湖北省武汉市江夏区五里界镇凤皇中学2019年4月中考数学模拟试卷(含解析)

2019年湖北省武汉市江夏区五里界镇凤皇中学中考数学模拟试卷
（4月）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点D．线段FC的中点
2．以2和4为根的一元二次方程是（）
A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0
3．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣2）
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）
A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x+2）2﹣2
5．下列事件中，是随机事件的是（）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°
B．任意抛一枚图钉，钉尖着地
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．太阳从东方升起
6．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）
A．3cm B．C．4cm D．
7．要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）
A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30
8．若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（）
A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm
9．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的
频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）
A．8B．12C．16D．20
10．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1的最大值为（）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是（精确到0.1）．
12．如图，A、B、C为⊙O上三点，∠ACB＝20°，则∠BAO的度数为度．
13．用22cm长的铁丝，折成一个面积为28cm2的矩形，这个矩形的长是．
14．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、
E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为．
15．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需个五边形．
16．如图，有一条长度为1的线段EF，其端点E、F在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹的长是．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）x2﹣2x﹣15＝0．
18．（8分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，
（1）求证：△PCM为等边三角形；
（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
19．（8分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？
20．（8分）袋中有一个红球和两个自球，它们除颜色外其余都相同，任意摸出一球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一球，记下它的颜色．
（1）请把树状图填写完整．
（2）根据树状图求出两次都摸到白球的概率．
21．（8分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，
AC＝OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．
22．（10分）中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y（套）和售价x（元）之间存在一次函数关系，绘制图象如图．
（1）y与x的函数关系式为（并写出x的取值范围）；
（2）若该文具店每天要获得利润80元，则该套文具的售价为多少元？
（3）设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？
最大利润是多少？
23．（10分）已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；
童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．
（2）如图2，点M、N分别在边AB、CD上，且BN＝DM．当点E、F分别在BM、DN上，连接EF，探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，当点E、F分别在对角线BD、边CD上．若FC＝2，则BE的长为．
24．（12分）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
2019年湖北省武汉市江夏区五里界镇凤皇中学
中考数学模拟试卷（4月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC 的中点．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握中心对称图形的特点是解题关键．2．【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．
【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．
3．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（4，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣4，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．4．【分析】先确定抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，2），
所以所得的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件，故本选项正确；
C、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项错误；
D、太阳从东方升起是必然事件，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，
由题意知OC＝3，且OC⊥AB，
∵AB＝6，
∴AC＝AB＝3，
则OA＝＝＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是利用垂径定理的知识构造直角三角形，然后利用勾股定理求解．
7．【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
8．【分析】设出半径为R，扇形面积公式S＝lR建立方程求解．
【解答】解：设半径为R，则
×16R＝56，
∴R＝7cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形面积和弧长计算的知识点，熟练掌握公式S＝lR是解答的关键．9．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
【解答】解：根据题意得，＝，
解得，m＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
10．【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1最值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1），函数的最大值为1，
故选：A．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x ＝h，此题考查了学生的应用能力．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
12．【分析】根据圆周角定理先求出∠O，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解．【解答】解：连接OB，
∵∠ACB ＝20°
∴∠AOB ＝2∠C ＝40°
∵OB ＝OA
∴∠BAO ＝∠OAB ＝＝70°．
【点评】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．【分析】设矩形的一边为xcm ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设矩形的一边为xcm ，
那么由题意可知x （11﹣x ）＝28，
解得：x 1＝4，x 2＝7，
因此矩形的长为7cm ，
故答案为：7cm ．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
14．【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC ，AC 的长，利用S △ABC ﹣S 扇形BOE ＝图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，
∵B ，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA ＝∠EOB ＝∠BOD ＝60°，
∴∠BAC ＝∠EBA ＝30°，
∴BE ∥AD ，
∵
的长为，
∴＝，
解得：R ＝2，
∴AB ＝AD cos30°＝2
，
∴BC ＝AB ＝，
∴AC ＝＝
＝3，
∴S △ABC ＝×BC ×AC ＝×
×3＝， ∵△BOE 和△ABE 同底等高，
∴△BOE 和△ABE 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE ＝
﹣＝﹣．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE 和△ABE 面积相等是解题关键．
15．【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故 排成圆环还需 7个五边形．
故答案为：7．
【点评】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．
