(北师大版)西安市必修四第二章《平面向量》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且
2
AB AC =
=，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
2．如图，在ABC 中，1
3
AN NC =
，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，则实数m 的值为( )
A ．
19
B ．
13
C ．1
D ．3
3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
4．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，
1
4
DF DA =
，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）
A ．1
B ．6
C ．5
D ．2
5．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A 5B ．5
C ．42
D ．31
6．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则
λ等于( )
A ．
a b a b
⋅ B ．
2
a b a
⋅ C ．
2
a b b
⋅ D ．
a b a b
⋅
7．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取
A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
8．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）
A ．23
55a b + B ．
32
55a b + C ．2133
a b +
D ．1233
a b +
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，
18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6
π
θ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为
1，则b =（ ） A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）
A ．3⎡⎤⎣⎦
B ．33⎣
C ．3,3⎤⎦
D ．[]0,3
12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )
A ．12
B ．28log 5+
C ．5
D ．18
13．在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，
3CF
FD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．
14．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则
GB GC ⋅=__________．
15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，1
4DQ DC λ
=，则AP BQ ⋅的最大值为______.
16．已知向量(1,1,0)a →
=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →
=-，若,,a b c →→→
是共面向量，则
x =__________．
17．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.
18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，
AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的
值为__________.
19．已知向量a =（1，0），b =（12-
，3），向量c 满足22
c =，且（c a b --）•c =0，则a 与c 的夹角为_____．
20．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．
三、解答题
21．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.
（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积. 22．已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.
（1）若1x =，判断ABC 的形状，并给出证明； （2）求实数x 的值，使得CA CB +最小；
（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=，求x 、λ的值. 23．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =. （1）若35c =，且//a c ，求c ； （2）若2b =
，且()()
2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.
24．在ABC 中，G 为ABC 的重心，过G 点的直线分别交,AB AC 于,P Q 两点，且
,AP h AB AQ k AC ==，
（1）求
11
h k
+的值； （2）设,APQ ABC S S △△分别表示,APQ ABC △△的面积，求APQ ABC
S S
的最小值.
25．已知向量n 与向量m 的夹角为3
π
，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值
（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 26．已知向量a 与向量b 的夹角为3
π
，且1a =，()
32a a b ⊥-. （1）求b ；
（2）若27a mb -=，求m .
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的
数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可
求出最小值. 【详解】
解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以
AM =设OA x =，(0x ≤≤
()
2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅ )()
2222OA OM x x x =-⋅=-=
2
212x ⎛=-- ⎝⎭
所以当2
x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.
2．A
解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛
⎫=+
+ ⎪⎝⎭29
mAB AC =+，设BP tBN =，而31
()()(1)44
AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-
=-+，所以1m t =-且249t =，故81
1199
m t =-=-=，应选答案A ． 3．B
解析：B 【分析】
首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】
由已知，1212e e ⋅=
，所以(()
1212)2e e e e +-+=3
2
，|12e e +，|122e e -+, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，
则
3
1cos ,
2
3παα==∴=.
故答案为B 【点睛】
(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·
cos ,ab a b a b
=
,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则2221
1
2
cos x y x θ=
+⋅.
4．C
解析：C 【分析】
以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得
2
cos 3
BAD ∠=
，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】
因为1
4AE AD DE AD AB =+=+
，34
BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133
113444
416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 223113
cos 4416AD AB AD AB BAD =
--⋅∠， 31117936cos 12448
BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2
cos 3BAD ∠=，
∴sin BAD ∠==
∴梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠=．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】
由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得
a b +=5，选B.
【点睛】
求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=
+，二是利用性质
2
a a =，结合向量数量积求解. 6．B
解析：B 【解析】
试题分析：BC OA ⊥,即()
2
00BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即
2
2
0a a b λλ-⋅=，2
0,a b a
λλ⋅≠∴=
．
考点：平面向量的数量积的应用.
7．B
解析：B 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2
θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
8．B
解析：B
【分析】
由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设
,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，
所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===
如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====
由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪
+=∴===⎨⎪+=⎩
，
所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255
a b =+. 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．D
解析：D 【分析】
分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】
分以下两种情况讨论：
①若点M 在x 轴上，则i P 、(
)1,8,,j P i j i j N
*
≤≤∈关于x 轴对称，
由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，
此时，符合条件的点M 有4个；
②若点M 在y 轴上，则i P 、(
)1,8,,j P i j i j N
*
≤≤∈关于y 轴对称，
由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，
此时，符合条件的点M 有4个.
