2021年高三上学期期末考试 数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期期末考试 数学（文）试题 含答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。

考试时间90分钟，满分100分。

注意事项：
1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

1.已知，其中为虚数单位，则
A.-1
B.1
C.2
D.3
2.设全集集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝
3.设)sin()(2
φπ
φφ+===x x f R ”是“，则“
为偶函数“的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是 A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值和最大值分别为
A.-6，11
B.2，11
C.-11，6
D.-11，2
6.已知，则的值为
A. B. C. D.
7.设a,b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题：
①若②若
③若④若
其中正确命题的个数是
A.0
B. 1
C.2
D.3
8.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则曲线在处的切线的斜率为
A.2
B.-2
C.1
D.-1
9.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为
A.?
B.？
C.？
D.?
10.函数的图象大致是
11.已知直线与直线互相垂直，则的最大值等于
A.0
B.2
C.4
D.
12.过抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。

13.等比数列，，前项和为 . 14.已知函数，，且关于的方程有两个实根，则实数 的范围是 15.已知函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈--+=2,412cos 3)4(
sin 2)(2
πππ
x x x x f ，则的最小值为 .
16.研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为。

类比上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

请把解答题答在答题卡限定的区域内，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，且，设向量
m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)==（.
（1）若，求B；
（2）若，求边长c。

18.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB//EF，，平面.
（1）若G点是DC中点，求证：.
（2）求证：.
19.（本小题满分12分）
有六张纸牌，上面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数。

如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜。

（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？说明理由。

20.（本小题满分12分）
等差数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C 方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为. （1）求椭圆方程.
（2）已知A 、B 方程为椭圆的左右两个顶点，T 为椭圆在第一象限内的一点，为点B 且垂直轴的直线，点S 为直线AT 与直线的交点，点M 为以SB 为直径的圆与直线TB 的另一个交点，
求证：
22.（本小题满分14分）
已知函数),1()1ln()1(2)1(2)(2
+∞∈--+-+=x x a x a x x f . （1）是函数的一个极值点，求a 的值； （2）求函数的单调区间；
（3）当时，函数，若对任意，都成立，求的取值范围。

高三数学（文）试题参考答案 xx.01
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
D
A
D
A
C
B
D
C
C
B
B
13. 14.(0,1] 15.1 16.
三、解答题 17.证明：（1）…………2分 由正弦定理得 ………4分 又
………4分 由题意可知
………①…………8分 由正弦定理和①②得,
………②…………10分
2
4
12163)(2222=∴=-=-+=-+=∴c ab b a ab b a c ……………12分
18.解：（1）EF AB EF CD AB DC G //,2==中点，点是若
…………4分 又
（2）（1）BAF AD AB AD ABCD ABFE 平面，平面平面⊥∴⊥⊥, ………8分
………10分 ………12分 19.解：（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A ，甲的点数为x,乙的点数为y,则（x,y ）表示一个基本事件.………2分 两人取牌结果包括（1，1），（1，2），…（1，5），（1，6），（2，1），…（6，1），…（6，6）共36个基本事件；……4分 A 包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3）（4，2），（5，1）共5个， 所以
所以，编号之和为6且甲胜的概率为………6分 （2）这种游戏公平。

设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数.…8分
所包含基本事件为以下18个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3）（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）………10分
所以甲胜的概率为2
13618;213618)(====）（乙胜的概率为C P B P
………12分 20.解：（Ⅰ）设数列 且
解得………2分 所以数列……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 所以………6分 所以………
两式相减得……………10 分 …………12分 21.解：（1）设右焦点为（c,0）,则过右焦点斜率为1的直线方程为：y=x-c ……1分 则原点到直线的距离 ……3分 ………4分
（2）设直线AT 方程为：）坐标为（设点11,)0)(2(y x T k x k y 〉+
=
0242421)2(1
2
22222
2=-+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+k k x k x k y y x ）得：（ …………6分 …………7分
又）（），，点的坐标为（2
222122,212402k k
k k BT B ++-=∴ …………8分
由圆的性质得：
所以，要证明只要证明………9分 又
…………10分 …………11分 即
…………12分 22.解：（1）函数 ，……………2分 是函数的一个极值点
解得：…………4分 (2)1
)
(21)1(2)1(22--=--+-+='x a x x x a a x f
），）的单调增区间为（（时，函数当∞+≤∴11x f a ………6分 为增区间）为减区间，（，时，（当),11+∞〉a a a ………8分
（3）当a=2时，由（2）知f(x)在（1，2）减，在（2，+∞）增.
3)1(,11
)11(,0)2(22-=++=+=e e f e e f f
]3,0[]1,11
[)(2-++=∴e e e
x f y 的值域在……10分
])11(,1[]1,11[)(22
b e
b e e e x g y -+--+-++=∴）（的值域为在…………11分
b>0
成立，只要
所以e e m g m f b e b e 22)()(0
)1(,0)11
(22122+〈-〈-+-〈-+-∴ 成立即可e e b e e b e e b e e 22222)1(3))1(3222222+〈+-+=+++-=-+---…12分
解得：0<b<2…………14分nU36343 8DF7 跷35896 8C38 谸w31962 7CDA 糚L34641 8751 蝑37236 9174 酴 26158 662E 昮33386 826A 艪21693 54BD 咽:39191 9917
餗。