【精品】2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）一个等差数列第5项a 5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）
A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2
2．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）
A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2
3．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，
△ABC的面积为，则c的值为（）
A．1 B．2 C．D．
7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）
A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）
A．钝角B．直角C．锐角D．60°
9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）
A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣5
10．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）
A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2
11．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）
A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．
12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）
A．B．C．D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为．
15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值．
16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0
（2）当x＞1时，求x+的最小值．
18．（12分）等差数列{a n}中，
（1）已知a4+a17=8，求s20；
（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．
19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；
（2）求△ABC的面积．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．
22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）
A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2
【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．
解得a1=﹣2，d=3．
故选：A．
2．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）
A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴a2＞ab，ab＞b2，
即a2＞ab＞b2，
故选：B．
3．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，
则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
【解答】解：由正弦定理得：=，
即sinB==，
则B=arcsin或π﹣arcsin，
即此三角形解的情况是两解．
故选：B．
5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，
则（a1+a3）q=a2+a4，
即60q=180，解得q=3，
则a1+q2a1=10a1=60，
解得a1=6，
故选：C．
6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，
△ABC的面积为，则c的值为（）
A．1 B．2 C．D．
【解答】解：∵△ABC中，A=，b=1，
∴△ABC的面积为S=bcsinA=
即×1×c×sin=，解之得c=2
故选：B．
7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）
A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
【解答】解：一方面∵=729，
∴该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列；
另一方面∵=363，
∴该数列有可能是以首项为3、公差为6的等差数列；
故选：B．
8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）
A．钝角B．直角C．锐角D．60°
【解答】解：在△ABC中，sin2A+sin2B=2sin2C，
利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，
∴cosC==＞0，即C为锐角，
故选：C．
9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）
A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣5
【解答】解：∵点（3，4）不在不等式y≤3x+b所表示的区域，而点（4，4）在不等式y≤3x+b所表示的区域
∴即﹣8≤b＜﹣5
故选：C．
10．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）
A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2
【解答】解：y==（x﹣1）++2
∵x＞1，∴x﹣1＞0
∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）
∴y=≥2+2
故选：A．
11．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）
A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．
【解答】解：当n≥2时，由a1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，
∴a n=2n﹣1，当n=1时也成立．
∴=4n﹣1．
∴a12+a22+…+a n2==．
故选：D．
12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）
A．B．C．D．1
【解答】解：由题意，a11=，∵每一列成等差数列，∴a i1=a11+（i﹣1）×=，∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，
∴a ij=a i1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1，
∴a83=8×（）4=
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．【解答】解：△ABC中，由三角形内角和公式可得A=75°，
再根据大角对大边可得b为最小边．
再根据正弦定理可得，即=，
解得b=，
故答案为．
14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（﹣，3] ．
【解答】解：若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3，
若m=﹣1，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为4x﹣1＜o不合题意；若m=3，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为﹣1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取，
设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1，
当m2﹣2m﹣3＜0且△=[﹣（m﹣3）]2+4（m2﹣2m﹣3）＜0，解得：﹣＜m ＜3，
即﹣＜m≤3时不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，
故答案为：．
15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值126．
=2a n（n∈N*），且a1=2≠0，
【解答】解：在数列{a n}中，由a n
+1
可得，
∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
故答案为：126．
16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是[] ．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
s==，其几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）的连线的斜率．
∵，．
∴s的取值范围为[]．
故答案为：[]．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0
（2）当x＞1时，求x+的最小值．
【解答】解：（1）不等式3x2﹣5x﹣2≤0可化为：
（x﹣2）（3x+1）≤0，
解得，﹣≤x≤2，
即不等式的解集为{x|﹣≤x≤2}；
（2）因为x＞1，所以x﹣1＞0，
则x+=（x﹣1）++1
≥2•+1
=2+1=3，
当且仅当：x=2时，取“=”，
因此，原式的得最小值3．
18．（12分）等差数列{a n}中，
（1）已知a4+a17=8，求s20；
（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．
【解答】解：（1）等差数列{a n}中，
∵a4+a17=8，
∴S20==10（a4+a17）=10×8=80．
（2）等差数列{a n}中，
∵d=3，a n=20，S n=65，
∴，
解得或
解得n=10或n=（舍）．
∴n=10．
19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，c=2，B=120°，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+4+6=19，
则b=；
（2）∵a=3，c=2，sinB=，
=acsinB=．
∴S
△ABC
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，
B∈（0，π），
可知：cosB≠0，否则矛盾．
∴tanB=，∴B=．
（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴9=a2+c2﹣ac，
把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，
∴．
21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．
【解答】解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，则，目标函数为z=3x+2y，作出可行域如图
把z=3x+2y变形为y=﹣，得到斜率为﹣．在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y=﹣经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．由得A（，3），
∴z min=3×+2×3=14.4．
∴选用甲种原料×10=28（g），乙种原料3×10=30（g）时，费用最省．
22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，
故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．
设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．
故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．
（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，
T n=c1+c2+…+c n
T n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣1
4T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n
两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n =[（6n﹣5）4n+5]
∴T n
=[（6n﹣5）4n+5]
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
B
D
C
O
A
P
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．G
C
M E D O
B
A
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB 组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。