九年级上册数学 一元二次方程综合测试卷(word含答案)

九年级上册数学 一元二次方程综合测试卷（word 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．
（1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；
（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3
883
a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③
54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；
②AP BD ⊥，
90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒，
BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=，
即54t -=，
1t ∴=；
（2）当38a =，83
t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间，
1.54AM t ==，4CD =，
AM CD ∴=，
如图②中，连接AC 交MD 于O ，
90ABC BCD ∠=∠=︒，
180ABC BCD ∴∠+∠=︒，
//AB BC ∴，
AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，
在AOM 和COD △中，
AMD CDM AM CD
BAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOM COD ASA ∴≅△△，
OA OC ∴=，
ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，
ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-，
ADF CDF S S ∆∆∴=．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积
的7
9
，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4
7
7
58．
【解析】
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD
的面积和是△ABC的面积的7
9
，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1
2
×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC 与△PAD 的面积和＝12t 2+12×6×（6﹣t ）， ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的
79， ∴
12t 2+12×6×（6﹣t ）＝18×79
， 解之，得t 1＝2，t 2＝4；
（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，
∴PQ ＝2t ， ①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣
12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝477，t 2＝﹣477
（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25
t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝
45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12⨯ 6×6﹣12
t 2＝8， 解得：t 1＝25，t 2＝﹣25（不合题意，舍去），
综上，t 的值为4
77或25时，重叠面积为8．
【点睛】
本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
3．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB 的解析式；
(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.
【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+；(3)203S =. 【解析】
【分析】 (1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；
(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)35m +，再由S=12
AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52
m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°，
∴∠OBA=30°，AB=10 ，
由勾股定理可得OB=53，
∴B(0，3，
设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩
， ∴353
k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线解析式为353y x =+
(2)∵CP//OD ，OP//CD ，
∴四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，
∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，
过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=5
2
m
+
，由勾股定理得CH=()
3
5m
+，
∴S=1
2
AB•CH=
1353253
10(5)
2
m m
⨯⨯+=+；
(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，
∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，
∴∠PEC=∠ADC，
设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，
在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，
∵∠DAK=60°，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，
∵PC=OD，
∴△PEC≌△DKO，
∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，∴∠OPK= ∠OKB，
∴OP=OK=CE=CD，
又∵∠ECD=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD=DE，
连接OE，∵∠ADE=∠APO，DE=CD=OP，
∴△OPE≌△EDA，
∴AE=OE，∠OAE=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴OA=AE=5 ，
∵四边形ADCE的周长等于22，
∴AD+2DE=17，
∴ED=172m -， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=
52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=，
即22253517()()()22
m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)，
∴S=15325322
+=203.
【点睛】
本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩
解之得：108
a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=
解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意
答：x 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
5．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；
（2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ 的面积为12cm 2？
【答案】（1）
85s 或245
s （2）62cm ；213cm （3）4s 或6s 【解析】
【分析】
(1)过点P 作PE ⊥BC 于E ，得到AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，利用勾股定理得到方程，故可求解；
（2）根据运动时间求出EQ 、PE ，利用勾股定理即可求解；
(3) 分当点P 在AO 上时，当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）设运动时间为t 秒时，如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，
由运动知，AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，
∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm ，
∴62+（16﹣5t ）2＝100，
解得t 1=85，t 2=
245， ∴t ＝85s 或245
s . 故答案为8
5s 或245
s
（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，
∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,
∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；
当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4
∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,
P ，Q 两点的距离为213cm .
（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，
当点P 在AO 上时，S △POQ ＝
2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．
当点P 在OC 上时，S △POQ ＝
2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23
（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝
2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．
6．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．
【答案】（1）k ＞
34；（2 【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，
利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，
∴k ＞34
； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，
设方程的两个根为m ，n ，
∴m ＋n ＝5，mn ＝5，
=
=.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
7．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．
问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积
问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．
【答案】（1）4；（2）
203
；（3）存在，最小值为16216 【解析】
【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据
S △ABE =1AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=
1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =
1BC AM=82 ∴82AM==44
⨯ 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=︒
∴∠BCD=∠D=90°=∠F
∴四边形BCDF 为矩形，
又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形，
∴DF=BF=BC=4，
又∵AD ∥BC
∴∠FAB=∠CBA
又∵∠EAB=∠CBA
∴∠FAB=∠EAB
∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE
∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，
∵BE=BE ，BH=BC=4
∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）
∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）
∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a
由勾股定理得AD 2+DE
2=AE 2，即()2
2226+=-a a 解得8=3
a ∴AE=6-a=
103 S △ABE =111020AE BH=4=2233
⨯⨯ （3）存在，
如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m
整理得8=4
+m a m ∴AE=AH+HE=2816444
+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=++m m m m ∴()()
24216+=+y m m 整理得：2
23240++-=m ym y
∵方程必有实数根
∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y
∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦
y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0
∴216≥y
即△ABE 的面积最小值为16216．
【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB平分∠FAC，利用角平分线的性质定理得到BF=BH，结合勾股定理求出AE是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
8．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.
④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣
32 ，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{312a b c c b a
++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222
x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222
x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-
时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P
（
3
2
-，15
4
）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
10．已知关于x的方程230
x x a
++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2
(1)320
k x x a
-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式
2
2
1
6
k
k k
-
+-
的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】
由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2
则
12
12
3
940
x x
x x a
a
+-
⎧
⎪
⎨
⎪-≥
⎩
＝
＝
＝
，
由条件，知12
1212
11x x
x x x x
+
+==3，
即
3
3
a
-
=，且
9
4
a≤，
故a＝－1，
则方程②为(k-1)x2+3x+2=0，
Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=
2
3
-，则
2
2
1
6
k
k k
-
=
+-
.
Ⅱ.当k-1≠0时，∆=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则
17
8
k≤，
又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使
2
2
1
6
k
k k
-
+-
无意义.
综上，代数式
2
2
1
6
k
k k
-
+-
的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，。