2021高考数学复习课后限时集训3全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”理北师大版

课后限时集训3
全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
建议用时：45分钟
一、选择题
1．已知命题p：存在x0∈R,log2(3x0＋1)≤0,则( )
A．p是假命题；綈p：任意x∈R,log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：任意x∈R,log2(3x＋1)＞0
C．p是真命题；綈p：任意x∈R,log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：任意x∈R,log2(3x＋1)＞0
B[因为3x＞0,所以3x＋1＞1,则log2(3x＋1)＞0,所以p是假命题,綈p：
任意x∈R,log2(3x＋1)＞0.故应选B.]
2．已知命题p：实数的平方是非负数,则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
C[该命题是全称命题且是真命题．故选C.]
3．在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p或q表示( ) A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
D[∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,∴命题p或q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”,故选D.] 4．已知命题p：若a＞|b|,则a2＞b2；命题q：若x2＝4,则x＝2.下列说法正确的是( ) A．“p或q”为真命题B．“p且q”为真命题
C．“綈p”为真命题D．“綈q”为假命题
A[由a＞|b|≥0,得a2＞b2,所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2,所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,“綈p”为假命题,“綈q”为真命题．综上所述,可知选A.]
5．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题：
P 1：存在x ∈R ,sin x ＋cos x ＝2； P 2：存在x ∈R ,sin 2x ＝sin x ；
P 3：任意x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－π2
，π2,
1＋cos 2x
2
＝cos x ； P 4：任意x ∈(0,π),sin x ＞cos x .
其中真命题是( ) A ．P 1,P 4 B ．P 2,P 3 C ．P 3,P 4
D ．P 2,P 4
B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4,所以sin x ＋cos x 的最大值为2,可得不存
在x ∈R ,使sin x ＋cos x ＝2成立,得命题P 1是假命题；
因为存在x ＝k π(k ∈Z ),使sin 2x ＝sin x 成立,故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2
x ,所以
1＋cos 2x 2＝|cos x |,结合x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0,
由此可得
1＋cos 2x
2
＝cos x ,得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时,sin x ＝cos x ＝2
2
,不满足sin x ＞cos x ,所以存在x ∈(0,π),使sin
x ＞cos x 不成立,故命题P 4是假命题．故选B.]
6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p ：存在x ∈R ,x －2＞lg x ,命题q ：任意x ∈R ,e x
＞x ,则( )
A ．命题p 或q 是假命题
B ．命题p 且q 是真命题
C ．命题p 且(綈q )是真命题
D ．命题p 或(綈q )是假命题
B [显然,当x ＝10时,x －2＞lg x 成立,所以命题p 为真命题．设f (x )＝e x
－x ,则f ′(x )＝e x
－1,当x ＞0时,f ′(x )＞0,当x ＜0时,f ′(x )＜0,所以f (x )≥f (0)＝1＞0,所以任意
x ∈R ,e x ＞x ,所以命题q 为真命题．故命题p 且q 是真命题,故选B.]
7．(2019·福建三校联考)若命题“存在x 0∈R ,使得3x 2
0＋2ax 0＋1＜0”是假命题,则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3,3]
B ．(－∞,－3]∪[3,＋∞)
C ．(－∞,－3]
D ．[3,＋∞)
A [命题“存在x 0∈R ,使得3x 2
0＋2ax 0＋1＜0”是假命题,即“任意x ∈R,3x 2
＋2ax ＋1≥0”是真命题,
故Δ＝4a 2
－12≤0,解得－3≤a ≤ 3.]
二、填空题
8．已知函数f (x )的定义域为(a ,b ),若“存在x 0∈(a ,b ),f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题,则f (a ＋b )＝________.
0 [若“存在x 0∈(a ,b ),f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题,则“任意x ∈(a ,b ),f (x )＋
f (－x )＝0”是真命题,即f (－x )＝－f (x ),则函数f (x )是奇函数,
则a ＋b ＝0,
即f (a ＋b )＝f (0)＝0.] 9．以下四个命题：
①任意x ∈R ,x 2
－3x ＋2＞0恒成立；②存在x 0∈Q ,x 2
0＝2；③存在x 0∈R ,x 2
0＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2
＞2x －1＋3x 2
.其中真命题的个数为________．
0 [∵x 2
－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2
－4×2＞0, ∴当x ＞2或x ＜1时,x 2
－3x ＋2＞0才成立, ∴①为假命题；
当且仅当x ＝±2时,x 2＝2,
∴不存在x 0∈Q ,使得x 20＝2,∴②为假命题； 对任意x ∈R ,x 2
＋1≠0,∴③为假命题； 4x 2
－(2x －1＋3x 2
)＝x 2
－2x ＋1＝(x －1)2
≥0, 即当x ＝1时,4x 2
＝2x －1＋3x 2
成立, ∴④为假命题,∴①②③④均为假命题． 故真命题的个数为0.]
