数学丨陕西省西安市2022级2025届高三上学期11月联考数学试卷及答案

2022级高三第一学期月考（二）考试试题
数学
本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.若集合{
}2
1,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设1i z =-，则2i z +=（）
A.1
B.i
C.i -
D.1
-3.若()*13N n
x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）
A.54
B.54
- C.108
D.108
-
4
.
已知a =
3log b =2log c =）A.b a c << B.c a b
<< C.c b a
<< D.b c a <<
5.已知,αβ都是锐角，()cos ,sin 510
αβα+=
=
，则cos β=（）
A
.10
B.
10
C.
2
2
D.
10
6.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，
则0,2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
的概率是（）
A.
512 B.
12
C.
712
D.
56
7.已知数列{}n a 是正项数列，(
)2
*
3n n n +=+∈N ，则9
1
2
2310
a a a
++⋅⋅⋅+=（）
A.216
B.260
C.290
D.316
8.已知函数222,0
()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨
+>⎩
的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）
A.1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B.(0,)
+∞ C.1,24⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D.
(]
0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开
平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =
，且33
4
ABC S =
△，则（）
A.ABC V 外接圆的半径为
3
B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为
4
C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为
134
D.若O 为ABC V 的外心，则()
5
AO AB AC ⋅+=
10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（
）
A.//EF 平面11AA B B
B.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为
5
C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是
5
D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为
322
11.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2
:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）
A.直线AB 与抛物线C 相切
B.6
OP OQ ⋅=
C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||
PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||
PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=
___________.
13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e e
x
x
f x x -=-+，则关于x 的不等式()
()2
430f x f x -+<的解集为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为
14，击中内环的概率为1
4，击中外环的概率为12
，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .
16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．
（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；
（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.
18.如图，
曲线y =
设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a
．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；
（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413
(2,N 4
)n n k k k k k k k k n n -++++<
≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
的离心率为2
，
右顶点为)
E
.,A B 为双曲线C 右支上
两点，且点A 在第一象限，以AB
为直径的圆经过点E .
（1）求C 的方程；
（2）证明：直线AB 恒过定点；
（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求
PBE
MBE
S S 的值.
2022级高三第一学期月考（二）考试试题
数学
本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.若集合{
}2
1,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B 【解析】
【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得1
3
a =或0a =或3a =，当13a =
时，11,9,9A ⎧
⎫=⎨⎬⎩
⎭，{}9,1B =符合题意；
当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；
当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

所以实数a 的个数为2个.故选：B
2.设1i z =-，则2i z +=（）
A.1
B.i
C.i -
D.1
-
【答案】C 【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.
【详解】因为1i z =-，所以()2
222i 1i i 12i i i i z +=-+=-++=-.故选：C
3.若()*13N n
x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）
A.54
B.54
- C.108
D.108
-【答案】A 【解析】
【分析】令1x =，结合已知求出n ，再求出展开式的通项，令x 的指数等于零，即可得解.【详解】令1x =，可得()3116n
-=，所以4n =，
则413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()44421441C 313C k
k k k k k x
k T x x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪
⎝⎭
，令420x -=，得2x =，
所以展开式中的常数项为()2
22413C 54-⨯=.故选：A .
4.已知
a =
，3log b =2log c =）A.b a c << B.c a b
<< C.c b a
<< D.b c a
<<【答案】D 【解析】
【分析】根据对数函数的单调性以及幂函数的单调性即可求解.
【详解】3
31log log 2b =<=
,221
log log 2
c =>=，所以b c <，
1a =>
，而22log log 21c =<=，所以c a <，
故b c a <<.故选：D
5.已知,αβ都是锐角，()cos ,sin 510
αβα+=
=
，则cos β=（）
A.
10
B.
10
C.
2
2
D.
10
【答案】B 【解析】
【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，
则()5310
sin ,cos 510
αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα
⎡⎤=+-=+++⎣⎦
51051010
=
⨯+⨯=
.故选：B.
6.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
的概率是（）
A.
512 B.
12
C.
712
D.