16．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，
然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．
【解答】解：如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5＝π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，
合起来就是：2×4+π＝8+π．
故答案为：8+π．
【点评】本题考查了点的轨迹与正方形的四条边都相等的性质，判断出轨迹是四条弧与四条相等的线段的和是解题的关键，也是解本题的难点．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
【解答】（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，
∠BAC＝∠BPC＝60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC＝∠PCM＝60°，
∴△PCM为等边三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP＝∠ACM，
在△BCP和△ACM中，
，
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB＝AM，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+PB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
＝（PB+CM）×PH＝×（2+3）×＝．
∴S
梯形PBCM
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．
19．【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．
【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，
整理得：（x﹣2）（x﹣33）＝0，
解得x＝2或x＝33舍去），
答：通道应设计成2米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
20．【分析】（1）利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，
（2）找出两次都是白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图知，共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到白球的结果数为4，
所以两次都摸到白球的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21．【分析】（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB＝90°的问题来解决．本题应先
说明△ACO是等边三角形，则∠O＝60°；又AC＝OB，进而可以得到OA＝AC＝OB，则可知∠B＝30°，即可求出∠OAB＝90°．
（2）作AE⊥CD于点E，CD＝DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．
【解答】（1）证明：如图，连接OA；
∵OC＝BC，AC＝OB，
∴OC＝BC＝AC＝OA．
∴△ACO是等边三角形．
∴∠O＝∠OCA＝60°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B，
又∠OCA为△ACB的外角，
∴∠OCA＝∠CAB+∠B＝2∠B，
∴∠B＝30°，又∠OAC＝60°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作AE⊥CD于点E，
∵∠O＝60°，
∴∠D＝30°．
∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，
∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝；
∵∠D＝30°，
∴AD＝2，
∴DE＝AE＝，
∴CD＝DE+CE＝+．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
22．【分析】（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，把（5.5，90）和（6，80）代入y＝kx+b即可得到结论；
（2）根据题意得方程即可得到结论；
（3）根据题意得二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（5.5，90）和（6，80）代入y＝kx+b得，，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+200（5≤x≤7）；
故答案为：y＝﹣20x+200；
（2）根据题意得，（x﹣5）（﹣20x+200）＝80，
解得：x1＝6，x2＝9（不合题意舍去），
答：该套文具的售价为6元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣5）（﹣20x+200）＝﹣20x2+300x﹣1000，
当x＝﹣＝﹣＝7.5，
∵7.5＞7，
∴当x＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是（7﹣5）（﹣20×7+200）＝120（元），答：销售单价应为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式二次函数的关系式的求解，比较简单，根据获利＝每件商品的利润×销售量是解题的关键．
23．【分析】（1）按照题目给的思路，由△ADF≌△ABG推出AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，得到∠EAG＝∠EAF．注意要证明G、B、E三点共线，才能证得△EAG≌△EAF．把EF转化到EG＝BG+BE＝DF+BE，得证．
（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABH，证明过程跟（1）类似，证得△EAH≌△EAF，把EF转化到EH，然后利用BN＝DM证明四边形BMDN为平行四边形得∠ABE＝∠FDM，得∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝90°，由EH2＝BE2+BH2得EF2＝BE2+DF2．
（3）作为填空题，可把点E、F移动到特殊位置思考，如F与D重合时，则E为BD中点，易
得BE＝BD，又BD＝CD（即CF），得答案为．由∠EAF＝∠EDF＝45°联想到点A、
D、F、E四点共圆，且AF为直径，所以∠AEF＝90°，△AEF为等腰直角三角形，故有AE＝
EF＝EC，过点E作EM⊥CF于M即有M为CF中点．考虑到BE为正方形对角线上的一段，过
点E作EN⊥BC构造等腰直角△BEN，且EN＝CM，则BE＝＝．
【解答】解：（1）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，
∴△ADF≌△ABG
∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG
∵正方形ABCD
∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD
∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°
∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°
即∠EAG＝∠EAF
在△EAG与△EAF中，
∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EG＝EF
∵BE+DF＝BE+BG＝EG
∴EF＝BE+DF
（2）EF2＝BE2+DF2，证明如下：
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2）∴△ADF≌△ABH
∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°
即∠EAH＝∠EAF
在△EAH与△EAF中，
∴△EAH≌△EAF（SAS）
∴EH＝EF
∵BN＝DM，BN∥DM
∴四边形BMDN是平行四边形
∴∠ABE＝∠MDN
∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°∴EH2＝BE2+BH2
∴EF2＝BE2+DF2
（3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）
∵∠ADF＝90°
∴AF为⊙O直径
∵BD为正方形ABCD对角线
∴∠EDF＝∠EAF＝45°
∴点E在⊙O上
∴∠AEF＝90°
∴△AEF为等腰直角三角形
∴AE＝EF
在△ABE与△CBE中
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE＝CE
∴CE＝EF
∵EM⊥CF，CF＝2
∴CM＝CF＝1
∵EN⊥BC，∠NCM＝90°
∴四边形CMEN是矩形
∴EN＝CM＝1
∵∠EBN＝45°
∴BE＝EN＝
故答案为：
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形性质，其中（1）（2）里运用转化思想是解题关键，为半角模型的常规题型．第（3）问作为填空题可用特殊位置得到答案，证明过程关键条件是正方形对角线，利用两个45°角联想到四点共圆，再利用圆周角定理得到△AEF为等腰直角三角形．24．【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，
解得：，
所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，
关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．
∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S
△APB ＝S
△APC
+S
△BPC
﹣S
△ABC
＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S
△APB
的值最大．
∴当时，，S
△APB
＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）（3）存在三组符合条件的点，
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），
Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。