10．已知命题p ：存在x 0∈R ,(m ＋1)(x 2
0＋1)≤0,命题q ：任意x ∈R ,x 2
＋mx ＋1＞0恒成立．若p 且q 为假命题,则实数m 的取值范围为________．
(－∞,－2]∪(－1,＋∞) [由命题p ：存在x 0∈R ,(m ＋1)(x 2
0＋1)≤0,可得m ≤－1；由命题q ：任意x ∈R ,x 2
＋mx ＋1＞0恒成立,可得－2＜m ＜2,因为p 且q 为假命题,所以m ≤－2或m ＞－1.]
1．(2019·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,则任意x ∈R ,f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞,0)上是减函数,在(0,＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A ．p 为假命题
B ．綈q 为真命题
C ．p 或q 为真命题
D ．p 且q 为假命题
C [函数f (x )不是偶函数,仍然可存在x ∈R ,使得f (－x )＝f (x ),p 为假命题；f (x )＝
x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
x ≥0，－x 2
x ＜0在R 上是增函数,q 为假命题．所以p 或q 为假命题,故选C.]
2．(2019·湖北荆州调研)已知命题p ：方程x 2
－2ax －1＝0有两个实数根；命 题q ：函数f (x )＝x ＋4
x
的最小值为4,给出下列命题：①p 且q ；②p 或q ；③p 且(綈
q )；④(綈p )或(綈q ),则其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [由于Δ＝4a 2
＋4＞0,所以方程x 2
－2ax －1＝0有两个实数根,即命题p 是真命题；当x ＜0时,f (x )＝x ＋4
x
的值为负值,故命题q 为假命题．所以p 或q ,p 且(綈q ),(綈p )或(綈
q )是真命题,故选C.]
3．若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2,使得2x 2
0－λx 0＋1＜0成立是假命题,则实数λ的取值范围是
________．
(－∞,22] [因为存在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2,使得2x 2
0－λx 0＋1＜0成立是假命题,所以任意x
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,使得2x 2
－λx ＋1≥0恒成立是真命题,即任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,使得λ≤2x ＋1x 恒成立是
真命题,令f (x )＝2x ＋1x ,则f ′(x )＝2－1x 2,当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时,f ′(x )＜0,当x ∈⎝ ⎛⎦⎥
⎤
22，2时,f ′(x )＞0,所以f (x )≥f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22＝22,则λ≤2 2.] 4．已知命题p ：x 2
＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1,若“(綈q )且p ”为真,则x
的取值范围是________．
(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞) [因为“(綈q )且p ”为真,即q 假p 真,而q 为 真命题时,
x －2x －3
＜0,即2＜x ＜3,所以q 为假命题时,有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时,由x 2
＋2x －3＞0,解得x ＞1或x ＜－3,由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＞1或x ＜－3，
x ≥3或x ≤2，
得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3,
所以x 的取值范围是(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞)．]
1．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0,则x ＞sin x 恒成立；
②命题“若x －sin x ＝0,则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0,则x －sin x ≠0”；
③“命题p 且q 为真”是“命题p 或q 为真”的充分不必要条件； ④命题“任意x ∈R ,x －ln x ＞0”的否定是“存在x 0∈R ,x 0－ln x 0＜0”． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
C [对于①,令y ＝x －sin x ,则y ′＝1－cos x ≥0,则函数y ＝x －sin x 在R 上递增,即当x ＞0时,x －sin x ＞0－0＝0,则当x ＞0时,x ＞sin x 恒成立,故①正确；
对于②,命题“若x －sin x ＝0,则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0,则x －sin x ≠0”,故②正确；
对于③,命题p 或q 为真即p ,q 中至少有一个为真,p 且q 为真即p ,q 都为真,可知“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件,故③正确；
对于④,命题“任意x ∈R ,x －ln x ＞0”的否定是“存在x 0∈R ,x 0－ln x 0≤0”,故④错误．
综上,正确命题的个数为3,故选C.]
2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1
(x ≥2),g (x )＝a x
(a ＞1,x ≥2)．
(1)若存在x 0∈[2,＋∞),使f (x 0)＝m 成立,则实数m 的取值范围为________． (2)若任意x 1∈[2,＋∞),存在x 2∈[2,＋∞),使得f (x 1)＝g (x 2),则实数a 的取值范围为________．
(1)[3,＋∞) (2)(1,3] [(1)∵f (x )＝x －1
2
＋x －1＋1x －1＝(x －1)＋1
x －1
＋
1,
∵x ≥2,∴x －1≥1, ∴f (x )≥2
x －1·1
x －1
＋1＝3.
当且仅当x －1＝
1
x －1
,即x －1＝1,x ＝2时等号成立． ∴m ∈[3,＋∞)．
(2)∵g (x )＝a x (a ＞1,x ≥2),∴g (x )min ＝g (2)＝a 2
.
∵任意x 1∈[2,＋∞),存在x 2∈[2,＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2), ∴g (x )min ≤f (x )min ,∴a 2
≤3,即a ∈(1,3]．]。