数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质第2课时课件

G C
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM ＝ FH，∴FG ＝ FH.
∴点 F 在∠DAE 的平分线上.
A
M
F
┑ B HD
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的 距离. 解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
D．140°
解析：O 到 △ABC 三边的距离相等，所以 O 是三条内角
平分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ABC＋∠ACB＝1802°－40°＝140°，
12∠ACB，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE
C P
PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E OP 平分 ∠AOB
动脑筋 1. 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
∴ AP = CP.
E
A 1
2 B
N P
FC
证法2：
思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在
的直线，所以可想到构造轴对称图形.
方法是在 BC 上截取 BD = AB，连接 PD(如图).
则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证.
证明过程请同学们自行完成！
归纳拓展：角的平分线的性质是证明 线段相等的常用方法.应用时要依托全 等三角形发挥作用.作辅助线有两种思 路，一种作垂线段构造角平分线性质 基本图；另一种是构造轴对称图形.
∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∴PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°. ∵ ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°. ∴ ∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中， ∠PEA = ∠PFC = 90°， ∠EAP = ∠FCP， PE = PF， ∴ △APE≌△CPF(AAS).
A
1 2
Байду номын сангаас
B
D
N P
C
7.如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现 要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
P2
l1
l3
l2
l1
P3
P1
P4
l3
l2
1. 应用角平分线性质：
存在角平分线 涉及距离问题
条件
2. 联系角平分线性质：
面积
利用角平分线的性 质所得到的等量关
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距 离相等，得 O 是三条内角平分线的交点， 再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC
交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为___4____；
于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE. 同理 PE = PF.
∴PD = PE = PF.
B
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
A
D
N
P
E
F M
C
想一想 点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三
条角平分线有什么关系？
6. 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC.
【分析】由角平分线的性质易想 到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线 段 PE，PF，构造角平分线的基 本图形.
E
A 1 2
B
N P
FC
证法1：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
(2) 求 △APB 的面积.
DB
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
P
故
S△APB
1 2
AB·PD
=
28.
A
C
3. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA ＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵OD 平分∠POQ， ∴∠AOD = ∠BOD. 在△AOD 与△BOD 中， ∵OA = OB，∠AOD =∠BOD，OD = OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS). ∴∠ADO =∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM = CN.
2.分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每 组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角 形三边的垂线段相等
你能证明这 个结论吗？
证明结论
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点
P，求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直
A
点 P 在 ∠A 的平分线上.
D
N
P
F M
结论：三角形的三条角 B
平分线交于一点，并且 这点到三边的距离相等.
E
C
1. 如图，在 △ABC 中，点 O 是 △ABC 内一点，且点 O
到 △ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则 ∠BOC
的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
周长
系进行转化求解
4. 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F， 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：过点 F 作 FG⊥ AE 于 G，FH ⊥ AD 于 H，
FM ⊥ BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，FG ⊥ AE， FM ⊥ BC， E
∴ FG ＝ FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上，