贵州省遵义市2019届高三第一次联考理科数学试题

遵义市2019届高三年级第一次联考试卷
理科数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则集合的真子集有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合{0，1}，根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案．
【详解】因为集合，
所以A＝{0，1}，
∵根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n﹣1个，
集合A有2个元素，
则其真子集个数为22﹣1＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n ﹣1个，非空子集有2n﹣1个．
2.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简复数z，然后由虚部定义可求．
【详解】﹣1﹣2i，
∴复数的虚部是﹣2，
故选：A．
【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．
3.若，，与的夹角为，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．
【详解】由题意可得||•||•cos，
2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．
4.已知、取值如表：
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到）为（）A. B. C. D.
【答案】1.7
【解析】
试题分析：将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为.故选C.
考点：线性回归直线.
5.已知实数，满足，则的取值范围是（）
A. B. C. D. [，5）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．
【详解】不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝2x﹣2y﹣1得y＝x，平移直线y＝x，
由平移可知当直线y＝x，经过点C时，
直线y＝x的截距最小，此时z取得最大值，
由，解得，即C（2，﹣1），
此时z＝2x﹣2y﹣1＝4+2﹣1＝5，
可知当直线y＝x，经过点A时，
直线y＝y＝x的截距最大，此时z取得最小值，
由，得，即A（，）
代入z＝2x﹣2y﹣1得z＝221，
故z∈[，5）
故选：D．
【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A. 7
B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B
【解析】
试题分析：运行第一次，，不成立；
，运行第二次，，不成立；
，运行第三次，，不成立；
，运行第四次，，不成立；
，运行第五次，，成立；
输出的值9，结束
故选B.
考点：1、对数的运算；2、循环结构.
7.如图，该茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩（成绩为整数），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率，得到答案．
【详解】记其中被污损的数字为x．
依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，
乙的5 次综合测评的平均成绩为（442+x），
令（442+x）≥90，由此解得x≥8，
即x的可能取值为8和9，
由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为：，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．
8.如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．
【详解】∵根据三视图得出：几何体为下图
AD，AB，AG相互垂直，面AEFG⊥面ABCDE，
BC∥AE，AB＝AD＝AG＝3，DE＝1，
根据几何体的性质得出：AC＝3，GC，GE5，
BG，AD＝4，EF，CE，
故最长的为GC＝3
故选：C
【点睛】本题考查了复杂几何体的三视图的运用，主要是恢复几何体的
直观图，利用几何体的性质判断即可，属于中档题．
9.函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
10.设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即当n ＝10时，S n取得最大值．
11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得两圆的圆心和半径，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选：D．
【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆
的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
12.设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令h（x）＝x（2lnx﹣1），g（x）＝ax﹣a＝a（x﹣1），求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】令f（x）＝0，得x（2lnx﹣1）＝ax﹣a，
令h（x）＝x（2lnx﹣1），g（x）＝ax﹣a＝a（x﹣1），
则h′（x）＝2lnx+1，
令h′（x）＝0，解得：x，
故x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
故h（x）min＝h（），h（1）＝﹣1＜0，
若仅存在两个正整数使得，
即保证有两个正整数解，
由题意得：，
解得：4ln2﹣2＜a≤3ln3，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合与转化思想，是一道综合题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若二项式展开式的二项式系数之和为，常数项为，则实数的值为__________．【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由二项式系数的性质可得2n＝32，解可得n＝5，进而可得则展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值为1，即展开式中的常数项为T2，求出T2，结合题意有m•C51＝10，解可得答案．
【详解】根据题意，展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n＝5，
则展开式的通项为T r+1＝C5r•（）5﹣r•（）r＝m r•C5r•，
令0，可得r＝1，
则展开式中的常数项为T2＝m•C51，
则有m•C51＝10，即m＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n，并得到该二项式的通项．
14.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设
的三个内角、、所对的边分别为、、，面积为，则“三斜公式”为.若，，则用“三斜公式”求得的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【详解】根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，
由余弦定理可得，b2= a2+c2﹣2accos，可得：a2+c2﹣b2＝4，
可得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，证出BC⊥平面SAC，可得BC⊥SC，得Rt△BSC的中线OC SB，同理得到OA SB，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出SC，得外接球半径R＝
，从而得到所求外接球的表面积．
【详解】取SB的中点O，连结OA、OC
∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，可得Rt△ASB中，中线OA SB
