湖北省宜昌市名校2025届九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

湖北省宜昌市名校2025届九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，ABC 内接于圆O ，65B ∠=︒，70C ∠=︒，若22BC =，则弧BC 的长为（ ）
A ．π
B ．2π
C ．2π
D ．22π
2．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ） A ．978×103
B ．97.8×104
C ．9.78×105
D ．0.978×106
3．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．打开电视，它正在播广告 B ．抛掷一枚硬币，正面朝上 C ．打雷后会下雨
D ．367人中有至少两人的生日相同
4．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A ．最多需要8块，最少需要6块
B ．最多需要9块，最少需要6块
C ．最多需要8块，最少需要7块
D ．最多需要9块，最少需要7块
5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）
A．3
4
B．
4
3
C．
4
5
D．
3
5
6．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名读听写
小莹92 80 90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（）
A．86 B．87 C．88 D．89
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）
A．20°B．30°C．40°D．60°
8．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：月用水量（吨） 4 5 6 8 13
户数 4 5 7 3 1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（）
A ．中位数是5
B ．平均数是5
C ．众数是6
D ．方差是6
9．直角三角形两直角边之和为定值,其面积与一直角边之间的函数关系大致图象是下列中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，AB 是
O 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且8,O 5,AB cm C cm DC ==的长是（ ）
A ．4cm
B ．3cm
C ．2cm
D ．1cm
11．如图，AB 是
O 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且6cm AB =，4cm.OD =则DC 的长为（ ）.
A ．5cm
B ．2.5cm
C ．2cm
D ．1cm
12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形
B ．矩形
C ．正三角形
D ．平行四边形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，点O 为原点，抛物线2
2y x x c =--+与y 轴交于点P ，以OP 为一边向左作正方形OPBC ，
点A 为抛物线的顶点，当ABP △是锐角三角形时，c 的取值范围是__________．
14．一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况_______．（表述正确即可） 15．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC AD ，迎水坡AB 长26米，且斜坡AB 的坡度为
12
5
，则河堤的高BE 为 米．
16．如图，在半径为5的
O 中，弦6AB =，OP AB ⊥，垂足为点P ，则OP 的长为__________．
17．如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连结AC ，AD ，BD ，CD ，若O
的半径是5，8BD =，则sin ACD ∠的值是_____________．
18．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____． 三、解答题（共78分）
19．（8分）如图,已知∠BAC =30°
,把△ABC 绕着点A 顺时针旋转到△ADE 的位置,使得点D ，A ，C 在同一直线上．
（1）△ABC 旋转了多少度?
（2）连接CE ，试判断△AEC 的形状； （3）求 ∠AEC 的度数．
20．（8分）如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，延长BE 交AD 于点F .
（1）求证：
EF FA
EB BC
=； （2）已知点P 在边CD 上，请以CP 为边，用尺规作一个CPQ 与AEF 相似，并使得点Q 在AC 上.（只须作出一个CPQ ，保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的
O 交AB 于D ，点E 在线段AC 上，且ED EA =.
(1)求证：ED 是
O 的切线．
(2)若3,60ED B =∠=︒，求
O 的半径．
22．（10分）如图，已知抛物线y=－x 2+mx+3与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－
3
2
x+3交于C 、D 两点．连接BD 、AD ．
（1）求m 的值．
（2）抛物线上有一点P ，满足S △ABP =4S △ABD ，求点P 的坐标．
23．（10分）2019年11月20日，“美丽玉环，文旦飘香”号冠名列车正式发车，为广大旅客带去“中国文旦之乡”的独特味道．根据市场调查，在文旦上市销售的30天中，其销售价格m （元公斤）与第x 天之间满足函数
1
2(115)5
16(1530)15
x x m x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩（其中x 为正整数）；销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示，如果文旦上
市期间每天的其他费用为100元．
（1）求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；
（2）求在文旦上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润=日销售额－日维护费）
（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x 的值． 24．（10分）已知关于x 的一元二次方程2
(1)04
a
ax a x -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求a 的最小整数值； （2）当121x x -=时，求a 的值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数1
2y x =
的图象与反比例函数k y x
=的图象交于(,2)A a -，B 两点．
（1）反比例函数的解析式为____________，点B 的坐标为___________； （2）观察图像，直接写出
102k
x x
-<的解集；
（3）P 是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标．
26．如图,在Rt ABC ∆中, 90C =∠, 在AC ，上取一点D ,以AD 为直径作O ,与AB 相交于点E ,作线段BE 的垂直
平分线MN 交BC 于点N ,连接EN ．
(1) 求证:EN 是O 的切线;
(2)若3,4AC BC ==，
O 的半径为1．求线段EN 与线段AE 的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、A
【分析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等腰直角三角形，求出OB 即可解决问题． 【详解】连接OB ，OC ．
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°， ∵2， ∴OB=OC=2， ∴BC 的长为
902
180
π⨯⨯=π，
故选A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
2、C
【详解】解：978000用科学记数法表示为：9.78×105，
故选C．
【点睛】
本题考查科学记数法—表示较大的数．
3、D
【解析】分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此解答即可.
