圆与二次函数难度题(含答案)

水尾中学中考专项训练（压轴题）谜底之阿布丰王
创作
1．（四川模拟）如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,∠ACB ＝90°,AC ＝23,BC ＝1．以AC 为一边,在AC 的右侧作等边△ACD ,连接BD ,交⊙O 于点E ,连接AE ,求BD 和AE 的长．
解：过D 作DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形
∴AD ＝CD ＝AC ＝23,∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°,∴∠ACF ＝90°
∴∠DCF ＝30°,∴DF ＝1
2CD ＝3,CF ＝3DF ＝3
∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4
∴BD ＝BF2＋DF2＝16＋3＝19
∵AC ＝23,BC ＝1,∴AB ＝AC2＋BC2＝13 ∵BE ＋DE ＝BD ,∴AB2－AE2＋AD2－AE2＝BD 即13－AE2＋12－AE2＝19 ∴13－AE2＝19－12－AE2
两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2
－219(12－AE2) 整理得：19(12－AE2)＝9,解得AE ＝7
19
57
2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,D 为
△ABC 外接圆⊙O 上AC ︵
的中点．
（1）如图1,P 为ABC ︵
的中点,求证：PA ＋PC ＝3PD ；
（2）如图2,P 为ABC ︵
上任意一点,（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
D
（1）证明：连接AD
∵D 为AC ︵的中点,P 为ABC ︵
的中点 ∴PD 为⊙O 的直径,∴∠PAD ＝90° ∵∠B ＝60°,∴∠APC ＝60°
∵D 为AC ︵
的中点,∴∠APD ＝∠CPD ＝30° ∴PA ＝PD ·cos30°＝
32
PD ∵P 为ABC ︵
的中点,∴PA ＝PC ∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下：
延长PA 到E ,使EA ＝PC ,连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180° ∴∠EAD ＝∠PCD
∵D 为AC ︵的中点,∴AD ︵＝CD ︵ ∴AD ＝CD
∴△EAD ≌△PCD ,∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知,∠APD ＝30°
∴PH ＝PD ·cos30°＝3
2PD ,PE ＝2PH ＝3PD
∵PA ＋EA ＝PE ,∴PA ＋PC ＝3PD
3．（湖北模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,PA 、PC 分别切⊙O 于A 、
C ,C
D ⊥AB 于D ,PB 交CD 于
E ．
P
（1）求证：CE ＝DE ；
（2）若AB ＝6,∠APC ＝120
（1）证明：连接OP 、OC 、BC ∵PA 、PC 是⊙O 的切线
∴PA ＝PC ,∠PAO ＝∠PCO ＝90°
又PO ＝PO ,∴Rt △PAO ≌Rt △PCO
∴∠POA ＝∠POC ,∴∠AOC ＝2∠POA 又∠AOC ＝2∠ABC ,∴∠POA ＝∠ABC 又∠PAO ＝∠CDB ＝90°,∴△PAO ≌△CDB ∴PA CD ＝OA BD
∵∠PAB ＝∠EDB ＝90°,∠PBA ＝∠EBD ∴△PAB ≌△EDB ,∴PA ED ＝BA
BD
∵AB ＝2OA ,∴PA ED ＝2OA BD ＝2PA
CD
∴CD ＝2ED ,∴CE ＝DE
（2）解：∵∠APC ＝120°,∠PAO ＝∠PCO ＝90° ∴∠AOC ＝60°,∴∠DCO ＝30° ∵AB ＝6,∴OA ＝OC ＝3
∴OD ＝OC ·sin30°＝32,CD ＝OC ·cos30°＝33
2
∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △DOC
B
B
＝60×π×32360－12×32×
332
＝3π2－938
4．（上海模拟）如图,⊙O 的半径为6,线段AB 与⊙O 相交于点
C 、
D ,AC ＝4,∠BOD ＝∠A ,OB 与⊙O 相交于点
E ,设OA ＝x ,CD ＝y ．
（1）求BD 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域； （3）当CE ⊥OD 时,求AO 的长．