56
【答案】C 【解析】
【分析】由0,2πθ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，得出0a b m n ⋅=-≥ ，计算出基本事件的总数以及事件m n ≥所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】0,
2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，0a b m n ∴⋅=-≥ ，即m n ≥，事件“0,
2πθ⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
”所包含的基本事件有：()1,1、()2,1、()2,2、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()6,1、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，
共21个，
所有的基本事件数为2636=，因此，事件“0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦”的概率为217
3612
=.故选：C.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.
7.已知数列{}n a 是正项数列，(
)
2
*
3n n n +=+∈N
，则
912
2310
a a a ++⋅⋅⋅+=（）
A.216
B.260
C.290
D.316
【答案】A 【解析】
【分析】当2n ≥()()2
131n n ++=-+- ，与已知式相减，得
()()2
2313122
n n n n n =+----=+，检验首项即可得到数列通项公式，根据通项求和.
【详解】令1n =4=，∴116a =．
当2n ≥()()2
131n n ++=-+- ．
()()2
2313122n n n n n =+----=+．∴()2
41n a n =+，又1n =时，1a 满足上式，∴()()241n a n n *
=+∈N ．
∴
441n a n n =++，∴()912984021623102
a a a
⨯++++== ．故选：A
8.已知函数222,0
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧++≤=⎨
+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）
A.1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B.(0,)
+∞ C.1,24⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D.
(]
0,2【答案】D 【解析】
【分析】作函数()f x 的大致图像（实线），平移直线y k x =-，数形结合得出实数k 的取值范围.【详解】如图，作函数()f x 的大致图像（实线），平移直线y k x =-，由222k x x x =+-+可得，
2
320x x k ++-=，19840,4
k k ∆=-+==
，故当1
4k =-时，直线14y x =--与曲线
222(0)y x x x =++≤相切；当0k =时，直线y x =-经过点(0,0)，且与曲线222(0)y x x x =++≤有2
个不同的交点；当2k =时，直线2y x =-经过点(0,2)，且与()f x 的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当(]0,2k ∈时，()f x 的图像与直线y k x =-有3个不同的交点．
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开
平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足
sin :sin :sin 3A B C =
，且4
ABC S =
△，则（）
A.ABC V 外接圆的半径为
3
B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为
4
C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为
134
D.若O 为ABC V 的外心，则()
5
AO AB AC ⋅+=
【答案】BD 【解析】
【分析】依题意由正弦定理可得::3a b c =
，根据余弦定理和三角形面积公式可求得a =
正弦定理可得A 错误；根据等面积法可得角平分线AD
的长为4
，即B 正确；由()12AD AB AC =+ 可求
得13
2
AD = ，即C 错误；利用外接圆以及投影向量的几何意义可得D 正确.
【详解】根据题意由sin :sin :sin 3A B C =
，利用正弦定理可得::3a b c =，
不妨设,,3a b m c m =
==，
利用余弦定理可得222222971
cos 2232
b c a m m m A bc m m +-+-===⋅，又()0,πA ∈，可得π3A =；
又面积为213333
sin 244
ABC S bc A m ===
，解得1m =，
所以a =
对于选项A ，设ABC V 外接圆的半径为R
，由正弦定理可得2sin a
R
A
=
=，
所以21
3
R =
，即A 错误；对于B ，分别作,BE CF 垂直于AD ，垂足为,E F
，如下图所示：
易知ABC V 的面积为(
)111sin 302224
ABC S AD BE AD CF AD b c =
⋅+⋅=⋅+=
，可得33
4
AD =
，即B 正确；对于C ，若D 为BC 的中点，易知()
12
AD AB AC =+
，如下图所示：
所以可得()
22211113
2912314424
AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ，可得13
2
AD = ，即C 错误；
对于D ，延长AO 交外接圆于点1A ，连接11,A B A C
；如下图所示：
易知1AA 即为直径，所以可知1A B AB ⊥，1A C AC ⊥；利用投影向量的几何意义可得
()()
()
()211211152
9212AO AB AC AA AB AA AC AB AC +=⋅+=+⋅+==⋅⨯ ，
即可得D 正确.故选：BD ．
【点睛】方法点睛：在解三角形问题中遇到与角平分线或者中线相关的问题时，可根据题目信息采用等面积法求解角平分线长度，利用向量求解中线长度.