详解：A. 打开电视，它正在播广告是随机事件；
B. 抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；
C. 打雷后下雨是随机事件；
D. ∵一年有365天，∴ 367 人中有至少两个人的生日相同是必然事件.
故选D.
点睛：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
5、D
【分析】过A 作AB ⊥x 轴于点B ，在Rt △AOB 中，利用勾股定理求出OA ，再根据正弦的定义即可求解. 【详解】如图，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，
∵A 的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3，
在Rt △AOB 中，2222OA=OB AB =43=5++ ∴AB 3
sin =
=OA 5
α 故选：D ． 【点睛】
本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键． 6、C
【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可. 【详解】根据题意得：
925803902
88532
⨯+⨯+⨯=++（分），
∴小莹的个人总分为88分； 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键. 7、C
【解析】试题分析：由线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，根据垂径定理的即可求得：BC BD =，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°． 故选C ．
考点：圆周角定理；垂径定理． 8、C
【分析】根据中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式计算即可.
【详解】解：A 、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷
2＝6，故本选项错误；
B 、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误；
C 、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；
D 、方差是：S 2＝1
20
[4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项错误； 故选C ． 【点睛】
此题考查的是中位数、平均数、众数和方差的算法，掌握中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式是解决此题的关键. 9、A
【解析】设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式即可得到关系式,观察形式即可解答.
【详解】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x). 根据三角形面积公式则有: y =
，
以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,所以A 选项是正确的. 【点睛】
考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、 解决实际问题的能力. 10、C
【分析】利用勾股定理和垂径定理即可求解． 【详解】∵OC AB ⊥，8AB cm = ∴AD=4cm
在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴25＝（5−DC ）2＋16， ∴DC ＝2cm ． 故选：C ． 【点睛】
主要考查了垂径定理的运用．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 11、D
【解析】连接OA ，
∵OC ⊥AB ，AB=6则AD=3
且OA 2=OD 2+AD 2，
∴OA 2=16+9，
∴OA =OC=5cm ．
∴DC =OC-OD=1 cm
故选D ．
12、B
【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： 等腰梯形、正三角形只是轴对称图形，矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，
故选B
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、21c -<<-或12c <<
【分析】首先由抛物线解析式求出顶点A 的坐标，然后再由对称轴可判定△AHP 为等腰直角三角形，故当ABP △是锐角三角形时，1
2BP ＜＜，即可得出c 的取值范围. 【详解】∵2
2y x x c =--+
∴顶点A 的坐标为()1,1c -+
令PB 与对称轴相交于点H ，如图所示
∴PH=AH ，即△AHP 为等腰直角三角形 ∴当ABP △是锐角三角形时，1
2BP ＜＜，
∴BP=OP ，P （0，c ）
∴21c -<<-或12c <<
故答案为21c -<<-或12c <<.
【点睛】
此题主要考查二次函数图象与几何图形的综合运用，解题关键是找出临界点直角三角形，即可得出取值范围.
14、有两个正根
【分析】将原方程这里为一元二次方程的一般形式直接解方程或者求判别式与0的关系都可解题．
【详解】解：(x+1)(x-3)=2x-5
整理得：22325x x x --=-，
即 2420x x -+=，
配方得：2(2)2x -=， 解得：1223x =>，2220x =>，
∴该一元二次方程根的情况是有两个正跟；
故答案为：有两个正根．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，或者求判别式与根的个数的关系．
15、24
【解析】试题分析：因为斜坡AB 的坡度为
125，所以BE:AE=125，设BE=12x ，则AE=5x ；在Rt △ABE 中，由勾股定理知：222,AB BE AE =+即：22226125,x x =+（）（）2676169,x =解得：x=2或-2（负值舍去）；所以BE=12x=24
（米）．
考点：解直角三角形的应用．
16、4
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝1
2
AB，利用勾股定理得到答案．
【详解】连接OA，∵AB⊥OP，
∴AP＝1
2
AB＝
1
2
×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，
∴OP＝22
OA AP
-＝22
53
-＝4，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
17、3 5
【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．【详解】解：∵AB是O的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠ACD=∠ABD
∵O的半径是5，8
BD=，
∴
63 sin sin
105 ACD ABD
∠=∠==
故答案为：3 5
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数值.
