内蒙古赤峰市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年内蒙古赤峰市高二(上)期末数学试卷(理科）
一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中，真命题是（)
A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab ＞1的充分条件
2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是( ) A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x∈R，2x2+1≤0 3．下列事件中:①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点;③实数a，b都不为0，但a2+b2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温,其中为随机事件的是（）A．①②③④ B．①②④C．①③④D．②③④
4．若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）
A． B． C． D．
5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720]的人数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．气象台预报“本市明天降雨概率是70％”，下列说法正确的是（）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市明天将有70%的时间降雨
C．明天出行带雨具的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
7．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P( ）
A．有2个B．有4个C．不一定存在 D．一定不存在8．某单位有老年人30人，中年人90人,青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．若直线l:y=(a+1）x﹣1与曲线C：y2=ax恰好有一个公共点,则实数a的值构成的集合为( )
A．{﹣1，0} B．｛﹣2,﹣｝ C．{﹣1，﹣｝D．｛﹣1，﹣，0}
10．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是( ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣
A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ）
A．B．C．D．
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（）
A．(1，+∞）B．（，+∞) C．（,+∞)D．（，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在如图的程序框图中,输入n=60，按程序运行后输出的结果是
14．已知命题p:∀x∈［0，3］，a≥﹣x2+2x﹣，命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题“p∧q"是真命题，则实数a的范围为．
15．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（2，m）到焦点的距离为6，则p= ．
16．一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切
圆区域有豆3938颗,则他们所得的圆周率为
(小数点后保留二位数字）．
三、解答题:本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=CD=1，M为PB的中点,求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
(1)求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B,且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．19．如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC
(1）证明：A1C⊥平面BED；
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
20．某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组频
频率
数
[80,90）①②
［90,100）0。

050
［100，110）0。

200
［110，120）360。

300
[120,130）0.275
[130,140）12③
［140,150]0。

050
合计④
（1）根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别
为, ，, ，
;
（2）在所给的坐标系中画出[80，150]上的频率分布直方图；
（3）根据题中的信息估计总体：
①120分及以上的学生人数；
②成绩在［126，150］中的概率．
21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点)，求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下,当最小时，求点T的坐标．
2015—2016学年内蒙古赤峰市高二(上）期末数学试卷
(理科)
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中，真命题是（）
A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab ＞1的充分条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．
【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误;
【解答】解：因为y=e x＞0,x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R,2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义,所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是( ）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R,2x2+1＞0
C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x∈R，2x2+1≤0【考点】命题的否定;全称命题．
【分析】根据含有量词的命题的否定形式:将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题
【解答】解：由题意∀x∈R,2x2+1＞0，
的否定是∃x∈R，2x2+1≤0
故选D
3．下列事件中：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点;③实数a，b都不为0,但a2+b2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温，其中为随机事件的是( ）A．①②③④ B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】随机事件．
【分析】逐项判断各事件是否有可能发生即可．【解答】解:任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形,故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线有可能平行,也可能交于一点,故②为随机事件;
若实数a，b都不为0，则a2+b2一定不等于0，故③为不可能事件;
由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温有可能高于今年12月10日的最高气温，也可能低于今年12月10日的最高气温．
故④为随机事件．
故选：B．
4．若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）
A． B． C． D．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】记事件A=“甲被录用",进而利用古典概型概率求法，求解概率即可．
【解答】解：记事件A=“甲被录用”，
则乙．丙、丁被录用1人,
∴P（A）==．
故选：C．
5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,…，840随机编号，
则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（)
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481~720共240人中抽取=12人．
故：B．
6．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）
A．本市明天将有70％的地区降雨
B．本市明天将有70％的时间降雨
C．明天出行带雨具的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【考点】概率的意义．
【分析】利用概率的意义即可判断出．
【解答】解:气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，
则本市明天降雨的可能性比较大．
因此:明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．
故选:C．
7．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P( ）
A．有2个B．有4个C．不一定存在 D．一定不存在【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆方程求出椭圆的焦距与短半轴长，由此可得以F1F2为直径的圆与椭圆+=1无交点,则答案可求．
【解答】解：由椭圆+=1,得a2=25，b2=16,
∴c2=a2﹣b2=9,则c=3,
∴F1（﹣3，0），F2(3，0)，
∵b=4＞3=c，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆+=1无交点，
则椭圆上满足PF1⊥PF2的点P一定不存在．
故选：D．
8．某单位有老年人30人，中年人90人,青年人60人，为了调查他们的身体健康状况,采用分层抽样的方法
从他们中间抽取一个容量为36的样本,则应抽取老年人的人数是（)
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】分层抽样方法．
【分析】先求出某单位的总人数，可得每个个体被抽到的概率，再求出应抽取老年人的人数．
【解答】解：某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人,这个单位共有30+90+60=180，
假设用分层抽样的方法从他们中抽取了36个人进行体检,
则每个个体被抽到的概率是=
∴应抽取老年人的人数是30×=6，
故选:6．
9．若直线l：y=（a+1）x﹣1与曲线C：y2=ax恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．｛﹣1，0} B．｛﹣2，﹣｝C．{﹣1,﹣｝D．{﹣1，﹣，0｝
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】讨论若a=0，当a=﹣1时,将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0,解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=0，则曲线C为y=0，直线l：y=x ﹣1,
即有直线与曲线的交点为(1，0），满足题意；
若a≠0,则抛物线y2=ax的对称轴为x轴,
当a=﹣1时，直线l:y=﹣1与曲线y2=﹣x的交点为(﹣1，﹣1)，满足题意；
由y=（a+1）x﹣1与抛物线y2=ax相切,可得：
（a+1)2x2﹣（3a+2）x+1=0，
由判别式为0,可得(3a+2)2﹣4（a+1）2=0，
解得a=﹣（0舍去），
综上可得，a=0，﹣1或﹣．
故选：D．
10．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三。