综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：D. 【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
10．C
解析：C 【分析】
由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令22
2()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当2
2cos
6
2b a b t a
a
π
⋅=-=-
时，()g t 取得最小值1，变形可得2
2
sin
16
b π
=，
从而可求出b 【详解】
解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令22
2()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2
2
2
2
2
2
4()44(cos 1)06
a b a b a b π
∆=⋅-=-<，
所以()g t 恒大于零， 所以当2
32cos
6
22b b a b t a
a
a
π
⋅=-
=-
=-
时，()g t 取得最小值1，
所以2
2
2
3332122b b b
g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 化简得2
114
b =，
所以2b =， 故选：C 【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
11．D
解析：D 【分析】
把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】
∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，
∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1
()2
DE DA DB =
+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则
()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，
DE DF ⋅1()(1)2
DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣
⎦ []1
22(1)24(1)3(1)2
x x x x x =
-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC
=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a =，再根据等比中项的知识，可计算出
54a =，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b 则28820a a ⨯-⨯=，即2816a a =，
根据等比中项的知识，可得2
285
16a a a ==， 50a >，54a ∴=，
212229log log log a a a ∴++⋯+ 2129log ()a a a =⋯
2192837465log [()()()()]a a a a a a a a a =
9
25log a =
29log 4=
18=．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
二、填空题
13．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查
解析：13 10
【分析】
本题首先可根据题意得出
2
3
BE AD、
1
4
DF AB
=，然后将AC AE AF
λμ
=+转化为2
3
1
4
AB AD
λμλμ
⎛⎫⎛⎫
+++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，再然后根据AC AB AD
=+列出算式，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
如图，结合题意绘出图像：
因为2
BE EC
=，3
CF FD，
所以
22
33
BE BC AD，
11
44
DF DC AB ，
则
2
3
AE AB BE AB AD，
1
4
AF AD DF AD AB，
故
3
1
4
2
AB AD
AC AE AF AD AB
λμλμ
⎛⎫⎛⎫
=+=++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
+
4
2
3
1
AB AD
λμλμ
⎛⎫⎛⎫
=+++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
因为AC AB AD
=+，
所以
1
1
4
2
1
3
λμ
λμ
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，解得
9
10
λ=，
2
5
μ=，
13
10
λμ
+=，
故答案为：1310
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
14．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209
-
【解析】
分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()
23,0C ，
由中心坐标公式可得：0023200,33G ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭，即2
23,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 据此有：2
23,3
3GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
423,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：
2422203333339GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅=-⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
15．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P 和Q 分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可
解析：5
4
【分析】
由题可知
1
1
4
CQ DC
λ
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，据平面向量的混合运算法则可化简得到
117
5
24
AP BQλ
λ
⋅=+-；设函数()117
5
24
fλλ
λ
=+-，
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，由对勾函数的性
质推出()
fλ在
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
上的单调性，求出最大值即可得解.
【详解】
根据题意，作出如下所示图形：
∵BP BC
λ
=，
1
4
DQ DC
λ
=，∴
1
1
4
CQ DQ DC DC
λ
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
，
又P和Q分别在线段BC和CD上，
∴
01
1
01
4
λ
λ
≤≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
，解得
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
.
()()()11
4
AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DC
λ
λ
⎡⎤
⎛⎫
⋅=+⋅+=+⋅+-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
2
11
11
44
AB BC AB DC BC BC DC
λλ
λλ
⎛⎫⎛⎫
=⋅+-⋅++-⋅
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
11117 22cos120121cos04121cos1205
4424
λλλ
λλλ
⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
设函数()
117
5
24
fλλ
λ
=+-，
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，
由对勾函数的性质可知，()
fλ在
110
,
410
⎡
⎢
⎣⎭
上单调递减，在
10
,1
10
⎛⎤
⎥
⎝⎦
上单调递增，
∵
1
1
4
f
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，()
5
1
4
f=，
∴()()
max
5
1
4
f f
λ==，即AP BQ
⋅的最大值为
5
4
.
故答案为：
5
4
.
【点睛】
本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．
16．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得
解析：-2 【详解】
由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即
()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪
-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.
17．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：22
13
+
【分析】
根据向量线性关系的几何应用有1233
AD AB AC =
+，令DE k DF =结合已知条件有
11x ky
AD AB AC k k =
+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】
由题意，连接AD 可得如下示图
∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有12
33
AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111
k
AD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0）
∴11
x ky AD AB AC k k =
+++
即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)3
21(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(0)k > ∴2222
12113333k k x y k k +=
++≥⋅+=+
，当且仅当2k =时等号成立 min 22
()13
x y +=+
故答案为：22
13
+ 【点睛】
本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值
18．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-
【分析】
如图，设1
2
OA OC BC t ==
=，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到5
t =
，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】
如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.
设1
2
OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =，
在直角△AOD 中，由勾股定理得
AD =
，
在△COD 中，由余弦定理得
CD =. 因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)2
5
t t DAB t DAB ∠--∠=，
又cos
AD DAB AB ∠=
=,所以2
t =.
所以212125
=(2)(5)cos(180)35545
AC BD t t t α⋅+-=-=-=-.
