培优第16讲变量关系专题

专题三：利用图象描述实际问题 例3、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港 出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据 图象，下列错误的是（ D ）

A、轮船的速度为20千米/小时
B、快艇的速度为40千米/小时 C、轮船比快艇先出发2小时 D、快艇赶不上轮船
专题三练习： 某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y(元) 与通话时间x（分)之间的关系，则下列说法错误的是（） A.若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜 D B.若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜 C.若通讯费为50元，则B方案比A方案的通话时间长 D.若通讯费为70元，则A方案与B方案的通话时间一样长
解：x=-5时有最小值是6
=2(1+2)
⑶求式子： ∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+.…+︱x-99︱ 的最小值; 解：x=50时有最小值， 最小值是：2(1+2+3+…+49)=2×—————
2 (1+49) ×49
=2450
我们可以总结出： 1、若含有奇数个绝对值时，处于中间的零 点值可以使代数式取最小值 2、若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零
专题二练习 1、某电视机厂要印刷产品宣传资料，甲印刷厂 提出:每份材料收1元印刷费，另外1000元制版 费，乙厂提出:每份材料收2元印刷费，不收制 版费。设电视机厂要印刷产品宣传材料x份。 （1）分别写出到甲乙两厂的收费y(元)与印刷 数量x（份）之间的关系式。 解：（1）甲厂的收费y（元）与印刷数量x（份） 之间的函数关系式为y=x+1000； 乙厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函 数关系式为；y=2x.
AM+MB最小？
PA+PB=PA’+PB>A’B B
对称 图形
A
┐
M A’
P 化折线为直线
l
AM+MB=A’M+MB=A’B 两点之间线段最短
变式训练 第五章复习
如图，A为马廐，B为帐篷，牧马人某一天要从马 厩牵出马，先到路边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线.
专题二：探究性问题
例2：若干个偶数按每行8个数排成下列数阵： （1）图中方框中的9个数的和为y,中间的数为x, 写出y与x之间的关系式. （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方 框右下角的那个数？写出你的计算步骤．
解：（1）∵2+4+6+18+20+22+34+36+38=180， 180÷20=9， ∴y与x之间的关系式为y=9x；
练习：如图，用同样规格的灰白色正方形瓷砖铺 设长方形形地面，请观察下列图形并解答有关问 题．（3）按上述铺设方案，若所铺成的长方形地 面中，白瓷砖共有20横行，求此时用了多少块瓷 砖？ y=(n+3)(n+2)=(20+3)(20+2)=506(块) （4）若灰瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题 中，共花多少元购买瓷砖；
二、最值问题归纳
1、利用绝对值的非负性求最值
回答下列问题：. （1）对于任意有理数a，式子▏a ▏表示什么数？ 它有最大值还是有最小值？ （2）对于式子▏a ▏+12，当a为何值时，有最小 值？最小值是多少？ （3）对于式子12-▏a-6 ▏，当a为何值时，有最 大值？最大值是多少？ 解：（1）式子▏a ▏表示非负数，它有最小值. （2）当a=0时，式子▏a ▏+12有最小值，最小 值是12. （3）当a=6时，式子12-▏a-6 ▏有最大值，最 大值是12.
2、求代数式-4x2+4x-10的最值 .
解：因为
-4x2+4x-10=-（4x2-4x+1）-9
=-(2x-1)2-9
即代数式-4x2+4x-10有最大值-9 .
1 所以当x= 时，有最大值，为-9 2
3、利用轴对称求最值
将军饮马问题
(最值问题)
为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁止践踏 爱护草坪
y
2000
1000
0
2、声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温
3 x(℃)之间有如下关系：y= x 331. 5
（1）当气温x=15℃时，声音的速度y=____m/s ． 340
（2）当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s后
才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距 1721 ． ______m
解：（1）在这个变化过程中，BC边上的高AD是 自变量，△ABC的面积是因变量． 1 1 （2）S= 2 BC•h= 2 ×10h=5h， 即S与h之间的关系式是S=5h．
例1：三角形ABC的底边BC=10cm，当BC边上的高 h(cm)从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. （3）用表格表示当h由4cm变到10cm时（每次增加 1cm），S的相应值； （4）当h每增加1cm时，S如何变化？ 解：（3）列表格如下：
（1）当x取何值时，式子| x﹣7|+| x﹣8|+| x﹣9|有最 小值？最小值是多少？ ︱ O ︱ 7 ︱ 8 ︱ 9
解：x=8时有最小值是2。
（2）当x取何值时，式子：
∣x+3∣+∣x+ 4∣+∣x+5︱+∣x+6∣+| x+7∣有最小
值？最小值是多少？
︱ -7 ︱ -6 ︱ -5 ︱ -4 ︱ -3 ︱ 0 ︱ 1
（3）当x为何值时，y的值最大？
解：（1）y=（20÷2﹣x）·x =（10﹣x）·x =10x﹣x2； 其中长方形一边长x是自变量，面积y是因变量； （ 2）
9
16
21
24
25
24
21
16
（3）由（2）可以看出：当x为5时，y的值最大．