解：（1）∵OC ＝OD ,∴∠OCD ＝∠ODC ,∴∠OCA ＝∠ODB ∵∠BOD ＝∠A ,∴△OBD ∽△AOC ,∴BD OC ＝OD
AC
∵OC ＝OD ＝6,AC ＝4,∴BD 6＝6
4,∴BD ＝9
（2）∵△OBD ∽△AOC ,∴∠AOC ＝∠B 又∵∠A ＝∠A ,∴△ACO ∽△AOB ,∴AB AO ＝AO
AC
∵AB ＝AC ＋CD ＋BD ＝y ＋13,∴y ＋13x ＝x
4
∴y ＝14
x 2
－13
∵0＜y ＜8,∴0＜14x 2
－13＜12,解得213＜x ＜10
∴界说域为213＜x ＜10
（3）∵OC ＝OE ,CE ⊥OD ．∴∠COD ＝∠BOD ＝∠A
∴∠AOD ＝180º－∠A －∠ODC ＝180º－∠COD －∠OCD ＝∠ADO
A
B
D
C
E
O
A
B
D
C
E O
∴AD ＝AO ,∴y ＋4＝x ,∴14x 2
－13＋4＝x
∴x ＝2±210（舍去负值） ∴AO ＝2±210
5．（北京模拟）如图,抛物线y ＝2m x 2
－2x 与x 轴负半轴交于点A ,
极点为B ,且对称轴与x 轴交于点C ．
（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式暗示）；
（2）D 为BO 中点,直线AD 交y 轴于E ,若点E 的坐标为（0,2）,求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下,点M 在直线BO 上,且使得△AMC 的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线 BC 上,若以A 、M 、P 、Q 为极点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标．
解：（1）∵y ＝2m x 2－2x ＝2m (x －12m )2－1
2
m
∴抛物线的极点B 的坐标为（12m ,－1
2m ） （2）令2m x 2
－2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝m
∵抛物线y ＝2m x 2
－2x 与x 轴负半轴交于点A ∴A （m ,0）且m ＜0. 过点D 作DF
x 轴于F
由D 为BO 中点,DF ∥BC ,可得CF ＝FO ＝1
2
CO
A B C D
O
y x E
A B
C O y
x 备用图 A
B C D
O
y
x
E
F
∴D ＝12
BC
由抛物线的对称性得AC ＝OC ,∴AF AO ＝3
4
∵DF ∥EO ,∴△ADF ∽△AEO ,∴DF EO ＝AF
AO
由E （0,2）,B （12m ,－12m ）,得OE ＝2,DF ＝－1
4m
∴－1
4m 2＝34
,∴m ＝－6
∴抛物线的解析式为y ＝－13
x 2
－2x
（3）依题意,得A （－6,0）,B （－3,3）,C （－3,0） 可得直线OB 的解析式为y ＝－x ,直线BC 为x ＝－3
作点C 关于直线BO 的对称点C 1（0,3）,连接AC 1交BO 于M ,则M 即为所求
由A （－6,0）,C 1（0,3）,可得直线AC 1的解析式为y ＝1
2x ＋3
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3y ＝－x
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2
y ＝2
∴点M 的坐标为（－2,2）
由点P 在抛物线y ＝－13x 2－2x 上,设P （t ,－13t 2
－2
①当AM 为平行四边形的一边时
如右图,过M 作MG ⊥x 轴于G ,过
P 作PH ⊥BC 于H 则x G ＝x M ＝－2,x H ＝x B ＝－3
可证△AMG ≌△PQH ,得PH ＝AG ＝4 ∴t －(－3)＝4,∴t ＝1 ∴P 1（1,－7
3
）
如右图,同理可得PH ＝AG ＝4 ∴－3－t ＝4,∴t ＝－7 ∴P 2（－7,－7
3
）
②当AM 为平行四边形的对角线时
如右图,过M 作MH ⊥BC 于H ,过P 作PG ⊥x 轴于G 则x H ＝x B ＝－3,x G ＝x P ＝t
可证△APG ≌△MQH ,得AG ＝MH ＝1 ∴t －(－6)＝1,∴t ＝－5 ∴P 3（－5,5
3
）
综上,点P 的坐标为P 1（1,－73）,P 2（－7,－73）,P 3
6．（上海模拟）已知：如图,直线y ＝x －15与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ,抛物线y ＝－1
3
x 2
＋bx ＋c 经过
A 、
B 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的极点为点D ,与x 轴的另一个交点为点C ,对称轴与x 轴交于点H ,求△DAC 的面积；