18、1 2
【解析】分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa 、Ab 、Ba 、Bb ． 所以颜色搭配正确的概率是12
． 故答案为：12
． 点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=
m n
．
三、解答题（共78分）
19、（1）150°；（2）详见解析；（3）15°
【分析】（1）根据旋转的性质，利用补角性质即可解题；
（2）根据旋转后的对应边相等即可解题；
（3）利用外角性质即可解题．
【详解】解：（1）∵点D ，A ，C 在同一直线上，
∴∠BAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴△ABC 旋转了150°；
（2）根据旋转的性质，可知AC=AE ，
∴△AEC 是等腰三角形；
（3）根据旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=150°，AC=AE ，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-∠CAE ）÷2=（180°-150°）÷2=15°．
【点睛】
本题考查了旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．
20、（1）详见解析；（2）详见解析；
【分析】（1）根据菱形的性质可得：AD BC ∥，再根据相似三角形的判定即可证出AEF CEB △∽△，从而得出结论； （2）根据菱形的性质，可得DA=DC ，从而得出∠DAC=∠DCA ，可得只需做∠CPQ=∠AEF 或∠CPQ=∠AFE ，即可得出CPQ 与AEF 相似，然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF 或∠CPQ=∠AFE 即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD BC ∥.
∴AEF CEB △∽△. ∴EF FA EB BC
=. （2）∵四边形ABCD 是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF 或∠CPQ=∠AFE ，即可得出CPQ 与AEF 相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF ，步骤为：以点E 为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA 和EF 于点G 、H ，以P 为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP 于点M ，以M 为圆心，以GH 的长为半径作弧，两弧交于点N ，连接PN 并延长，交AC 于Q ，CPQ 就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE ，作法同上；
或
∴CPQ 就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）. 【点睛】
此题考查的是菱形的性质、相似三角形的判定及性质和尺规作图，掌握菱形的性质、相似三角形的判定定理及性质定理和用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键.
21、 (1)证明见解析；(2)O 的半径为1.
【分析】（1）如图（见解析），连接OD ，先根据等边对等角求出,B DO ADE B A ∠=∠∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余得90A B ∠+∠=︒，从而可得90ADE BDO ∠+∠=︒，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；
（2）先根据圆的切线的判定定理得出CA 是O 的切线，再根据切线长定理可得EC ED =，从而可得AC 的长，最后在Rt ABC ∆中，利用直角三角形的性质即可得.
【详解】如图，连接OD
ED EA =
A ADE ∴∠=∠
OB OD =
B BDO ∴∠=∠
又90C ∠=︒，则90A B ∠+∠=︒
90ADE BDO A B ∴∠+∠=∠+∠=︒
180()90ODE ADE BDO ∴∠=︒-∠+∠=︒
OD ED ∴⊥，且OD 为O 的半径
∴ED 是O 的切线；
（2）90C ∠=︒，BC 是直径
CA ∴是O 的切线
由（1）知，ED 是O 的切线
ED EC ∴= 3,ED ED EA ==
3ED EC EA ∴===
23AC EC EA ∴=+=
在Rt ABC ∆中，60,90B C ∠=︒∠=︒，则9030A B ∠=︒-∠=︒
2222,AB BC AB BC AC ∴==+
2BC ∴=
112OB BC ∴=
= 故O 的半径为1.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC 的长是解题关键.
22、（1）m=2 ；（2）P （
9）或P （1
9）
【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D 坐标．由面积关系，推出点P 的纵坐标，再利用待定系数法求出点P 的坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+mx+3过（3，0），
∴0=-9+3m+3，
∴m=2
（2）由22333
2y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，得1103x y ⎧⎨⎩＝＝，227294x y ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝， ∴D （72
，-94）， ∵S △ABP =4S △ABD ， ∴12AB×|y P |=4×12AB×94， ∴|y P |=9，y P =±
9， 当y=9时，-x 2+2x+3=9，无实数解，
当y=-9时，-x 2+2x+3=-9，解得：x 1
x 2
∴P （
-9）或P （
-9）．
23、（1）20100(110)14440(1030)x x n x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）222460100(110)1460780(1015)5143402540(1530)15
3x x x y x x x x x x ⎧⎪++≤≤⎪⎪=-++<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）101.2，1． 【分析】分两段，根据题意，用待定系数法求解即可；
先用含m,n 的式子表示出y 来，再代入即可；
分别对（2）中的函数化为顶点式，再依次求出各种情况下的最大值，最后值最大的即为所求.