故答案为：3- 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．或【分析】向量（10）设与的夹角为θ结合已知可得出坐标利用向量坐标运算建立关系式即可求解【详解】设与的夹角为θ则或且∴由得若∴∴且∴或∴或若且不存在∴或故答案为:或【点睛】本题考查向量的夹角向量的坐
解析：
12π或712π
【分析】
向量a =（1，0），设a 与c 的夹角为θ，结合已知可得出c 坐标，利用向量坐标运算，建立θ关系式，即可求解. 【详解】
设a 与c 的夹角为θ，则()2
,2
c cos sin θθ=
， 或()2,c cos sin θθ=-且1322a b ⎛+= ⎝⎭
，， ∴由()
0c a b c --⋅=得，()
2
c a b c =+⋅， 若()2
,2
c cos sin θθ=
，
∴1122226cos sin πθθθ⎫⎛
⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴62
sin πθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，且7666πππθ≤+≤，
∴6
4
π
π
θ+=
或
34
π， ∴12
π
θ=或
712
π． 若()2
,c cos sin θθ=
-，
11222226cos sin sin πθθθ⎫⎛
⎫=-=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
6sin πθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
且5666πππθ-≤-≤， θ不存在.
∴12
π
θ=
或
712
π． 故答案为:12
π
或
712
π. 【点睛】
本题考查向量的夹角、向量的坐标坐标运算，向量设为三角形式是解题的关键，属于中档题.
20．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解
解析：11,154⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围. 【详解】
如图，建立平面直角坐标系，(A ，(D ，(),0M x ，()1,0N x +，
(
2,DM x =-，(1,DN x =-，[]0,5x ∈，
()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+
2
31124x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15，
所以DM DN ⋅的取值范围为11
,154⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故答案为：11,154⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.
三、解答题
21．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7
2
S =. 【分析】
（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()
20ma b a b +⋅-<，解得6
5
m <，再由当1
2m =-
时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12
m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1
sin 2
S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】
（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，
可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--， 令()()
20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65
m <， 当12m =-
时，1
2
ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴1
2
m ≠-， 综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1
sin 2
S a b θ=
⋅， 因为2
22
sin 1cos 1a b
a b θθ⎛⎫⋅
⎪=-=- ⎪⋅⎝
⎭
， 又由()3,2a =-，()2,1b =，
可得()
2
22
22
2
2
4sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72
S =
， 即OAB 的面积为72
OAB
S =
. 【点睛】
本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2
x λ==. 【分析】
（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明； （2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；
（3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】
（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：
当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-，()1,1AB =， 此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=，即AC AB ⊥，即2
A π
∠=，
所以，ABC ∆为直角三角形.
（2）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，则()6,5CA CB x +=+-， 所以，()
6255CA CB x +=
++≥，当且仅当6x =-时取等号.
故当6x =-时，CA CB +取得最小值为5.
（3）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，因CA CB λ=，
所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得4
32x λ=
⎧⎪⎨=⎪⎩
.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.
23．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10
-. 【分析】
（1）设(),c x y =
，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x
=⎧=即可得解；
（2）由平面向量垂直可得()()
20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得
1a b ⋅=-，最后由
cos ,a b
a b a b
⋅=⋅即可得解. 【详解】
（1）设(),c x y =，
因为()1,2a =，//a c ，35c =，
所以235
y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或3
6x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；
（2）因为()1,2a =，所以14a =+
又(
)()
2a b a b +⊥-，2b =
，
所以()()2
2225220a b a b a
a b b
a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b
⋅==
=⨯⋅
【点睛】
本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 24．（1）3；（2）4
9
. 【分析】
（1）G 为ABC 的重心，可得133
1
AG AB AC =
+，再由,,P G Q 三点共线，利用共线的充要条件可得(1)AG AP AQ λλ=+-，结合已知和向量的基本定理，即可求出,h k 关系；
（2）由三角形面积公式可得APQ ABC
S hk S
=，利用（1）中结论，结合基本不等式，即可求出
结论. 【详解】
（1）设BC 中点为D ，则,,A G D 三点共线，
且211333
AG AD AB AC ==+， ,,P G Q 三点共线，存在唯一的λ，
使得(1)(1)AG AQ QP AP AQ hAB k AC λλλλλ=+=+-=+-，
,AB AC 不共线，131(1)3h k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 整理得31()1,31h h k h k k
=+=+； （2）1||||sin 21||||sin 2APQ ABC AP AQ BAC S hk S AB AC BAC ⋅⋅∠==⋅⋅∠ 114))9
11()((299k h h k h k h k =+++≥+=， 当且仅当23
h k ==时，等号成立. APQ
ABC S S 的最小值为
49. 【点睛】
本题考查向量基本定理以及共线充要条件的应用，注意运用基本不等式求最值，属于中档题.
25．（1）23λ=
；（2）12-. 【分析】
（1）先建立方程131cos
03πλ-⨯⨯⨯=，再求解出23λ=即可. （2）先求出()332n n m ⋅-=
，再求出33n m -=，接着求出1cos 2θ=，最后求cos2θ. 【详解】
解：（1）由()2131cos 03n n m n m n π
λλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23
λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=
所以()3
312cos 3132
n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯
所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二倍角的余弦公式，是中档题.
26．（1）3b =；（2）13
m =-
或1m =. 【分析】 （1）本小题先求出32
a b ⋅=
，再求3b =即可； （2）本小题先求出23210m m --=，再求解m . 【详解】
解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，
∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.
（2）∵27a mb -=，
∴()222
227244469a mb a ma b m b m m =-=-⋅+=-+， 整理得：23210m m --=，
解得：13m =-
或1m =. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.。