10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（
）
A.//EF 平面11AA B B
B.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为
255
C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是
5
D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为2
【答案】ABD 【解析】
【分析】以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的数量积等于零可判断A ；求得直线EF 与平面ABC 的法向量，利用向量法可求得直线
EF 与平面ABC 所成角的正弦值可判断B ；利用向量法求得F 到平面BDM 的距离可判断C ；利用异面直
线所成角的空间向量求法求得BD 的长可判断D.
【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，于是以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点，D 在线段11B C 上，
所以111(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,2),(0,0,2),(0,2,2),(2,0,2)A B C E F A C B ，对于A ：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，
又，AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥，又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，
所以(0,2,0)AC =
为平面11AA B B 的一个法向量，又(1,0,2)EF =- ，
则(0,2,0)(1,0,2)0AC EF ⋅=⋅-=
，
又EF ⊄平面11AA B B ，//EF 平面11AA B B ，故A 正确；对于
B ：1(0,0,2)A A =
为平面
ABC 的一个法向量，又(1,0,2)EF =-
，
设直线EF 与平面ABC 所成角为θ，
则111·25
sin cos 5·,AA EF AA EF AA EF θ=== ，故B 正确；
对于C ：若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则(1,0,2),(1,1,2)M D ，
则(1,0,2),(0,1,0)MB MD =-=
，
设平面BDM 的一个法向量为(,,)m x y z =
，
则200
m MB x z m MD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1z =，则2,0x y ==，所以平面BDM 的一个法向量为)2,1(0,m = ，又(1,1,0)MF =-
，所以F 到平面BDM
的距离是||25
5
||
m MF d m ⋅=
=
，故C 错误；对于D ：设111(2,2,0)(2,2,0)(01)B D B C λλλλλ==-=-≤≤
，则11(0,0,2)(2,2,0)(2,2,2)BD BB B D λλλλ=+=+-=-
，
设直线BD 与直线EF 所成角为α，又(1,0,2)EF =-
，
则·cos cos ,·BD EF BD EF BD EF
α===
，
当
34
023
λ-=+，即14λ=时，cos α取最大值，此时直线BD 与直线EF 所成角最小，
11(,,2)22BD =-
，||2
BD = ，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】方法点睛：求线线角，线面角，面面角的最大值与最小值，关键是用变量把动点的坐标或向量表
示出来，进而用变量去表示这些角的余弦与正弦值，从而求得取最值时的变量值，进而解决有关问题.11.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2
:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的
直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）
A.直线AB 与抛物线C 相切
B.6
OP OQ ⋅=
C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF =
D.存在直线l ，使得||||2||
PF QF BF +=【答案】AC 【解析】
【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线AB 的方程联立方程组求出交点，可判断A ；用直线l 的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B 选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C ；由||||2||PF QF BF +=得122y y +=，进而求k 的值，从而用0∆=来可判断D 选项.
【详解】因为点()2,1A 在抛物线()2
:20C x py p =>上，所以42p =，解得2p =，
即抛物线方程为24x y =，焦点0,1.对于A ：直线AB 的方程为
10
1120
y x +-=+-，即1y x =-，因为214y x x y =-⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩
，所以直线AB 与抛物线C 相切点()2,1A ，故A 正确；
对于B ：设过点B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意；所以直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ，
由214y kx x y
=-⎧⎨=⎩，得2440x kx -+=，则216160k ∆=->，即1k <-或1k >，于是12124,4x x k x x +==，
又()2
222121212111141441616y y x x x x =
⋅==⨯=，所以12125OP OQ x x y y ⋅=+=
，故B 错误；
对于C ：由焦半径公式可得1122||1,||122
p p
PF y y QF y y =+=+=+=+，因为P 是线段BQ 的中点，
所以211
2
y y -=
，整理得()12211y y +=+，即2||||PF QF =，故C 正确；对于D ：若||||2||PF QF BF +=，则()()()12112114y y +++=--=，得122y y +=所以()2
1212224242y y k x x k k k =+=+-=⋅-=-，即244k =，解得1k =±，
此时216160k ∆=-=，则直线l 与抛物线相切，故D 错误.
故选：AC.
【点睛】易错点睛：在判断D 选项时，求出1k =±误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=
___________.
【答案】28-【解析】
【分析】利用相反向量将BC CA ⋅ 转化为CB CA -⋅
，然后由数量积定义可得.
