对称轴方程是7()122
k x k Z ππ=
+∈ 由27222()2
321212
k x k k x k k Z π
ππππ
ππππ-
+≤-
≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表
示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表
示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .
7．解析：C 对于①，
1
101
11
1
()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰
⎰⎰⎰，或者利用积分的几
何意义（面积）直接可求得1
1()2f x dx -=⎰，而11
1
2
111
1()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①
是一组“等积分”函数；对于②，
1
1
1
1
()sin 0f x dx xdx --==⎰
⎰，而
1
1
1
1
()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰
⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的
图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，
故
1
1
1
()2
f x dx π
--==
⎰
⎰
，而
11
1
2311131()|442g x dx x dx x π
ππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数
(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积
分的几何意义，可以求得函数的定积分1
1
1
1
()()0f x dx g x dx --==⎰
⎰，所以④是一组“等积分”函数，
故选C
8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,
即3232≤++c b a ,
即2c +的最大值为3
，当且仅当22221c a b c ==++=⎩
时等号
成立；
21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即
13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.
9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪--≤⎩
所表示的
平
面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为
8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，
当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.
由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩
可得242(,)11k D k k ---，依题意应有12
2||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）
故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为11
22
y x z =-，1
12
<所以当直线1122y x z =
-过点D 时，截距1
2
z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D
依题意：()2f x x a '=+，2
3()a g x x
'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为
00(,)P x y ，所以22
000002
0000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩
或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此222200015
23ln 3ln (0)22
b x ax a x a a a a =
+-=-> 构造函数22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，由()2(13l n )h t
t t '=-，当13
0t e <<时，
()0h t '>即()h t 单调递增；当13
t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以12
3
3
max 3()()2
h t h e e ==即为实数b 的最大
值.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11．解析
： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为
01
||cos120||2
b b =-，问题转化为求||b ，
因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331
||b +=
所以b 在
a 上的投影为.
12．解析：1
{|}2
x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)
+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12
x >
， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2
x R x ∈>.
另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2
f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2
x R x ∈>. 13．解析：
5
3
如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可
得
|||A B A O A
⋅=⋅，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=
依题意有
2
644832AB AO x AB y AC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，
同理2
4814472AC AO x AB AC y AC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5
233
x y +=
14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；
因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有
2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+
15．解析： sin 2ρθ=-
曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其
方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得22
0(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩
，解
之得22
x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，
对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：
（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为1
2
a =
函数2
9(2)4lg =lg
12x x a y a x x --+=--，由9412
x x -->0， 可得集合19
={|}24B x x <<…………2分
19
{|}24
U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分
故9
(){|3}4
U
A B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆
由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足
2(2)
0x a a x
-+>-， 因为2
2
17
2()02
4
a a a +-=-+
> 故2
{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：
2
2
23a a ≤⎧⎨+≥⎩
， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤
所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分
17．（本小题满分12分）
解析：
（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以
22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：
sin cos tan 1A A A =⇒=，
故有4
A π
=
. …………………6分
（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理
24sin a
R A
==
，所以a = 由余弦定理可得：222
2cos a b c b c A =+-⋅⋅，
化简得：2
40c --=
，解得：c =分
18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：
直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以
1
412242
s =
⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213
322s t t t =
⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，1
1030(10)30301502
s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，
21
150300(20)(27030)705502
s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分
综上可知s 随t 变化的规律是
2
23[0,10]230150(10,20]70550(20,35]t
t s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪
=-∈⎨⎪
⎪-+-∈⎪⎩
………………………………………7分 （Ⅱ）
[0,10]t ∈，
2max 3101506502
s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分
当(20,35]t ∈时，令270
550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍
去）…………………………11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分
19．（本小题满分12分）
解析：
（Ⅰ）依题意
()244sin 248sin()3
f t t t t π
ωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383
k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12
πω=， 所求函数解析式为
()248sin(),(0,24]123
f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232
t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232
t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236
t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分
故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分
20．（本小题满分13分）
解析：（Ⅰ）2322
()()2f x x x a x ax a x =-=-+，
则22
()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3
a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴
112
a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分 当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1
(,1],[,)3-∞--+∞，
减区间是1(1,)3
--； ………………6分 （Ⅱ）22
()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分
2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303
a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<
时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->
()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分
综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133
a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分
21．（本小题满分14分）
解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x
=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由2
2221(1)()10x f x x x x
--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+
<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分
（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a
+>
+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a
=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()
a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，
所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>
+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->
因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；
((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1
a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x
--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099
e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t
++>对0t >恒成立，
取19t =可得不等式119ln(1)29
+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。