优班提优卷3

优班训练卷
1.阅读下面的材料，回答问题：
解方程0452
4=+-x x ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设y x =2，那么24y x =，于是原方程可变为0452=+-y y ①，解得11=y ，42=y . 当11=y 时，12=x ，1±=∴x ；
当42=y 时，42=x ，2±=∴x ； ∴原方程有四个根：11=x ，12-=x ，23=x ，24-=x .
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想.
（2）解方程012)(4)(222=-+-+x x x x .
2.如图，在ABC ∆中，︒
=∠90ACB ，D 是AB 的中点，以DC 为直径的⊙O 交ABC ∆的边于G ，F ，E 点.
（1）求证：F 为BC 边的中点；
（2）判断四边形BDEF 的形状，并说明你的理由；
（3）若︒=∠35A ，求弧DG 的度数.
3.已知m 、n 、p 分别是ABC Rt ∆的三边长，且p n m <≤.
（1）求证：关于x 的一元二次方程022=++n px mx 必有实数根；
（2）若1-=x 是一元二次方程022=++n px mx 的一个根，且ABC Rt ∆的周长为222+，求ABC Rt ∆的面积.
参考答案
1、（1）换元，降次（2）21=x ，32-=x
2、证明一：
（1）连接DF ，∵∠ACB=90°，D 是AB 的中点，∴BD=DC=
21AB ， ∵DC 是⊙O 的直径，∴DF ⊥BC ，
∴BF=FC ，即F 是BC 的中点；
（2）平行四边形，证明略
（3）∵DF ∥AC ，EF ∥AB
∴∠A=∠BDF=∠FEC ，
∴∠D EG=90°-35°-35°=20°，∴弧DG 的度数为40°
证明二：
（1）连接DF ，DE ，
∵DC 是⊙O 直径，∴∠DEC=∠DFC=90°．
∵∠ECF=90°，∴四边形DECF 是矩形．
∴EF=CD ，DF=EC ．
∵D 是AB 的中点，∠ACB=90°，∴EF=CD=BD=2
1AB ． ∴△DBF ≌△EFC ．∴BF=FC ，即F 是BC 的中点．
（2）平行四边形，证明略
（3）略
3、（1）证明：∵m 、n 、p 分别是Rt △ABC 的三条边，且m ≤n ＜p ∴p 2＝m 2＋n 2
∴b 2－4ac ＝(2p )2－4mn ＝2p 2－4mn ＝2(m 2＋n 2)－4mn ＝2(m －n )2≥0 ∴关于x 的一元二次方程mx 2＋2px ＋n ＝0必有实数根
（2）解：∵x ＝－1是一元二次方程mx 2＋2px ＋n ＝0的一个根
∴m －2p ＋n ＝0…① 又∵Rt △ABC 的周长为22＋2
∴m ＋n ＋p ＝22＋2…②
由①、②得：m ＋n ＝22，p ＝2
∴(m ＋n )2＝(22)2
∴m 2＋n 2＋2mn ＝8
又∵m 2＋n 2＝p 2＝4 ∴2mn ＝4 ∴S △ABC =12
mn ＝1。