【详解】因为60C =︒，7BC =，8AC =，所以78cos 6028BC CA CB CA ⋅=-⋅=-⨯⨯︒=-
.故答案为：28
-13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____【答案】4
15
【解析】
【分析】根据题意分析得甲只能被抽取两张3，乙抽取的两张牌要至少有一张5，再根据古典概型求概率公式求概率即可．
【详解】解：一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽
取的两张牌的点数之和应更小．
若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．
故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则至少有一张5，
综上211
2446
422
610C C C C 66244C C 154515
P ++=⋅=⨯=．故答案为：
4
15
．14.已知函数()2sin e e x
x
f x x -=-+，则关于x 的不等式()
()2
430f x f x -+<的解集为______.
【答案】{|4x x <-,或}1x >【解析】
【分析】判断出函数()f x 的奇偶性，利用导数判断出单调性，利用奇偶性、单调性可得答案.【详解】∈，()()
()2sin e e 2sin e e x
x x x f x x x f x ---=--+=-+-=-，
所以()f x 为奇函数，
()()
e +e 2cos 22cos 0x x
f x x x -=--≤-+≤'，
当且仅当0x =等号成立，所以()f x 在∈上单调递减，
由(
)
()2
430f x f x -+<得(
)
()()2
433f x f x f x -<-=-，
可得243->-x x ，解得<4x -，或1x >，
所以不等式(
)
()2
430f x f x -+<的解集为{|4x x <-,或}1x >.
故答案为：{|4x x <-,或}1x >.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为
14，击中内环的概率为1
4，击中外环的概率为12
，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；
（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .
【答案】（1）
1
2
（2）分布列见解析，37()4
E X =【解析】
【分析】（1）记事件A ：该同学得分为8分，事件B ：该同学只射击了2发子弹，利用相互独立事件同时发生的概率公式得1
()8P A =
，1()16
P AB =，再利用条件概率公式即可求出结果；（2）由题知X 可能取值为0,4,8,12,16,20,24，利用相互独立事件同时发生的概率公式，分别求出X 每个取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求出结果.【小问1详解】
记事件A ：该同学得分为8分，事件B ：该同学只射击了2发子弹，
由题知111111()442248P A =⨯+⨯⨯=，111
()4416
P AB =⨯=,所以
1
()1
16(|)1()28
P AB P B A P A ===.【小问2详解】
由题知X 可能取值为0,4,8,12,16,20,24，
1
(0)4P X ==
，111(4)248P X ==⨯=，111111(8)442248P X ==⨯+⨯=，1111111113
(12)22224442416
P X ==⨯⨯+⨯⨯+=，
11111111111113
(16)22424244442264P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，
1113(20)324432P X ==⨯⨯⨯=，1111
(24)44464P X ==⨯⨯=，
所以X 的分布列为
X
48
1216
20
24P
14
18
18
316
1364
332
164
1113133137
()04812162024488166432644
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．
（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；
（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．【答案】（1）证明见解析
（2【解析】
【分析】（1）取BC 的中点，连接AO ，1AO ，根据几何体的性质及线面垂直的性质得出11A O A D ⊥，
1A D BC ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以BC 中点O 为坐标原点，以OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，利用向量法即可求出答案．【小问1详解】
证明：取BC 的中点，连接AO ，1AO ，
2AB AC == ，D 是11B C 的中点．
111A D B C ∴⊥，
11//BC B C ，1A D BC ∴⊥，
因为1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，所以1A O ⊥面ABC ，
又面ABC ∕∕面111A B C ，所以1A O ⊥面111A B C ，
又1A D ⊂面111A B C ，所以11A O A D ⊥，因为1A O BC O ⋂=，所以1A D ⊥平面1A BC ；【小问2详解】
解：如图，以O 为坐标原点，以OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，
则1
BC AO ===
则1(0,A A C
，1((B D B
，1(A D =
，(BD =
，
设平面1A BD 的法向量为(,,)m x y z =
，
则100m A D m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，
得00
⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
取1z =
，得m =
，
因为1A O ⊥面11A DB ，
所以(1OA =
即为平面11A DB 的一个法向量，
则1cos ,m OA =
=
所以二面角11A BD B --的平面角的余弦值为
24，正弦值为144
，故二面角11A BD B --
．
17.