【详解】（1）当110x ≤≤时，设n kx+b =，由图知可知
10300120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得20100k b =⎧⎨=⎩
∴20100n x =+ 同理得，当1030x <≤时，14440n x =-+
∴销售量n 与第x 天之间的函数关系式：20100(110)14440(1030)x x n x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
（2）∵100y mn =- ∴12(20100)100(110)512(14440)100(1015)516(14440)100(1530)15
x x x y x x x x x x ⎧⎛⎫++-≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎪⎪⎛⎫=+-+-<≤⎨ ⎪⎝
⎭⎪⎪⎛⎫-+-+-<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 整理得，222460100(110)1460780(1015)5143402540(1530)15
3x x x y x x x x x x ⎧⎪++≤≤⎪⎪=-++<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩ （3）当110x ≤≤时，
∵2460100y x x =++的对称轴6015282
b x a =-=-=- ∴此时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大
∴10x =时，y 取最大值，则101100y =
当1015x <<时 ∵246078015y x x =-++的对称轴是7527
b x a =-= ∴x 在11x =时，y 取得最大值，此时111101.2y =
当1530x ≤≤时 ∵2143402540153y x x =-+的对称轴为42527
b x a =-= ∴此时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小
∴15x =时，y 取最大值，y 的最大值是151050y =
综上，文旦销售第1天时，日销售利润y 最大，最大值是101.2
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，注意分情况进行讨论.
24、（1）1；（2
）1【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围，进而得出a 的最小整数值；
（2）利用根与系数的关系得出x 1+x 2和x 1x 2，进而得出关于a 的一元二次方程求出即可．
【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
a a =，()1
b a =-+，4
a c =， ∴0a ≠，且224(1)404
a b ac a a ⎡⎤∆=-=-+-⋅⋅>⎣⎦， ∴12
a >-， 故a 的最小整数值为1；
（2）由题意：121211
4a x x a x x +⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
，
∵121x x -=，
∴212()1x x -=，
∴21212()41x x x x +-=， ∴211()414
a a +-⨯=， 整理，得：2210a a --=，
解之，得：1a =，满足12a >-
， 故a
的值为：1±
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
25、（1）y=8x ；（4，2）；（2）x ＜-4或0＜x ＜4；（3）P （
）或P （2，4）． 【分析】（1）把A （a ，-2）代入y=
12x ，可得A （-4，-2），把A （-4，-2）代入y=k x ，可得反比例函数的表达式为
y=8
x
，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）观察函数图象，由交点坐标即可求解；
（3）设P（m，8
m
），则C（m，
1
2
m），根据△POC的面积为3，可得方程
1
2
m×|
1
2
m-
8
m
|=3，求得m的值，即可得
到点P的坐标．
【详解】（1）把A（a，-2）代入y=1 2 x
可得a=-4，
∴A（-4，-2），
把A（-4，-2）代入y=k
x
，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=8
x
，
∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）．
故答案为：y=8
x
；（4，2）；
（2）1
2
x-
k
x
＜0的解集是x＜-4或0＜x＜4；
（3）设P（m，8
m
），则C（m，
1
2
m），
依题意，得1
2
m•|
1
2
m-
8
m
|=3，
解得或m=2，（负值已舍去）．
∴P（，
7
）或P（2，4）．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
26、（1）见解析；（2）
196
,
85 EN AE
==
【分析】(1)根据题意，证出EN与OE垂直即可；
(2)求线段的长一般构造直角三角形,利用勾股定理来求解.在Rt△OEN、Rt△OCN△中，
EN²=ON²-OE²,ON²=OC²+CN²,CN=4-EN代入可求EN；同理构造直角三角形Rt△AED、Rt△EDB、Rt△DCB,AE²=AD²-DE²,DE²=DB²-BE²,DB²=CD²+CB²=1²+4²=17,代入求AE.
【详解】()1证明:连接OE
MN 是BE 的垂直平分线
BN EN ∴=
B NEB ∴∠=∠
OA OE =
A OEA ∴∠=∠
90C ∠=
90A B ∴∠+∠=
∴90OEN ∠=即OE EN ⊥ OE 是半径
EN ∴是圆的切线
()2解：连接ON
设EN 长为x ，则=BN EN x =
3,4AC BC ==，圆的半径为1
4,312CN x OC AC OA ∴=-=-=-=
2222OE EN OC CN ∴+=+
()2222124x x ∴+=+- 解得19x 8=,所以198
EN = 连接,,ED DB 设AE y =
3,4AC BC ==
∴AB=5,
∵AD 是直径, 90AED DEB ∴∠=∠=
∴△ADE 是直角三角形
则222
2DE y =- 321CD AC AD =-=-=
22217DB CD CB ∴=+= AD 为直径，
∴△DEB是直角三角形，222 DE EB DB
∴+=
即(2²-y²)+(5-y) ²=17
解得
6
5
y=
196
,
85
EN AE
∴==
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，在运用勾股定理时需要构造与所求线段有关的直角三角形，问题关键是找到已知线段和所求线段之间的关系.。