专题二：确定变量间的关系式，利用关系式解决实际问题 例2：一辆汽车的油箱中现有汽油50升.如果不再加油， 那么油箱中余油量y（单位：L）随行驶里程x（单位： km）的增加而减少，平均每千米耗油量为0.1L/km． （1）写出表示y与x的函数关系式． （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）所以汽车最多可行驶多少千米． 解：（1）根据题意，每行程xkm，耗油0.1xL，即总油 量减少0.1xL，则油箱中的油剩下50-0.1x， ∴y与x的函数关系式为：y=50-0.1x； （2）当x=200时，代入y=50-0.1x得： y=50-0.1×200=30． 所以，汽车行驶200km时，油桶中还有30L汽油． （4）当y=0时，50-0.1x=0， 解得x=500，所以汽车最多可行驶500千米．
（2）∵方框内9个数的和为360， ∴y=360 把y=360代入y=9x得：360=9x 解得x=40， ∴右下角的数是:40+18=58．
练习：如图，用同样规格的灰白色正方形瓷砖铺 设长方形地面，请观察下列图形并解答有关问 题．（1）在第n个图中，每一横行共（ n+3 ） 块瓷砖，每一竖列共有（ n+2 ）块瓷砖；（均 用含n的代数式表示） （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y 与（1）中的n的关系式；y=(n+3)(n+2)=n2+5n+6
1、某电视机厂要印刷产品宣传资料，甲印刷厂提出 :每 份材料收1元印刷费，另外1000元制版费，乙厂提出:每 份材料收2元印刷费，不收制版费。设电视机厂要印刷产 品宣传材料x份。 （2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家 印刷厂印刷的宣传材料能多一些？ （3）印刷数量为多少时，甲乙两家收费一样多？ 解：（2）根据题意： 若找甲厂印刷，可以印制的份数x满足:3000=x+1000 解得 :x=2000 若找乙厂印制，可以印制的份数x满足 :3000=2x 解得：x=1500 若让画图像，会准 又2000>1500， 确画出吗？ ∴找甲厂印制的宣传材料多一些； (3)若甲乙两家收费一样，则：x+1000=2x 解得：x=1000 ∴印刷数量为1000份时，甲乙两家收费一样多
第16讲 变量关系及最值
二、知识要点
一、变量间关系专题
1．知识专题； 2、方法技巧专题；
二、最值问题归纳.
一、变量间关系专题
一、知识专题 专题一：面积中的变量关系 例1：三角形ABC的底边BC=10cm，当BC边上的高h(cm) 从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （2）△ABC的面积S（cm2）与高线h（cm）之间的关系 式是什么？
点值之间的任意一个数（包含零点值）都可
以使代数式取最小值
2、利用完全平方式求最值
1、① 当x=___ 1 时，(x-1)2+2有最小值， 最小值为___ 2 ；
∵(x-1)2≥0
∴(x-1)2+2≥0+2 即(x-1)2+2≥2
∴(x-1)2+2的最小值是2
2 1 时，x2-2x+3有最小值，最小值为___ 当x=___ -1 当x=___ -3 时，x2+6x+8有最小值，最小值为___
5 7
解：①小明从家 出发乘上公交车的 时间为: 7﹣（1200﹣400）÷400=5分钟， ①正确； ②公交车的速度 为: （3200﹣1200）÷（12﹣7）=400米/分钟，②正确； ③小明下公交车后跑向学校的速度为（3500﹣3200） ÷3=100米/分钟，③正确； ④上公交车的时间为12﹣5=7分钟，跑步的时间为 10﹣7=3分钟，因为3＜4，小明上课没有迟到，④正确； 故选：D．
专题一练习：小明家、公交车站、学校在一条笔直的公 路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）.一天，小明 从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上 一辆公交车，公交车沿这条路匀速行驶，小明下车时发 现还有4分钟上课，于是他沿这条路跑步赶到学校（上、 下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：米） 与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所 示。已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米， 从上车到他到达学校共用10分钟。下列说法： ①小明从家出发5分钟时乘上公交车 ②公交车的速度为400米/分钟 ③小明下公交车后跑向学校的 速度为100米/分钟 ④小明上课没有迟到。 1200 其中正确的个数是（ ） （ A） 1 个 （ B ） 2个 （ C） 3 个 （ D） 4个
如图，第①个图有一个黑球，第②个图为3个同
样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑
色，其余为白色；第③个图为6个同样大小球叠 成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白 色；则从第(n)个图中随机取出一个球，是黑球的 概率是（
2 n1
）
解：黑球的总数为n个，
n(n 1) 所有球的总数为：1+2+3+........n= 个; 2 n 2 所以P（取出黑球）= n(n 1) n1 2
A’
P1
P2
B’
路
• A
• B
河
A’B'的长就是最短路线.
如图：已知A、B为直线MN同侧两点，点p在直线 MN的哪个位置时,▏AP-BP ▏最大.
（4）由（3）可看出，当h每增加1cm时，S增加 5cm2．
专题一练习 如图所示，用长为20的铁丝焊接成一个长方形，设长 方形的一边为x，面积为y，随着x的变化，y的值也随 之变化． （1）写出y与x之间的关系式，并指出在这个变化中， 哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用表格表示当x从1变化到8时（每次增加1），y 的相应值；
绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
y(元)
70 50 30
120 170
A方案
B方案
200
250
x（分)
例1：如图小陈同学骑自行车上学的路程与时间 的关系图，请你根据图像描述他上学路上的情 况 .
解：前3分钟匀速前进 了500米，自行车没气 了，打气花了2分，继 续匀速前进，用5分钟 走到学校．
二、方法技巧专题 专题一：数形结合思想
白瓷砖数：n×(n+1)=20×21=420 黑瓷砖数：506-420=86，费用：86×4+420×3=1604（元）
如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、 DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的 面积为y,如果y关于x的函数图象如图所示,则 △ABC的面积是( ) 10