已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；
（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,+∞)上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.
【详解】（1）11()(0)ax f x a x x x
-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,+∞)上单调递增；
当0a >时，令()0f x '=，得到1x a =
，所以当10,x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,+∞)上单调递增；
当0a >时，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x e x
ϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,+∞)上单调递增.又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,+∞)上有唯一实数根0x ，且012x <<，
则()0200
10x x e x ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；
当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；
所以()0200()ln x x x e x ϕϕ-≥=-，结合020
1x e x -=，知002ln x x -=-，所以()()2200000000
1211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->，
即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.
【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.
18.如图，
曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a
．（1）求12,a a 的值；
（2）求出的通项公式；
（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4
)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．
【答案】（1）123a =，243
a =；（2）23n a n =；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，用12,a a 表示出点12,P P 的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）令n S 为数列{}n a 的前n 项和，利用1n a +与n S 表示出点1n P +的坐标，代入曲线方程即可得1n a +与n S 的关系，再利用递推关系求出通项.
（3）由（2）求出点n P 的横坐标，利用导数的几何意义求出n k ，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
依题意，101Q PQ 为正三角形，且110||0Q Q a =>，观察图象得1111()2P a ，而点1P 在曲线y =上，
即132a =，解得123a =，122Q P Q △为正三角形，且221||0Q Q a =>，点21221(,)22
P a a a +在曲
线y =上，
232a =，整理得22283203a a --=，解得243a =，所以123a =，243
a =.【小问2详解】
令n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n Q P Q ++ 是正三角形，点(,0)n n Q S ，
11||0n n n Q Q a ++=>，于是点1111()2n n n n P S a ++++在曲线y =上，
则12n a +=2113142n n n S a a ++=-，当2n ≥时，213142n n n S a a -=-，两式相减得：22113131()4242n n n n n a a a a a ++=
---，整理得1112()()()3n n n n n n a a a a a a ++++-=+，则123n n a a +-=，而2123a a -=满足上式，因此N n *∀∈，123n n a a +-=，即数列{}n a 是首项为123a =，公差23
d =的等差数列，12(1)3n a a n d n =+-=，所以数列{}n a 的通项公式是23
n a n =.
【小问3详解】
由（2）知，当2n ≥时，213142n n n S a a -=
-，则点n P 的横坐标221131243n n n n x S a a n -=+==，显然113
x =满足上式，因此213n x n =，
由y =
求导得，y '=
，于是213|2n x n k y n
='==，当2n ≥时，133311(2(1)241n n k k n n n n
-=⋅=---，所以1223341311]111[(1)()(42311(4123n n k k k k k k k k n n -=
+-+-+++--+-++ 313(1)44n =-<.【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
的离心率为2
，
右顶点为)
E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E
.（1）求C 的方程；
（2）证明：直线AB 恒过定点；
（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBE MBE
S S 的值.【答案】（1）2
212
x y -=（2）证明见解析
（3）94
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）根据中点坐标可得21835
m =
，即可根据三角形面积之比求解.【小问1详解】
右顶点
)
,E a ∴
=2
c e a ==
，解得1c b =∴==221:2
x C y -=∴
.【小问2详解】
设1,1,2,2，可设直线:AB x my t =+.
联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()
2222220,m y mty t -++-=则()
22220Δ820m m t ⎧-≠⎪⎨=-+->⎪⎩，即22222m m t ⎧≠⎨+<⎩.212122222,22
mt t y y y y m m -∴+=-=--. 以
AB
为直径的圆经过点,1AE BE E k k ∴⋅=
=-
(
)(()22121211(0m y y m t y y t =-∴++-++=
()(
)(22222212(022m t mt m t t m m ⋅+-∴
-
+-=--
，化简得()0
t t -=
当t =时，直线:AB x my =
经过点E ，不符条件，舍去.
t ∴=.
∴直线:AB
x my =+()
M .
【小问3详解】
由（2
）知12122216,22
y y y y m m +=-=--
.()
320,,P M m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,M 为PA
中点，32A m ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，代入2212x y -=得21835m =.
由1222162
y y y m m ==-得()228232y m =-
.()22292139,844
P PBE MBE PEM BEP MBE MBE BEM m y S S S S
S S y m S -+∴=====∴= 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。