高考数学深化复习+命题热点提分专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质理

高考数学深化复习+命题热点提分专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质理﹑基本初等函数的图像与性质理﹑基本初
等函数的图像与性质理
1．函数y ＝的定义域为( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C. D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由log3(2x －1)≥0得2x －1≥1，x≥1.因此函数的定义域是
[1，＋∞)，故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为( )
A ．－
B ．－9 C. D ．9
解析：因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
答案：C
3．函数y ＝lg|x|( )
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
解析：因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y ＝lg|x|为偶函数，又函
数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.
答案：B
4．函数f(x)＝2|log2x|－的图象为( )
解析：由题设条件，当x≥1时，f(x)＝2log2x－＝；当0<x<1时，
f(x)＝2－log2x－＝－＝x.故f(x)＝其图象如图所示．故选D.
答案：D
5．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 017＝( )
A．7 554 B．7 540
C．7 561 D．7 564
6．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝
loga(x＋b)的图象可能是( )
解析：由题图可知0<a<1,0<b<1.故选C.
答案：C
7．已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－
x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<b<a
解析：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－
x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b ，故选C.
答案：C
8．下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是( )
A ．(－∞，1]
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43
C.
D ．[1,2)
答案：D
9．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x －1)<f(3)的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－2,2)
C ．(－1,2)
D ．(2，＋∞) 解析：易知f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，由复合函数单调性知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2x－1)<f(3)⇒f(|2x －1|)<f(3)，从而|2x －1|<3，解得－1<x<2，故选C.
答案：C
10．已知函数f(x)满足：①定义域为R ；②∀x∈R，都有f(x ＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：画出y1＝f(x)，y2＝log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
答案：A
11.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．x2cos x
B．sin x2
C．xsin x
D．x2－x4
答案：B
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
解析：由f(x－4)＝－f (x)得f(x＋2－4)＝f(x－2)＝－f(x＋2)，由f(－x)＝－f(x)得f(－x－2)＝－f(x＋2)，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，所以直线x＝－2是函数f(x)图象的一条对称轴．同理得直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以函数f(x)的周期是8，所以f(－25)＝f (－1)＝－f(1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，f(80)＝
f(0)．由f(x)是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f(0)＝0，
f(1)>0，－f(1)<0，则－f(1)<f(0)<f(1)，故选D.
答案：D
13．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是
________．
解析：由题意得f(2)＝，f[f(2)]＝f＝－－2＝－.因为当x>1时，
∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．
答案：－[－3，＋∞)
14．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.
解析：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.
答案：－1
15．已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝________.
答案：5
16．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
②∀x∈R，f＝f；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)．
则f(2 017)＝________.
解析：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.
答案：－2
17.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是
________.
解析当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案(0，1]
18.已知函数y＝f(x)是R x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
答案①②④
19.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，
f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max ＝g(1)＝0，即x ＝0，f(x)max ＝0.
20.已知函数f(x)＝ax2－2ax ＋2＋b(a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b ＜1，g(x)＝f(x)－2mx 在[2，4]上单调，求m 的取值范围. 解 (1)f(x)＝a(x －1)2＋2＋b －a.
①当a ＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 故或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b＜1，∴a＝1，b ＝0，即f(x)＝x2－2x ＋2，
g(x)＝x2－2x ＋2－2mx ＝x2－(2＋2m)x ＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log26.
故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).
21.已知函数f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋(x ＞0).
(1)若g(x)＝m 有实根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根. 解 (1)∵x＞0，∴g(x)＝x ＋≥2＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，
则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
22．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)解法一设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.
故a的取值范围是(－∞，16]．
解法二f′(x)＝2x－，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a 的取值范围是(－∞，16]．
23．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋
f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＜0.
∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．
(3)由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是
f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得
f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，
最小值是－6.
24．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x
都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函数，
y＝－是增函数，∴f(x)是增函数．
∵f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．。