高考数学(理)一轮规范练【63】离散型随机变量的均值与方差、正态分布(含答案)

课时规范练63离散型随机变量的均值与方差、正
态分布
课时规范练第97页
一、选择题
1.随机变量X的分布列为
X124
P 0.
4
0.
3
0.
3
则E(5X+4)等于( )
A.15
B.11
C.2.2
D.2.3
答案:A
解析:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,
∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.
2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为( )
A. B. C.3 D.
答案:C
解析:由题意,得x1+x2=,①
D(X)=.②
由①②得x1=1,x2=2,∴x1+x2=3.
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<5)=0.8,则P(1<ξ<5)=( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
答案:C
解析:根据题意,随机变量ξ的正态分布密度曲线关于x=1对称,故P(1<ξ<5)=P(-3<ξ<1)=P(ξ<5)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3.
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,若随机变量ξ=|a-b|的取值,则ξ的数学期望E(ξ)=( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2=126条,ξ的可能取值有0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,E(ξ)=.
5.已知分布列为
ξ-
1
01
P a
且设η=2ξ+3,则η的均值是( )
A. B.4 C.-1 D.1
答案:A
解析:由+a=1得a=,
E(ξ)=(-1)×+0×+1×a=-=-,
E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=2×+3=.
6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则的最小值为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:由题意得投篮一次得分X的分布列为
X023
P c b a
E(X)=0×c+2b+3a=2,即3a+2b=2,
所以=3+
≥+2+2=.
二、填空题
7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则
E(ξ)=.
答案:
解析:次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
分布列为
ξ0123
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
8.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否
正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.
答案:
解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(AB+AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
P=.
9.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=(x∈R),则E(2X-1)=.
答案:-5
解析:σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5.
三、解答题
10.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,求p的取值范围.
解:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由
p∈(0,1),可得p∈.
11.如图,单位到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:
时间/分
10~2020~3030~4040~5050~60
钟
L1的频率0.10.20.30.20.2
L2的频率00.10.40.40.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.
解:(1)A i表示事件“甲选择路径L i时,40分钟内赶到火车站”,
B i表示事件“乙选择路径L i时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.
用频率估计相应的概率可得
P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.
(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,
由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,
又由题意知,A,B独立,
∴P(X=0)=P()=P()P()=0.4×0.1=0.04,
P(X=1)=P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X的分布列为
X012
P 0.0
4
0.4
2
0.5
4
∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.
12.(2013湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值;
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-
3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)
(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
解:(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),
故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.9544.
由正态分布的对称性,可得
p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)
=P(700<X≤900)=0.9772.
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.
依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.
由(1)知,p0=P(X≤900),
故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.
作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).
由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.
故应配备A型车5辆、B型车12辆.
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