（3）若点E 是线段AD 的中点,CE 与DH 交于点G ,点P 在y 轴的正半轴上,△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能,请求出点P 的坐标；如果不能,请说明理由．
解：（1）由题意,得A （15,0）,B （0,－15） ∵抛物线y ＝－13x 2
＋bx ＋c 经过A 、B 两点
∴⎩⎪⎨⎪⎧－13×152＋15b ＋c ＝0c ＝－15
解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6c ＝－15
∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2
＋6x －15
（2）∵y ＝－13x 2＋6x －15＝－13(x －9)2
＋12
∴极点D 的坐标为（9,12） 设y ＝0,则－13(x －9)2
＋12＝0
∴(x －9)2
＝36,∴x 1＝3,x 2＝15 ∴C （3,0）,∴AC ＝15－3＝12 ∴S △DAC ＝12AC ·DH ＝1
2
×12×12＝72
（3）∵点E 是线段AD 的中点,点H 是线段AC 的中点 ∴点G 是△DAC 的重心.,∴GH ＝1
3DH ＝4
①若PO GH ＝OH
CH ,则△HPO ∽△CGH
∴PO 4＝9
6
,∴PO ＝6
∴P 1（0,6）
②若PO CH ＝OH
GH ,则△PHO ∽△CGH
∴PO 6＝94,∴PO ＝272
∴P 2（0,272
）
∴△POH 能够与△CGH 相似,此时点P 的坐标为P 1（0,6）或P 2（0,272
）
7．（四川成都）如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y ＝5
4x
＋m （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （－3,0）,与y 轴交于点
C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ,b ,c 为常数,
且a ≠0）经过A ,C 两点,并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点,过点E 作直线AC 的平行线交
x 轴于点F ．是否存在这样的点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边
形是平行四边形？若存在,求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,请说明理由；
（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点P 任意作一条与y 轴不服行的直线交抛物线于M 1（x 1,y 1）,M 2（x 2,y 2）两点,试探究M1P ·M2P
M1M2
是否为定值,并写出探究过程．
解：（1）∵一次函数y ＝5
4x ＋m 的图象与x 轴交于点A （－3,0）
∴54×(－3)＋m ＝0,解得m ＝154 ∴点C 的坐标是（0,154
）
∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A ,C 两点,且对称轴为直线x ＝1
∴⎩⎪⎨
⎪⎧9a －3b ＋c ＝0
c ＝15
4－b 2a
＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
4b ＝12c ＝154
∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋15
4
（2）假设存在点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形
（ⅰ）当CE ∥AF 时,点E 在x 轴上方,y E ＝y C ＝15
4
由－14x 2＋12x ＋154＝15
4,解得x 1＝0（舍去）,x 2＝2
∴E 1（2,154）,此时S □ACE 1F 1＝2×154＝152
（ⅱ）当AE ∥CF 时,点E 在x 轴下方,y E ＝－y C
由－14x 2＋12x ＋154＝－154,解得x 1＝1＋31,x 2∴E 2（1＋31,－154
）
过E 2作E 2H ⊥x 轴于H ,则△E 2HF 2≌△COA ∴HF 2＝AO ＝3,AF 2＝7＋31
∴S □ACF 2E 2＝2S □ACF 2＝AF 2·CO ＝15(7＋31)
4
综上所述,存在符合条件的点E 1（2,154）,E 2（1＋31,－15
4）,使
得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形,相应的面积分别是152,15(7＋31)
4
（3）方法一：∵A ,B 两点关于抛物线的对称轴x ＝1对称 ∴AP ＋CP ＝BP ＋CP ≥BC
∴当C 、P 、B 三点在一条直线上时,△ACP
此时点P 的坐标为（1,3）
