广东省梅州市高三数学5月复习质检试题 理 新人教A版

梅州市高三总复习质检试卷（2012.5）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b ∈R ，若复数12i
1i
z +=
+，则z 在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合3
{0},{3}1
x M x
N x x x +=<=--，则集合{1}x x 等于
A ．M ∩N
B ．M N
C ．
D 、
3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2
，则该几何体的俯视图可以是
4．设0ω>，函数sin()3
y x π
ω=+的图象向右平移
43
π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值为 A ．
23 B ．43 C ．3
2
D ．3 5．平面向量,a b 共线的充要条件是
A ．,a b 方向相同
B ．,a b 两向量中至少有一个为零向量
C ．,b λλ∃∈=R a
D ．存在不全为零的实数12,λλ，12λλ+=0a b
6．函数x x
x x
e e y e e --+=-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为 A 、28 B 、24 C 、30 D 、36 8．非空集合G 关于运算满足：（1）对于任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；（2）存在e ∈G ，使对一切a ∈G 都有a ⊕e=e ⊕a=a ，则称G 关于运算⊕为“融合集”，现在给出集合和运算：： ①G={非负整数}，为整数的加法；②G={偶数}，为整数的乘法；③G={平面向量}，为平面向量的加法；④ G={虚数}，为复数乘法，其中G 为关于运算的“融洽集”的个数为
A 、1个
B 、2个
C 、3个 D4个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11~13小题）
9．执行如图所示的程序框图，若输入x =10 ， 则输出y
的值为 ．
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则
249a a a ++= ．
11、在区间［－1，］上随机取一个数x ，cos 2
x π的值介于0到
12
之间的概率为＿＿＿＿
12、抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过点P 5,12⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线交抛物线于A 、B 两点，且P 恰好为AB 的中点，则｜AF ｜＋｜BF ｜＝＿＿＿＿ 13、观察下列各式：
由以上等式推测到一个一般的结论：
O y
x
O
y
x
O y
x
O y
x
1
1
1
1
1
1
1
1
对于：
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线cos()24
π
ρθ-
=与圆4ρ=的交点
个数为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于,A B 两点，己知弦6AB =，点P 到O 的切线长4,PT =则
PA = ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，. （1）若
=1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值； （2）若
，且θ在第三象限．求sin()3
π
θ+
值.
17．（本小题满分13分）
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500,2000)（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在
[2000,3000)（元）的概率，采用随机模拟的方法：先
由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率.
A
B
O
第15题图
O
第17题图
月收入(元)
频率组距
0.0001
0.0002
0.00030.00040.0005
(3)任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求ξ的数学期望。

18．（本小题满分14分）
如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点B 1在底面ABC 上的射影落在BC 上，CA ＝CB ＝a ，AB ＝2a
（1）求证：AC ⊥平面BCC 1B 1；
（2）当BB 1与底面ABC 所成的角为600
，且AB 1⊥BC 1时，求点B 1到平面AC 1的距离。

19.（本小题14分）
己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2
2，不
等式||||1x y a b
+所表示的平面区域的面积为162.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 上是否存在两个不同的点P ，Q ，使P ，Q 关于直线y ＝4x ＋m 对称？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20．（本小题14分）
已知函数()ln f x x ax =-. （1）当1a =时，求()f x 的最大值； （2）试讨论函数()y f x =的零点情况；
（3）设,,
(1,2,
,)k k a b k n =均为正数，若112212n n n a b a b a b b b b ++++++，
求证：12
12
1n
b b
b n a a a ⋅．
21．（本小题14分）
定义在R 上的函数()f x 满足：( ) ()()f x y f x f y += ，且当0x >时，()1f x >.数列{}n a 满足
(1)求(0)f 的值，并证明()f x 是定义域上的增函数： (2)求数列{}n a 的通项公式； （3）设为数列{}n a 的前n 项和，是否存在实数k ，使得对任意正整数n ，都有若存在，求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由。