2020-2021学年数学北师大版必修4学案：2.3.1 数乘向量 Word版含解析

§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量,
知识点一 数乘向量
[填一填]
1.(1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ|·|a |. (3)方向：λa (a ≠0)的方向
⎩⎪⎨⎪⎧
当λ>0时，λa 与a 的方向相同.
当λ<0时，λa 与a 的方向相反.
特别地，当λ＝0或a ＝0时，0×a ＝0或λ×0＝0. (4)几何意义
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．
当|λ|>1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|<1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍．
(5)运算律
设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa ＋λb.
(6)向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，叫作向量的线性运算(或线性组合)．
[答一答]
1．向量的线性运算有哪几种？与以前学过的实数和代数式的运算有何联系和区别？
提示：(1)向量的加法、减法、实数与向量的积的运算称为向量的线性运算，即
(2)向量线性运算的结果是向量，实数运算的结果是实数，代数式的运算结果是代数式．它们的运算律形式上类似，意义却迥然不同．因此可类比实数，代数式运算的运算律来理解向量线性运算的运算律．注意：(1)数乘向量仍是一个向量，不要误认为是实数．
(2)0·a与0是相等的，都是向量0，而不是实数0.
知识点二向量共线的判定定理和性质定理
[填一填]
2．(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
[答一答]
2．向量共线的判定定理和性质定理有何应用？
提示：(1)判定定理的结论是a ∥b ，那么用向量共线的判定定理可以证明两向量共线，即证明向量a ∥b ，只需找到满足b ＝λa 的实数λ的值即可．
(2)判定定理的结论是a ∥b ，则有当OA
→＝a ，OB →＝b 时，有O ，A ，B 三点共线，即用向量共线的判定定理可以证明三点共线，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
(3)判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m ，n 平行或重合，即用向量共线的判定定理可以证明两条直线平行．
(4)性质定理的结论是b ＝λa ，则有|b |＝|λ|·|a |，当OA →＝a ，OB →＝b 时，|OB →|＝|λ|·|OA →|，从而OB ＝λOA ，即用向量共线的性质定理可以证明两平行线段间的长度关系．
1．从两个角度看数乘向量 (1)代数角度
①λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量； ②λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. (2)几何角度
①当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；
②当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍．
2．对数乘向量的运算律的两点说明
(1)数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数． (2)运算律λ(a ＋b )＝λa ＋λb 的几点说明
①当a ，b 中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立．
②若a ，b 都不等于0且λ≠1，λ≠0，
当λ>0且λ≠1时，如图， OA
→＝a ，AB →＝b ， OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ， OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb ， 由作法知AB →∥A 1B 1→，
所以|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OB 1→|＝λ|OB →|，
且OB 1→与OB →方向也相同，故有λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立． 当λ<0时，同理可证．综上，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立．
类型一 数乘向量的概念
【例1】 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)5a 的方向与a 的方向相同，且5a 的模是a 的模的5倍； (2)－4a 的方向与8a 的方向相反，且－4a 的模是8a 的模的12； (3)－12a 与1
2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．
【思路探究】 (1)在数乘向量λa 中，实数λ称为向量a 的系数． (2)实数与向量可以进行数乘运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广．
【解】 (1)∵5>0，∴5a 与a 同向． 又∵|5a |＝5|a |，∴5a 的模是a 的模的5倍， ∴命题(1)为真命题．
(2)∵－4<0，∴－4a 与a 的方向相反， 且4a |＝4|a |.
又∵8>0，∴8a 与a 的方向相同，且|8a |＝8|a |， ∴－4a 与8a 方向相反，且－4a 的模是8a 的模的1
2， ∴命题(2)为真命题．
(3)由数乘向量和相反向量的定义可知(3)是真命题． (4)∵a －b 与b －a 互为相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量， ∴命题(4)是假命题．
规律方法 我们可以把向量a 的长度伸长(当|λ|>1时)，也可以缩短(当|λ|<1时)，同时，我们可以不改变向量a 的方向(当λ>0时)，也可以改变向量a 的方向(当λ<0时)．
设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( C ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．λa |≥|a |
C ．a 与λ2a 的方向相同
D ．λa |＝|λ|a
解析：当λ>0时，a 与－λa 的方向相反，当λ<0时，a 与－λa 的方向相同，故A 不正确．
|λ|≥1时，λa |≥|a |，|λ|<1时，
λa |<|a |，故
B 不正确．
因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，C 正确．
λa |是实数，|λ|a
是向量，二者不相等，故D 不正确．
类型二 向量的线性运算
【例2】 化简下列各式： (1)23⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；
(2)(2λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋13e 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12λ－2μ(3e 1＋4e 2)．
【思路探究】 利用向量的加法、减法及向量的数乘运算法则、运算律计算．
【解】 (1)原式＝23⎝ ⎛
⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫52a －1112b ＝53a －11
18b . (2)原式＝(2λ＋μ)e 1＋1
3(2λ＋μ)e 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－2μe 1－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12λ－2μe 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋μ－32λ＋6μe 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ＋13μ－2λ＋8μe 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋7μe 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4
3
λ－253μe 2.