分别过点M 1,M 2作直线x ＝1的垂线,垂足为N 1在Rt △M 1PN 1中,由勾股定理得
M 1P 2
＝M 1N 12＋PN 1
2＝(x 1－1)2
＋(y 1－3)2
①
∵y 1＝－14x 12＋12x 1＋154＝－14
(x 1－1)2
＋4
即(x 1－1)2
＝4(4－y 1),将其代入①,得M 1P 2
＝(5－y 1)2
∴M 1P ＝5－y 1（y 1＜5） 同理M 2P ＝5－y 2
由M 1N 1∥M 2N 2,得△M 1PN 1∽△M 2PN 2 ∴M1P M2P ＝N1P N2P ,即5－y15－y2＝3－y1
y2－3 整理得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)－15
∴M1P ·M2P M1M2＝(5－y1)(5－y2)(5－y1)＋(5－y2)＝y1y2－5(y1＋y2)＋2510－(y1＋y2)＝1
故M1P ·M2P M1M2是定值,其值为1
方法二：
同方法一得点P 的坐标为（1,3） 设过点P 的直线表达式为y ＝kx ＋3－k
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3－k y ＝－14x 2＋12x ＋154 消去y ,整理得x 2
＋(4k －2)x －(4k ＋3)
＝0
∴x 1＋x 2＝2－4k ,x 1x 2＝－(4k ＋3)
由y 1＝kx 1＋3－k ,y 2＝kx 2＋3－k ,得y 1－y 2＝k (x 1－x 2) ∴M 1P 2
·M 2P 2
＝[(x 1－1)2
＋(y 1－3)2
][(x 2－1)2
＋(y 2－3)2
]
＝[(x 1－1)2
＋k 2
(x 1－1)2
][(x 2－1)2
＋k 2
(x 2－1)2
] ＝(k 2
＋1)2
(x 1－1)2
(x 2－1)2
＝(k 2
＋1)2
(x 1x 2－x 1－x 2＋1)2
＝16(k 2
＋1)2
M 1M 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝(k 2
＋1)(x 1－x 2)2
＝(k 2
＋1)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2] ＝16(k 2
＋1)2
∴M 1P 2
·M 2P 2
＝M 1M 22
,即M 1P ·M 2P ＝M 1M 2 故M1P ·M2P M1M2
是定值,其值为1
8（四川雅安）在直角坐标系中,已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1,0）和点B ,极点为P ．
（1）若点P 的坐标为（－1,4）,求此时抛物线的解析式；
（2）若点P 的坐标为（－1,k ）,k ＜0,点Q 是y 轴上一个动点,当
k 为何值时,QB ＋QP 取得最小值5；
（3）试求满足（2）时动点Q 的坐标．
解：（1）由题意,设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)2
＋4 将A （1,0）代入上式,得a ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2
＋4
（2）作点P （－1,k ）关于y 轴的对称点P ′
∴QP ＝QP ′
∵抛物线极点为P （－1,k ）,∵抛物线与x 轴交于点A （1,0）和点B ,∴B 若QB ＋QP 最小,即QB ＋QP ′最小 则B 、Q 、P ′三点共线,即P ′B ＝5 又AB ＝1＋3＝4,连接P ′A ,则P ′A ⊥AB
∴△P ′AB 是直角三角形,∴P ′A ＝52－42＝3 ∴k ＝3
（3）由（2）知,△BOQ ∽△BAP ′ ∴BO BA ＝OQ AP ′,即34＝OQ 3,∴OQ ＝94 ∴动点Q 的坐标为（0,－94
）
10．（四川乐山）如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（m ,m ）,点B 的坐标为（n ,－n ）,抛物线经过A 、O 、B 三点,连接
OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别
是方程x 2
－2x －3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合）,直线
PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y
①当△OPC 为等腰三角形时,求点P ②求△BOD 面积的最年夜值,解：（1）解方程x 2
－2x －3＝0,得x 1＝－1,x ∵m ＜n ,∴m ＝－1,n ＝3 ∴A （－1,－1）,B （3,－3）
∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx
∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a －b －3＝9a ＋3b
解得a ＝－12,b ＝1
2
∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋1
2x
（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∴⎩
⎪⎨⎪⎧－1＝－k ＋b
－3＝3k ＋b 解得k ＝－12,b ＝－3
2
∴直线AB 的解析式为y ＝－12x －3
2
∴C 点坐标为（0,－3
2
）
∵直线OB 过点O （0,0）,B （3,－3）
∴直线OB 的解析式为y ＝－x
∵△OPC 为等腰三角形,∴OC ＝OP 或OP ＝PC 或OC ＝PC 设P （x ,－x ）
（i ）当OC ＝OP 时,x 2
＋(－x )2
＝9
4
解得x 1＝324,x 2＝－324（舍去）,∴P 1（324,
（ii ）当OP ＝PC 时,点P 在线段OC （iii ）当OC ＝PC 时,x 2
＋(－x ＋32)2＝9
4
解得x 1＝32,x 2＝0（舍去）,∴P 3（32,－3
2
）
∴P 点坐标为P 1（324,－324）或P 2（34,－34）或P 3（32,－3
2）
②过点D 作DG ⊥x 轴,垂足为G ,交OB 于Q ,过B 作BH ⊥x 轴,垂足为H
设Q （x ,－x ）,则D （x ,－12x 2＋1
2x ）
∴DQ ＝－12x 2＋12x ＋x ＝－12x 2＋3
2
x
∴S △BOD ＝S △ODQ ＋S △BDQ ＝12DQ ·OG ＋12DQ ·GH ＝1
2DQ (OG ＋GH )
＝12(－12x 2＋32x )×3＝－34(x －32)2＋27
16 ∵0＜x ＜3
∴当x ＝32时,S 取得最年夜值为2716,此时D （32,－38
）
11．（四川模拟）如图,抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ,与y 轴正半轴交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．已知A （－2,0）,tan ∠ABC ＝3
4,S △ABC ＝9．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是线段BC 上一点,且以B 、D 、P 为极点的三角形与△
ABC 相似,求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下,请你选择一个P 点求出△BDP 外接圆圆心的坐标．
解：（1
9去负值）
∴B （4,0）,C （0,3）
∴设抛物线为y ＝a (x ＋2)(x －4),把C （0,3）代入,得 3＝a (0＋2)(0－4),解得：a ＝－3
8
∴抛物线的解析式为y ＝－3
8(x ＋2)(x －4)
即y ＝－38x 2＋3
4x ＋3
（2）存在
∵y ＝－38x 2＋34x ＋3＝－38(x －1)2
＋278
备用图
∴抛物线的对称轴是直线x ＝1 ∴D （1,0）,∴OD ＝1
∵OA ＝2,OB ＝4,OC ＝3,∴AB ＝6,BC ＝5,BD ＝3 当△BDP ∽△BAC 时,则∠BDP ＝∠BAC ∴DP ∥AC
∵D 为AB 中点,∴P 为CB 中点 ∵B （4,0）,C （0,3）,∴P 1（2,3
2）
当△BPD ∽△BAC 时,则BP BA ＝BD
BC
∴BP 6＝35,∴BP ＝185
过点P 作PH ⊥OB 于H ,则△BPH ∽△BCO ∴BH BO ＝PH CO ＝BP BC ,∴BH 4＝PH 3＝1855 ∴BH ＝7225,PH ＝5425,∴P 2（2825,5425
）
∴满足条件的P 点有两个,P 1（2,32）,P 2（2825,54
25）
（3）选择P （2,3
2
）,设E 为△BDP
则点E 是线段BD 的中垂线和线段BP 易知线段BD 的中垂线为x ＝52,设点E 由ED ＝EP ,得(52－1)2＋m 2
＝(52－2)2＋(m －32
)2
解得m ＝112,即E （5
2,1
12
）
∴当点P 坐标为（2,32）时,△BDP 外接圆圆心的坐标为（52,1
12）
12．（四川模拟）已知圆⊙A 的半径为2,圆心A （t ,0）是抛物线y ＝－12x 2
＋bx 与x 轴的交点,点P 是x 轴上方抛物线上任意一
点,点Q 是线段OP 的中点．
（1）如图1,当t ＝4时,点P 在抛物线上运动,点Q 跟随点P 运动,其运动路径也是一段抛物线,直接写出点Q 运动路径的函数解析式,并指出自变量的取值范围；
（2）如图2,当∠POA ＝45°且t ＞0时,过点Q 作OP 的垂线l ,证明直线l 与⊙A 相切；
（3）当∠POA ＝45°时,使得直线l 与⊙A 相切于点M ,且四边形
PAMQ 点构成以AP 请说明理由．
解：（1）y 提示：当t ＝4时,A （4,0）,代入y ＝－2x 2