由，，，可知：AC⊥BC，
又∵SA⊥BC， SA、AB是平面SAB内的相交直线
∴BC⊥平面SAC，可得BC⊥SC
因此Rt△BSC中，中线OC SB
∴O是三棱锥S﹣ABC的外接球心，
∵Rt△SBA中，AB，SA＝6
∴SB＝2，可得外接球半径R SB＝
因此，外接球的体积SΠr2π
故答案为：π．
【点睛】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．
16.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知
在上为“凸函数”，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，可得：在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．
【详解】f′（x）x2+3x，f″（x）＝﹣2t x+3，
∵函数f（x）在上是“凸函数”，
∴在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，
∴﹣2t x+3＜0，即
令，显然在上单调递增，
∴
∴t≥．
故答案为：
【点睛】本题考查了“凸函数”的定义及其性质、导数的运算法则、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列为公差不为的等差数列,满足,且成等比数列.
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 若数列满足,且求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d的值，进而求得等差数列的通项公式；
(Ⅱ)根据题意，由累加法求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求数列的前项和. 【详解】(Ⅰ) 设等差数列的公差为,依题意得
又,解得,所以.
(Ⅱ)依题意得,即 (且)
所以 ,
.
对上式也成立,所以,即,
所以.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考
查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力. 形如的数列
均
可利用累加法求通项公式.
18. 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）频率分布直方图详见解析；（2）分布列详见解析，.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知条件能求出图中各组的纵坐标，由此能完成被调查人员的频率分布直方图．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．
所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．
∴被调查人员的频率分布直方图如右图：
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3
p（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=•+•=，
P（ξ=3）=•=，
∴ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3
P
∴ξ的数学期望Eξ=+1×+2×+3×=．
考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．
19.如图所示，在三棱柱中，侧面是矩形，，，是的中点，与交于，且面
（1）求证：.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）推导出DB⊥AB1，，从而AB1⊥平面BDC，由此能证明AB1⊥BC；
（2）以O为坐标原点，OA、O、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】解：（1）由于侧面是矩形，是中点，
故，
所以，又
于是
，而面，所以
面，得到
（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，
可以计算出面的一个法向量的坐标为
而平面的一个法向量为
设二面角的大小为，则
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余
弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20.直线与椭圆交于，两点，已知，，
若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）定值1.
【解析】
【分析】
（1）将点代入椭圆方程，结合双曲线的离心率列方程，求得的值，即求得椭圆方程.（2）当直线斜率不存在时，求得三角形的面积为定值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，代入，化简.然后通过计算三角形的面积，由此判断三角形的面积为定值.
【详解】（1）∵∴
∴椭圆的方程为
（2）①当直线斜率不存在时，即，
由已知，得
又在椭圆上，所以
,三角形的面积为定值．
②当直线斜率存在时：设的方程为
必须即得到，
∵，∴
代入整理得：
所以三角形的面积为定值．
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程参数的求法，考查直线与椭圆的位置关系，以及两个向量垂直的数量表示.有一定运算能力的要求，属于难题.
21. （本小题满分12分）
设为实数，函数。

(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。

【答案】
【解析】
试题分析：（1）由，知．令，得
．列表讨论能求出的单调区间区间及极值．
（2）设，于是,由（1）知当
时，最小值为，于是对任意，都有
，所以在内单调递增．由此能够证明．
试题解析：解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．
（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，
于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2﹣1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，
故e x＞x2﹣2ax+1．
考点：1.导数与单调性和极值；2.导数的应用.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.
【答案】（1），；（2）的最小值为,此时点P的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由曲线得,两式两边平方相加，即可得到曲线的普通方程，由极坐标和直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程.
（2）由（1），设椭圆上的点到直线的距离，转化为三角函数，利用三角函数的图象与性质，即可求解。

【详解】（1）由曲线得,
两式两边平方相加得,
即曲线的普通方程为
由曲线得:,
即,所以,
即曲线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知椭圆与直线无公共点,
依题意有椭圆上的点到直线的距离为
,
所以当时,取得最小值,
此时,点的坐标为。

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用.着重考查了转化与化归能力.解答中若遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
23.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点离；（2）对于恒成
立的问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立
（3）的应用；（4）掌握一般不等式的解法：
或，.
试题解析：（1）由得，
∴，即，
∴
∴5分
（2）由（1）知，令
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是． 10分
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.
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