思想方法 第2讲 数形结合思想
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∴|MN|－|MF1|的最小值为 3 2－5.
规 律
几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析
方 法
式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能
合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的 图象，如图所示. 由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线， 直线l是f(x)在原点处的切线， 当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意， 在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x， 求其导数可得y′＝2x－2， 当x＝0时，y′＝－2， 故直线l的斜率为－2， 故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].
√A.0<a<1 √B.x1x2＝1
C.x1＋x2＋x3＋x4 的取值范围是10，221
√D.2x1＋x2 的取值范围是[2 2，3)
思路分析 方程f(x)＝a的根→函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标→作出函 数f(x)的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.
函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化 为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0<a<1， 故A正确； 由题意可知－log2x1＝log2x2，即log2x1x2＝0，解得x1x2 ＝1，故B正确；
例3 (2023·山东联考)已知椭圆C：x42＋y32＝1的左、右焦点分别为F1，F2， M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则 |MN|－|MF1|的最小值为__3___2_－__5__.
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－ 4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1| 的最小值.
思想方法
第2讲 数形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来 解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助 数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维， 揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
∴|a＋b－c|的取值范围是[2 2－2,2].
规
律 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，
方 法
主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直
线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可
考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程， 找出其中的相互关系求解.
∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且 a·b＝0，∴a，b，c 的终点在圆上，且 a⊥b，如 图所示，令O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝a＋b，
∵(a－c)·(b－c)≤0， ∴点C在劣弧AB上运动， ∴|a＋b－c|表示 C，D 两点间的距离|C→D|. |C→D|的最大值是|A→D|＝|B→D|＝2， |C→D|的最小值为|O→D|－2＝2 2－2.
单调递增，h 2＝2 2，h(1)＝3，h(2)＝3， 所以 2x1＋x2∈2 2，3，故 D 正确.
(2)已知函数 f(x)＝－ln(xx2＋＋12)x，，xx>≤0，0， 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是
A.(－∞，0] C.[－2,1]
B.(－∞，1]
√D.[－2,0]
思路分析 作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直 线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意 一点， 则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时， 等号成立， ∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－ 5≥|EF2|－5， 当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立. ∵F2(1,0)，E(4,3)， 则|EF2|＝ (4－1)2＋(3－0)2＝3 2，
规
律 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式
方 法
f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系.
利用数学概念、表达式的几何意义 方法二 求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图 形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距 离公式等.
例2 (2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则
|a＋b－c|的取值范围是
A.[0,2 2＋2]
B.[0,2]
C.[2 2－2,2 2＋2]
√D.[2 2－2,2]
思 路 分 析 作 以 O 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 →a ， b ， c 的 终 点 在 圆 上 →∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝ O→D→求|C→D|的最值.
内容索引
方法一 方法二
方法三
利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、 范围问题
几何动态问题中的数形结合
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不 等式问题.
例1 (1)(多选)(2023·宜昌模拟)已知函数 f(x)＝xl2o－g28xx，＋01<3x，<2x，≥2， 若 f(x)＝a 有四个不同的实数根 x1，x2，x3，x4，且满足 x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是
函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，所以x3＋x4＝8， 又x1x2＝1， 所以 x1＋x2＋x3＋x4＝8＋x12＋x2，
由图知1<x2<2， 函数 g(x2)＝8＋x12＋x2 在(1,2)上单调递增，g(1)＝10， g(2)＝221，所以 x1＋x2＋x3＋x4∈10，221，故 C 错误； 2x1＋x2＝x22＋x2，函数 h(x2)＝x22＋x2 在1， 2上单调递减，在 2，2上
规 律
几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析
方 法
式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能
合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的 图象，如图所示. 由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线， 直线l是f(x)在原点处的切线， 当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意， 在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x， 求其导数可得y′＝2x－2， 当x＝0时，y′＝－2， 故直线l的斜率为－2， 故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].
√A.0<a<1 √B.x1x2＝1
C.x1＋x2＋x3＋x4 的取值范围是10，221
√D.2x1＋x2 的取值范围是[2 2，3)
思路分析 方程f(x)＝a的根→函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标→作出函 数f(x)的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.
函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化 为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0<a<1， 故A正确； 由题意可知－log2x1＝log2x2，即log2x1x2＝0，解得x1x2 ＝1，故B正确；
例3 (2023·山东联考)已知椭圆C：x42＋y32＝1的左、右焦点分别为F1，F2， M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则 |MN|－|MF1|的最小值为__3___2_－__5__.
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－ 4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1| 的最小值.
思想方法
第2讲 数形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来 解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助 数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维， 揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
∴|a＋b－c|的取值范围是[2 2－2,2].
规
律 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，
方 法
主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直
线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可
考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程， 找出其中的相互关系求解.
∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且 a·b＝0，∴a，b，c 的终点在圆上，且 a⊥b，如 图所示，令O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝a＋b，
∵(a－c)·(b－c)≤0， ∴点C在劣弧AB上运动， ∴|a＋b－c|表示 C，D 两点间的距离|C→D|. |C→D|的最大值是|A→D|＝|B→D|＝2， |C→D|的最小值为|O→D|－2＝2 2－2.
单调递增，h 2＝2 2，h(1)＝3，h(2)＝3， 所以 2x1＋x2∈2 2，3，故 D 正确.
(2)已知函数 f(x)＝－ln(xx2＋＋12)x，，xx>≤0，0， 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是
A.(－∞，0] C.[－2,1]
B.(－∞，1]
√D.[－2,0]
思路分析 作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直 线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意 一点， 则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时， 等号成立， ∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－ 5≥|EF2|－5， 当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立. ∵F2(1,0)，E(4,3)， 则|EF2|＝ (4－1)2＋(3－0)2＝3 2，
规
律 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式
方 法
f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系.
利用数学概念、表达式的几何意义 方法二 求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图 形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距 离公式等.
例2 (2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则
|a＋b－c|的取值范围是
A.[0,2 2＋2]
B.[0,2]
C.[2 2－2,2 2＋2]
√D.[2 2－2,2]
思 路 分 析 作 以 O 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 →a ， b ， c 的 终 点 在 圆 上 →∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝ O→D→求|C→D|的最值.
内容索引
方法一 方法二
方法三
利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、 范围问题
几何动态问题中的数形结合
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不 等式问题.
例1 (1)(多选)(2023·宜昌模拟)已知函数 f(x)＝xl2o－g28xx，＋01<3x，<2x，≥2， 若 f(x)＝a 有四个不同的实数根 x1，x2，x3，x4，且满足 x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是
函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，所以x3＋x4＝8， 又x1x2＝1， 所以 x1＋x2＋x3＋x4＝8＋x12＋x2，
由图知1<x2<2， 函数 g(x2)＝8＋x12＋x2 在(1,2)上单调递增，g(1)＝10， g(2)＝221，所以 x1＋x2＋x3＋x4∈10，221，故 C 错误； 2x1＋x2＝x22＋x2，函数 h(x2)＝x22＋x2 在1， 2上单调递减，在 2，2上