创新设计(浙江专用)2017届高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期二 第一周 概率与立体几何

星期二(概率与立体几何)
2017年____月____日
1.概率(命题意图：考查相互独立事件概率的求解及数学期望的求法)
(本小题满分15分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、
0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
解记A i表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2，
B表示事件：甲需使用设备，
C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C，
P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)
＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)
＝0.31.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为
P(X＝0)＝P(B·A0·C)
＝P(B)P(A0)P(C)
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)
＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)
＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
2 2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解)
(本小题满分15分)在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，
AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点.
(1)求证：BD ⊥EG ；
(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，又AE ⊥BE ， ∴BE ，EF ，AE 两两垂直，
以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴.
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，F (0，3，0)，
D (0，2，2)，G (2，2，0)，
∴EG →＝(2，2，0)，BD →＝(－2，2，2)，
∴BD →·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG .
(2)解 由已知得EB →＝(2，0，0)是平面DEF 的法向量，
设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) ，
∵ED →＝(0，2，2)，EG →＝(2，2，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
EG →
·n ＝0，
ED →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，
x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，1)，
设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，
则|cos 〈n ，EB →〉|＝n ·EB →|n |·|EB →|＝223＝
33，则cos θ＝3
3.
∴平面DEG 与平面DEF
所成锐二面角的余弦值为3
3.。