1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】茎叶图．
【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分87,余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于x 的方程，解方程即可．
【解答】解:∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，
余下的7个数字的平均数是91，
=91，
∴635+x=91×7=637，
∴x=2，
故选A．
11．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z 轴建立如图坐标系,
∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2
∴A（2，0，0），B(0，0，1），B1（0，2，1),C1(0,2,0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2,2，1）
可得•=0×(﹣2）+2×2+（﹣1)×1=3，且=，=3，
向量与所成的角(或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，
设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则
cosθ==
故选A
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若｜
PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．（，+∞) C．（,+∞）
D．(,+∞）
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,｜PF1|=m，|PF2｜=n,(m＞n）,由条件可得m=10，n=2c,再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c,(c＜5)，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，｜PF1｜=m,｜PF2|=n，（m＞n）,
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若｜
PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5）,
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，
则c＞，即有＜c＜5．
由离心率公式可得e1•e2===，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1•e2+1．
∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在如图的程序框图中,输入n=60,按程序运行后输出的结果是 5
【考点】程序框图．
【分析】利用程序框图的流行顺序,列出经过5次循环得到的结果，求出输出值．
【解答】解：经过第一次循环得到n=30，i=1，
经过第二次循环得到n=15，i=2,
经过第三次循环得到n=7,i=3，
经过第四次循环得到n=3,i=4，
经过第五次循环得到n=1，i=5
满足第二个判断框中的条件输出5,
故答案为：5．
14．已知命题p：∀x∈[0,3],a≥﹣x2+2x﹣，命题q:∃x∈R,x2+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的范围为［，4］．
【考点】复合命题的真假．
【分析】结合二次函数的性质分别求出关于命题p，q 的a的范围,从而求出a的范围．
【解答】解：设f（x）=﹣x2+2x﹣，（0≤x≤3），则f（x)=﹣(x﹣1）2+，
又0≤x≤3，∴当x=1时,f（x）max=f（1)=，
由已知得：命题P：a≥,
由命题q：△=16﹣4a≥0，即a≤4，
又命题“p∧q”是真命题，
∴a≥且a≤4成立，即≤a≤4，
故答案为：［，4］．
15．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A(2,m）到焦点的距离为6，则p= 8 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义，将点A（2,m)到焦点的距离为6，转化为点A（2，m）到其准线的距离即可．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为:x=﹣,焦点F（，0），
又物线y2=2px（p＞0)上的点A（2，m）到焦点的距离为6，
∴由抛物线的定义得：点A（2，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，
∴2﹣（﹣）=6，
∴p=8．
故答案为：8．
16．一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为 3.15 （小数点后保留二位数字）．
【考点】几何概型．
【分析】由题意，从概率模型的角度是几何概型中的面积类型则，即可得出结论．
【解答】解：设撒5001粒的实验中统计得到落在圆内的豆子数为3938粒概率为P
根据题意有：P=,
解得：π≈3.15
故答案为：3.15．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=CD=1，M为PB的中点，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】以AD、AB、AP所在的直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，
AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=CD=1,M 为PB的中点，
∴以AD、AB、AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则由题意得A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P(0,0，1)，M（0,），
则=（1，)，平面ABCD的法向量=(0,0,1），设直线CM与平面ABCD所成角为θ
则sinθ===．
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆
C的方程．
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M(x0,y0)，由消y得，
3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．
【解答】解：(1）由题意，得
解得∴椭圆C的方程为．
（2)设点A、B的坐标分别为（x1，y1），(x2,y2)，线段AB的中点为M（x0，y0），
由消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2．
∴=﹣，
．
∵点M（x0,y0）在圆x2+y2=1
上,∴,∴．
19．如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC
（1）证明：A1C⊥平面BED；
（2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1)以DA，DC，DD1为x，y，z轴,建立空间直角坐标系,则，，
，由向量法能证明A1C⊥平面BED．（2）由，，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A1﹣DE ﹣B的余弦值．
【解答】解：（1)如图，以DA,DC,DD1为x,y，z轴，建立空间直角坐标系,
则A1（2，0,4）,B（2,2，0），C（0，2，0)，D（0，0,0），E（0，2,1)
，，,
∵，
，
∴,,
∴A1C⊥平面BED
（2）∵，，
设平面A1DE的法向量为，
由及,
得﹣2x+2y﹣3z=0,﹣2x﹣4z=0，
取
同理得平面BDE的法向量为，
∴cos＜＞===﹣，
所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．
20．某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表:
分组频
频率
数
［80，90）①②
［90,100)0。