＋bx ,得b ＝2
∴抛物线为y ＝－12
x 2
＋2x
设P （m ,－12m 2＋2m ）,则Q （12m ,－14m 2
＋m ）
设Q （x ,y ）,则x ＝12m ,y ＝－14
m 2
＋m
∴m ＝2x ,∴y ＝－14(2x )2＋2x ＝－x 2
＋2x
∵0＜m ＜4,∴0＜x ＜2
∴点Q 运动路径的函数解析式为y ＝－x 2
＋2x （0＜x ＜2） （2）∵y ＝－12x 2
＋bx ,∴A （2b ,0）
∵∠POA ＝45°,∴直线OP 的解析式为y ＝x
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－12x 2
＋bx 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0y1＝0（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2y2∴P （2b －2,2b －2）
设l 与x 轴交于点D ,连接PD 由题意,l 是线段OP 的垂直平分线 ∴OD ＝PD ,∴∠OPD ＝∠POD ＝45°
∴∠ODP ＝90°,∴△OPD 是等腰直角三角形 ∴∠ODQ ＝45°,OD ＝2b －2 ∴AD ＝2b －(2b －2)＝2
过点A 作AM ⊥l 于M ,则∠ADM ＝45° ∴△ADM 是等腰直角三角形 ∴AM ＝2
2AD ＝2＝⊙A 的半径
∴直线l 与⊙A 相切
（3）∵四边形PAMQ 为矩形,∴PQ ＝AM ＝2 ∴OP ＝22,∴P （2,2）,∴Q （1,1） ∴2b －2＝2,∴b ＝2
∴A （4,0）,抛物线为y ＝－12x 2
＋2x
易得直线AQ 的解析式为y ＝－13x ＋4
3
∵四边形ABPQ 是以AP 为对角线的梯形
∴BP ∥AQ ,∴设直线BP 的解析式为y ＝－1
3x ＋n
把P （2,2）代入,得n ＝83,∴y ＝－13x ＋8
3
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ＋
83y ＝－12x 2
＋2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2
y1＝2
（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2＝
83
y 2
＝169
∴B （83,169
）
∴存在点B （83,16
9）,使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的
梯形
13．（四川模拟）如图,抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与直线l ：y ＝3
4x －
1交于点A （4,2）、B （0,－1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在直线l 下方的抛物线上,过点D 作DE ∥y 轴交l 于
E 、作D
F ⊥l 于F ,设点D 的横坐标为t ,△DEF 的周长为p ,求p 与t 的函数关系式,并求p 的最年夜值及此时点D 的坐标；
（3）点M 在抛物线上,点N 在x 轴上,若△BMN 是以M 为直角极点
的等腰直角三角形,求点M 的坐标．
解：（1）由题意知：
⎩⎪⎨
⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54
c ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－5
4x －1
（2）∵点D 在抛物线y ＝12x 2－5
4x －
∴设D （t ,12t 2－
54t －1）,则E （t ,3
4t ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2
在y ＝34x －1中,令y ＝0,得x ＝43
∴直线AB 与x 轴交于点C （4
3,0）
∴BC ＝
12＋(43)2＝53
∴△OBC 的周长为为1＋43＋5
3＝∵DE ∥y 轴,DF ⊥l ,∴△DEF ∴p
4＝－12t 2
＋2t 5
3
∴p ＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2
＋245
∴当t ＝2时,p 有最年夜值为24
5
此时D （2,－3
2
）
（3）过点M 作MG ⊥x 轴于G ,过点B 作BH ⊥MG
易证△MGN ≌△BHM ,∴MG ＝BH
∴12x 2－54x －1＝x 或12x 2－5
4
x －1＝－x 解得x 1＝9＋1134,x 2＝9－1134,x 3＝1＋334,x 4＝1－334
∴M 1（9＋1134,9＋1134）,M 2（9－1134,9－113
4
）
M 3（
1＋334,－1＋334）,M 4（1－334,－1－33
4
）。