规律方法 数乘向量的运算律在形式上与实数的加、减法与乘法满足的运算律类似(当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的)．因此，在实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形技巧在向量的线性运算中都可以使用．在去括号时，要注意符号的变化．
若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n . 解：把已知中的两个等式看作关于m ，n 的方程，联立得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝311a ＋211b ，
n ＝111a －3
11b .
类型三 用已知向量表示未知向量
【例3】 如图，△ABC 的重心为G ，O 为△ABC 所在平面内一点，OA →＝a ，OB
→＝b ，OC →＝c ，试用a 、b 、c 表示OG →.
【思路探究】 要用a ，b ，c 表示OG
→，关键是建立OG →与a ，b ，c 的联系．注意到OG →＝OA →＋AG →，AG →＝23AM →，而2AM →＝AB →＋AC →，从而问题解决．
【解】 因为AB
→＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA →＝c －a ，M 为BC 的中点，则AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(b ＋c －2a )．又G 为△ABC 的重心，所以AG →＝23AM →＝1
3(b ＋c －2a )．
OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(b ＋c －2a )＝13(a ＋b ＋c )．
规律方法 正确运用向量的加法、减法、向量数乘的运算法则是解决本题的关键．另外，用OG
→＝AG →－AO →也可以求出结果．
如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA
→＝b .试求AD →，BE →，CF →(用a ，b 表示)．
解：AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a . BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b .
CF →＝CA →＋12AB →＝CA →＋12(AC →＋CB →) ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a .
类型四 向量共线定理的应用
【例4】 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB
→，则x ＋y ＝________. 【解析】 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB
→，AP →在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数λ使AP
→＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA
→)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 【★答案★】 1
规律方法 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a ，b 为由这三点构成的任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．
已知非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 解：(1)证明：∵AB
→＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →、BD →共线， 又∵它们有公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，
只能有⎩⎪⎨⎪⎧
k －λ＝0，
λk －1＝0，
则k ＝±1.
——规范解答——
利用平面图形的性质解决向量问题
【例5】 点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC
→＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →. 【审题】
【解题】 如图，取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，
在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a ，
在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线， 所以PF →＝12AD →＝－12b ，
在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )． 【小结】 1.灵活作辅助线
平面几何图形中灵活、准确地作出辅助线往往是解题的突破口，如本例，灵活地作出辅助线，建立向量间的联系是解答本例的关键．
2．三角形中位线性质的灵活应用
解题时，正确应用几何图形的性质，是解题的保障，如本例，若不能利用三角形中位线的性质，则不能得到向量PE →，PF →与已知向量的关系，将会造成解题的障碍．
如图所示，点E 在△ABC 的边BC 上，且CE ＝3EB ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AE
→.
解：因为CE ＝3EB ，所以BE →＝14BC →.又因为BC →＝AC →－AB →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b .
一、选择题
1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( B ) A ．a －2b B ．－2b C ．0
D ．b －a
2．已知λ，μ∈R ，下面式子正确的是( C )
A ．λa 与a 同向
B ．0·a ＝0
C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa
D ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |
解析：当λ<0时，λa 与a 反向，A 错；0·a ＝0，B 错；若b ＝λa ，则|b |＝|λ||a |，D 错．
3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB → B.13AB →
C ．－13AB →
D ．2AB → 解析：如图，AC
→＝3AB →，∴BC →＝2AB →.
二、填空题
4．如图，已知点C 在线段AB 上，且|BC →|＝2|AC →|，则AC →＝13AB →，AB →＝－32BC →
.
5．已知向量e 1，e 2不共线，且e 1－2e 2＝λe 1＋4k e 2，则实数λ＝1，k ＝－12.
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝1，
4k ＝－2，∴⎩
⎨⎧
λ＝1，
k ＝－1
2
.
三、解答题
6．证明：如图，向量OA
→，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得：OC
→＝λOA →＋μOB →；反之，也成立．
证明：若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，故存在实数m ，使得BC
→＝mAB →. 又BC →＝OC →－OB →，AB →＝OB →－OA →，故OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，OC →＝－mOA
→＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则存在λ，μ且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →. 若OC
→＝λOA →＋μOB →，其中λ＋μ＝1， 则μ＝1－λ，OC
→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 从而有OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，所以A ，B ，C 三点共线， 即向量OA →，OB →，OC →的终点在一条直线上．
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