050
[100，110）0.200
[110，120）360。

300
[120,130)0.275
[130,140）12③
［140，150］0。

050
合计④
（1）根据上面的频率分布表,推出①，②，③，④处的数字分别为， 3 ，0.025 ，0。

1 ， 1 ；（2)在所给的坐标系中画出[80，150]上的频率分布直方图;
(3)根据题中的信息估计总体：
①120分及以上的学生人数;
②成绩在［126,150］中的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;
频率分布直方图．
【分析】(I）根据频率分步表中所给的频率和频数,根据样本容量，频率和频数之间的关系得到表中要求填写的数字．
(II）根据所给的频率分布表所给的数据,画出频率分步直方图．
（III)用这个区间上的频率乘以样本容量，得到这个区间上的频数，用每一个区间上的中间值，乘以这个区
间的频率，得到平均值，把各个部分的频率相加，得到要求的频率．
【解答】解：（I）先做出③对应的数字，=0.1,
∴②处的数字是1﹣0.05﹣0。

2﹣0。

3﹣0.275﹣0.1﹣0.05=0.025
∴①处的数字是0。

025×120=3，
④处的数字是1，
故答案为：3；0。

025;0.1;1
(II)由频率分布表在所给的坐标系中画出［80，150］上的频率分布直方图：
(III）①120分及以上的学生人数为:
(0。

275+0。

1+0.05）×120=51．
②成绩在［126，150]中的概率为:
0。

5×0。

275+0.1+0.05=0。

26．
21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1，2，3,4．
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率;
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球,该球的编号为m，将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求n＜m+2的概率．
【考点】互斥事件的概率加法公式;互斥事件与对立事件．
【分析】（1）从袋中随机抽取两个球,可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．
（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举,可以从他的对立事件来做．
【解答】解：(1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，
而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，
∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,
所有（m，n）有4×4=16种，
而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，
∴P=1﹣=．
22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q．
（ⅰ)若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t 的值;
（ⅱ)在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．
(Ⅱ）(ⅰ)设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，
由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．
（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，
|PQ|=．由此能求出当最小时,T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得,
解得a2=6，b2=2．
所以椭圆C的标准方程是．
(Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0,
设直线PQ的方程为x=my+2．
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0,
其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．
设P（x1，y1)，Q（x2，y2），
则，．
于是．
设M为PQ的中点,则M点的坐标为．
因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．
当x=t时,y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m(t﹣2）），
此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，
得．解得t=3．
(ⅱ）由(ⅰ）知T点的坐标为(3，﹣m）．
于是，
=
=
=
=．
所以
=
=
．
当且仅当，即m=±1时,等号成立，
此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1)．
2016年5月8日。