离散型随机变量及其分布列 课件

X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；
•(2) 从 这 10 天 的 数 据 中 任 取 3 天 数 据 ． 记 X 表 示 抽 到 PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列．
•审题路线 (1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气 质 量 达 到 一 级 ， 利 用 古 典 概 型 可 求 第 (1) 问 中 的 概 率．(2)超标的天数X服从超几何分布．利用超几何分布 的概率公式代入求解．
•(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检 验所求的分布列是否正确．
• 【训练2】 (2014·青岛质检)已知箱中装有4个 白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无 放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机 变量X为取出此3球所得分数之和．
• (1)求X的分布列；
(2)X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝5，n＝3，
其中 P(X＝k)＝Ck5CC31350－k，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
• 1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所 有可能值及对应的概率，要注意避免分类不 全面或计算错误．
• 2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布 列的正误．
【训练 3】 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球．已知从袋 中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是79. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，求随机 变量 X 的分布列． 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为 事件 A，设袋中白球的个数为 x， 则 P(A)＝1－CC21012－0 x＝79， 得到 x＝5.故白球有 5 个．
• 2．分布列的性质及两个特殊的概率分布 • (4)如果随机变量X的分布列由下表给出：
X2 5
P 0.3 0.7 • 则它服从二点分布．
(×)
• (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，
其(6)中(教女材习演题员改的编)(人已√)知数随X机服变从量超X 的几分何布分列为布P．(X＝i)＝2ia(i
• (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的
解 (1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A， 则 P(A)＝C12C35＋C74C22C25＝67. 所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为67. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X＝1)＝CC3347＝315，P(X＝2)＝CC3447＝345， P(X＝3)＝CC3547＝27，P(X＝4)＝CC3647＝47.
•所以随机变量X的分布列是
X1 2 34
P
1 35
4 35
2 7
4 7
随机变量 X 的数学期望 E(X)＝1×315＋2×345＋3×27＋4×47＝157.
•规律方法 (1)求随机变量的分布列的主要步骤： ①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从 何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概 率；③列成表格．
随机变量及其概率分布
• 知识梳理
• 1．离散型随机变量
• 随着试验结果变化而变化的变量称 为 随机变量 ，所有取值可以一一列出的随机 变量，称为 离散型 随机变量．
• 2．离散型随机变量的分布列及性质 • xi，…(1，)一xn，般X地取，每若一离个值散x型i(i随＝1机,2变，量…，X可n)的能概取率的P不(X同＝值xi)＝为pxi1，，则x2表，…，
•∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， •P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1， •P(Y＝2)＝0.3， •P(Y＝3)＝0.3. •因此Y＝|X－1|的分布列为：
Y0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
•规律方法 (1)利用分布列中各概率之和为1可求 参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率 值均为非负数．
• 考点一 离散型随机变量分布列的性质 • 【例1】 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 2 34
•
P
0. 2
0. 1
0. －1|的分布列．
•
解 由分布列的性质，知
•
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
•
列表
X 01234
|X－1| 1 0 1 2 3
•(2)若X是随机变量，则Y＝|X－1|仍然是随机变 量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值， 再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率，进 而写出分布列．
• 【训练1】 随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
•
P a bc
• 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.
解析 由题意知a2＋b＝b＋a＋c＝c，1，
则 2b＝1－b，则 b＝13，a＋c＝23，
所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23.
答案
2 3
• 考点二 离散型随机变量的分布列 • 【例2】 (2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡
片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4； 白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取 4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相 同)． • (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡 片的概率；
P(X＝2)＝CC23C13017＝470， P(X＝3)＝CC33C13007＝1120， 因此 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
7 24
21 7 40 40
1 120
•规律方法 (1)求解本题的关键在于：①从统计图 表中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几 何分布．
•(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机 变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的 特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象 的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个 体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检 产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质 是古典概型.
＝1,2,3,4)，则 P(2<X≤4)＝0.7.
(√)
• [感悟·提升]
• 1．离散型随机变量的特点
• 一是在试验之前不能断言随机变量取什么 值，即具有随机性；二是在大量重复试验中 能按一定统计规律取值的变量，即存在统计 规律性，如(1)、(3)．
• 2．分布列的两条性质
• 离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X的取值范围以及取各值的概率，如(6)；要理 解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何 分布，如(4)、(5)；并善于灵活运用两性质： 一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝
• 3．求概率分布的常见类型
• (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布 列；
• (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；
• (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时
5 14
1 21
(2)由(1)知 E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝ 13 3.
• 考点三 超几何分布问题
• 【例3】 (2014·哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在 空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据 现 行 国 家 标 准 GB3095 － 2012 ， PM2.5 日 均 值 在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35 微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为 二 级 ； 在 75 微 克 / 立 方 米 以 上 空 气 质 量 为 超 标．
解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天， 恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，则 P(A)＝CC13·13C0 27＝2410. (2)依据条件，X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝3，n＝3， 且随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck3C·C31037－k(k＝0,1,2,3)， ∴P(X＝0)＝CC03C13037＝274， P(X＝1)＝CC13C13027＝2410，
• 称为离散型随机变量X的 概率分布列 ．
•
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
• •
(2)离散①型pi≥随0(机i＝变1,量2，的…分，布n列)；的②性质p1＋p2＋…＋pn＝1
• 3．常见离散型随机变量的分布列
• (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，
其分布列为X