高中数学 电子题库 第二章 4知能演练轻松闯关 北师大版必修4

高中数学 电子题库 第二章 4知能演练轻松闯关 北师大版必
修4
1.(2020·亳州质检)若a ＝(2，1)，b ＝(1，0)，则3a －2b 的坐标是( )
A ．(5，3)
B ．(4，3)
C ．(8，3)
D ．(0，－1)
解析：选B.3a －2b ＝3(2，1)－2(1，0)＝(4，3)．
2.(2020·南阳调研)已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．4
D ．－4
解析：选D.∵a ∥b ，∴y 2＝2－1
.即y ＝－4. 3.已知向量i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x 、y ，使得a ＝(x ，y )；
②若x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ≠0，且a ＝(x ，y )，则a 的起点是原点O ；
④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点的坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．
在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确的序号)．
解析：只有①正确；x 1＝x 2，y 1≠y 2或x 1≠x 2，y 1＝y 2时也有(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，∴②不正确；a 的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标并不是向量坐标，④不正确． 答案：①
4.若A 、B 、C 三点的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8，10)，则AB →＋2BC →、BC →－
12
AC →的坐标分别为________、________． 解析：AB →＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)，
∴AB →＋2BC →＝(－2，10)＋2(－8，4)＝(－2，10)＋(－16，8)＝(－18，18)，
BC →－12AC →＝(－8，4)－12
(－10，14)＝(－8，4)－(－5，7)＝(－3，－3)． 答案：(－18，18) (－3，－3)
[A 级 基础达标]
1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b ＝(10，0)(m ，n ∈R )，则( )
A ．m ＝2，n ＝4
B ．m ＝3，n ＝－2
C ．m ＝4，n ＝2
D ．m ＝－4，n ＝－2
解析：选C.∵m a ＋n b ＝m (3，－1)＋n (－1，2)
＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10，0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 2.设a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为( )
A ．p ＝4，q ＝1
B ．p ＝1，q ＝4
C ．p ＝0，q ＝4
D ．p ＝1，q ＝－4
解析：选B.∵c ＝p a ＋q b ＝(－p ，2p )＋(q ，－q )
＝(q －p ，2p －q )＝(3，－2)，
∴q －p ＝3且2p －q ＝－2，
解得p ＝1，q ＝4.
3.(2020·高考广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )
A.14
B.12
C ．1
D ．2
解析：选B.∵a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，
∴a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)．
又∵(a ＋λb )∥c ，
∴3×2－4×(1＋λ)＝0.
∴λ＝12
. 4.(2020·焦作调研)若向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．
解析：∵a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，
若a ∥b ，须x ·x －1·4＝0，
即x 2＝4，∴x ＝±2.
当x ＝－2时，a 与b 方向相反．
仅当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同
答案：2
5.(2020·南阳质检)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝
(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．
解析：∵Q 是AC 的中点，∴PQ →＝12PA →＋12
PC →. ∴PC →＝2PQ →－PA →＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7)．
又∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
6.已知A (3，0)，B (4，4)，C (2，1)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．
解：设P 的坐标为(x ，y )．
∵P 在OB 上，∴OP →与OB →共线．
又∵OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4)，
∴4x －4y ＝0，即x －y ＝0.①
同理，AP →与AC →共线．
由AP →＝(x －3，y )，AC →＝(－1，1)，
得x －3＋y ＝0.②
由①②，解得x ＝32，y ＝32
， 即P 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32. [B 级 能力提升]
7.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →的坐
标是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5 解析：选B.CO →＝－12AC →＝－12
(AB →＋AD →) ＝－12[(－2，3)＋(3，7)]＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－5. 8.(2020·咸阳高一检测)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，tan α，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α，23，且a ∥b ，则锐角α的值为( )
A.π3
B.π6
C.π4
D ．以上都不对 解析：选B.∵a ∥b ，∴34×23－cos α·tan α＝0，∴sin α＝12
，又∵α为锐角，∴α＝π6
. 9.(2020·高考北京卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，
c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．
解析：∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，
∴a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)．
∵a －2b 与c 共线，
∴3k －3×3＝0.
∴k ＝1.
答案：1
10.已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，点P 满足AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．
(1)λ为何值时，点P 在函数y ＝x 的图像上？
(2)设点P 在第三象限，求λ的取值范围．
解：设P (x 1，y 1)，则AP →＝(x 1－2，y 1－3)．
∵AP →＝AB →＋λAC →
＝(5－2，4－3)＋λ(7－2，10－3)
＝(3，1)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝5＋5λ，y 1
＝4＋7λ. ∴点P 的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，可得λ＝12
， ∴当λ＝12
时，点P 在函数y ＝x 的图像上．
(2)∵点P 在第三象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0， 解得λ<－1.
∴λ的取值范围是{λ|λ<－1}．
11.(创新题)已知向量μ＝(x ，y )与v ＝(y ，2y －x )的对应关系可用v ＝f (μ)表示．
(1)证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，
恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；
(2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；
(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．
解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，
则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．
∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，
mf (a )＋nf (b )
＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)
＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．
∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )，
即对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，
恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )．
(2)f (a )＝f ((1，1))＝(1，2×1－1)＝(1，1)，
f (b )＝f ((1，0))＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c ＝(x ，y )，
则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . 所以向量c ＝(2p －q ，p )．。