中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题

中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题
（含答案）
1．比较大小：sin60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．
2．Rt△ABC中∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，
∴∠A＝30°，∴tan30°＝．
3．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．
在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，
∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．
4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）
A．B．C．D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且点C不在射线AD上，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BDE的值为（）
A．B．C．D．
【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”说明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的长，最后在Rt △BDE中求出∠BDE的正弦．
【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．
在△ADE和△ABC中
∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，
∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．
∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．
∴sin∠BDE＝＝＝．
故选：C．
6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）
A．B．C．2D．
【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，
∴tan A＝＝＝，
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt △ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝＝＝3，
由旋转得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，
在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，
8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：设小车上升的高度是xm，
∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，
9．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，
过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，
由图可得：CD＝＝，CE＝＝，
＝4，
∵，即4＝，∴EF＝，
在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．
10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B的值为．
【解答】解：如图，连接格点A、D．
在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tan B＝；
11．如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE 的距离是（）cm（结果保留根号）
A．B．C．D．
【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，
∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），
在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD•sin60°＝8m，
∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE 翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝．
【解答】解：延长EF交BC于H，如图：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，
∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，
设DH＝x，则CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，
设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，
在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，
在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，
由①②联立方程组，解得x＝a，y＝3a，
∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，
13．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tan B＝，则DE＝cm．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，
∴tan B＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），
∵DE垂直平分线段AB，∴BE＝AE＝（cm），
∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，
∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），
14．（2022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，
解直角三角形的应用
15．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．
（1）求点B的高度BF；
（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）
【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由锐角三角函数定义求出DE和CG，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，
∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，
∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；
（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），
∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），
在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），
∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，
∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），
答：“新”字的高度CD约为13.4m．
16．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11米．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）
【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD ＝1米，
在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），
∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）
17．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC 为（）
A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+）米
C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+）米
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在△ABE中，∵tanα＝＝，
∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），
18．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）
19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，
∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，
设FC＝x，在Rt△MFC中，
∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，
∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，
∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，
∴MC＝2x＝4（米），
答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．
20．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．
（1）斜面AD的坡度i＝1：1；
（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．
【分析】（1）根据题意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，从而表示出DF，BF的长，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出关于x的方程，进行计算即可求出x的值，然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，
在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，
（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，
∵AC＝300米，BC＝500米，
∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，
∴DF＝EC＝（300﹣x）米，
∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，
∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，
∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，
在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），
在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），
∴AD+BD＝（100+200）米，
∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．
21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．
（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）
【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，
则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，
在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE•tan45°＝10（米），
∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），
∴大树BC的高约为12.7米．
22．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是24米．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
【解答】解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，
则BD＝AE＝600米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，
∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），
∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），
∴木棉树的高度CD是24米，
23．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）
【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，
在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，
∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，
∴小亮到地面的距离BC为27米，
24．如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．
（1）求∠C的度数；
（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．
由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；
（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），
在Rt△ABE中，BE＝AB•sin45°＝10（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，
∴BC＝2BE＝20（海里），
答：B处船与小岛C的距离为20海里．
25．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4cm．
[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，
∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），
∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，
26．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．
【分析】根据坡度定义直接解答即可．
【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，
∴BC＝4×2＝8（米），
27．（2022·深圳坪山区二模）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．
其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）
A．80m B．85m C．90m D．95m
【解答】解：过点C作CH⊥DN于H，
设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，
在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，
在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，
由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，
解得：x＝90，即AB＝90m，
28．如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°，∴平行四边形BCNM是矩形，
同理，四边形CEDN是矩形，∴ED＝CN＝1.7米，
∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，
∵，∴CE＝≈＝1（米），
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，
∵＝1，∴BE＝AE＝1.6（米），
∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），
答：B、C两点的距离约为0.6米．
29．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），
∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．。