数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题
1.基本数列的前n 项和
⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-++=n
b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ：
①当1=q 时，1na S n =;②当1≠q 时，q
q a a q q a S n n n --=--=11)1(11; 2. 数列求和的常用方法：公式法;性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法。

题型一 公式法、性质法求和
1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a
2。

等差数列{}n a 中，公差2
1=
d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S 。

题型二 拆项分组法求和
［练2］在数列{}
n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N 。

（1)求数列{}n a 的通项公式；(2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n
.
［练]。

求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S .
［例]。

求和：)
1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 题型三 裂项相消法求和
[例］.求和：
n
n +++++++++11341231121 . ［例］求和：n
+++++++++++
321132112111 [练4］已知数列{}n a 满足()
*1112,1N n a a a n n ∈+==+
(1) 求数列{}n a 的通项公式.(2）若数列{}n b 满足()n n nb b b b a n 14444113121321+=⋅⋅⋅⋅⋅+---,求数列{}n b 的通项公式。

（3)若1
2+=n n n
n a a c ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

题型四 错位相减法求和
[例]。

设数列{}n a 为 n n 224,23,22,21332⋅⋅⋅⋅⋅()0≠x 求此数列前n 项的和
［例].设数列{a n ｝满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝错误!,n∈N ＊
. （1）求数列{a n ｝的通项公式;(2）设b n ＝错误!，求数列｛b n }的前n 项和S n .
[练1］已知数列}{n a 、}{n b 满足11=a ,32=a ,
)(2*1N n b b n
n ∈=+，n n n a a b -=+1。

（1）求数列}{n b 的通项公式;
（2）数列}{n c 满足2log (1)n n n c b a =⋅+)(*N n ∈,求12......n n S c c c =+++。

[练4］等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321-=⋅⋅⋅+++n n a a a a ，求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++的值
()212.-n A ()1231.-n
B 14.n -
C ()1431.-n D。