高考数学压轴专题新备战高考《数列》全集汇编含答案解析

【高中数学】数学《数列》试卷含答案
一、选择题
1．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则
2020S 与2020a 的关系是（ ）
A ．2020202021S a =+
B ．2020202021S a =-
C ．2020202041S a =+
D ．2020202043S a =-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，
0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q ∴==，()20201202020201211a q S q
-=
=--，
因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
【答案】C 【解析】 【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴()()1119
13631.598
985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
, 解得113.5a =,1d =-,
∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
3．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111
n
a a a +++L 的值 A ．
1
n n
- B ．
1
n n
+ C ．
1
1n n -+ D ．
1
n n + 【答案】A 【解析】
分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111
n
a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，
则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以
1111
(1)1n a n n n n
==--- 所以
231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n
-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
4．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．
12
C ．
23
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
公差以及通项公式，代入解得11a .
【详解】
设等差数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭公差为d ，则
731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115
(3)11242424
n n n a a =+-⋅=+++ 11111115211242432
a a =+=∴=+，选B. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.
5．定义“穿杨二元函数”如：
(,)248n C a n a a a a =++++L 1444244
43个
.例如：()3,436122445C =+++=.若a Z +∃∈，满足(),C a n n =，则整数n 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．不存在满足条件的
n
【答案】B 【解析】 【分析】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=--,然后根据
(),C a n n =结合条件分析得出答案.
【详解】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=-- 由(),C a n n =，可得()
21n
a n -=.
当0n =时，对任意a Z +∈都满足条件. 当0n ≠时, 21
n
n
a =
-,由a Z +∈，当1n =时，1a =满足条件. 当2n ≥且n Z ∈时，设()21x
f x x =--，则()2ln 21x
f x '=-在2x ≥上单调递增. 所以()()24ln 210f x f ''>=->，所以()f x 在2x ≥上单调递增. 所以()()24120f x f >=-->，即当2n ≥且n Z ∈时，恒有21n n ->.
则()0,121
n
n
a =∈-这与a Z +∈不符合.所以此时不满足条件. 综上：满足条件的n 值为0或1.
故选：B 【点睛】
本题考查新定义，根据定义解决问题，关键是理解定义，属于中档题.
6．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线
的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O
点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
8．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =
C ．1024是三角形数
D ．123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，33
4
S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]
1,0- B ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]
0,1
【答案】B 【解析】
【分析】
先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】
由1220,a a += 33
4S =，得11211,,1232n
n a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值
1
2
， 所以12
21
a a ⎧
≤
⎪⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.
10．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）
A
．4B ．19 C ．20 D ．23
【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】
设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，
由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，2
12213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以3
7813271623a a d q +=++=+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A ．3 971
B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数，
设第2019个数在第n 组中，
则()
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9
C ．18
D ．27
【答案】D 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()
272
a a S ⨯+== 故选D.
13．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ）
A ．135
B ．141
C ．149
D ．155
【答案】D 【解析】 【分析】
利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】
解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，11
1111
[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以11
1
n n n n S S S S ---=
-，
所以2
=n S n ，
因为各项为正项，所以=n S
因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,
[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .
所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D 【点睛】
此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.
14．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论
①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-；
③数列{}1n a +为等比数列；
④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---.
其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2n
n S n =-，
根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】
因为121n n S S n +=+-， 所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，
又112S +=.
所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，
所以2n
n S n +=， 则2n
n S n =-.
当2n ≥时，1
121n n n n a S S --=-=-， 但11
121a -≠-，
所以①正确，②③错误，
因为1
222n n S n +=-，
所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.
15．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1
C ．3
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，
13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==，
335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()
183********
a a a a S ++=
==，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -=
=-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
17．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12a
C ．13a
D ．14a
【答案】A 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】
因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有
21
1521
S =得1115a =，
设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A.
【点睛】
一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）()1,1,2,,2
k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ； （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.
18．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715 【答案】B
【解析】
【分析】
计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N
*+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可
求得数列{}n a 的前2020项和.
【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，312
84a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=， 202036731=⨯+Q ，因此，
()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．设函数()221
x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）
A ．9
B ．11
C ．92
D ．112
【答案】B
【解析】
【分析】 先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】
()221
x f x =+Q ，()()()
22222212121221x
x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()
2122222211221x x x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，
则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，
两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．
20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A
【解析】
【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32
n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n =， 因为22485048+348503501224,132522
S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
21342
n n a +-=+ 因为2491149349412722
S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752
S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >
所以当1300n S =时，n 的最大值为49
故选：A
【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。