2019-2020学年河南省南阳市邓州第六高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2019-2020学年河南省南阳市邓州第六高级中学高一数
学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{a n}中，a5＝1，a8＋a10＝16，则a13的值为
（A）27 （B）31 （C）30 （D）15
参考答案：
D
2. 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）
A.(8,10)
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围。

【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，
只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，
由于，解得，故选：C。

【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
为锐角；为直角；为钝角.
3. 函数的零点所在的一个区间是（）
A.(－2, －1)
B.(－1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
参考答案：
B
函数f（x）=2x+3x是连续增函数，
∵f（-1）= ,
f（0）=1+0＞0
∴函数的零点在（-1，0）上，故选：B
4. 若是常数，函数对于任何的非零实数都有，且
，则不等式的解集为( )
A． B． C．D．
参考答案：
A
略
5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+n（n≥1），则数列{}的前n项和等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
6. 设是上的奇函数，，当时，，则
等于( )
A、0.5
B、
C、1.5
D、
参考答案：
B
略
7. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐
标原点的距离大于2的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
8. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).
A.至少有一个黒球与都是黒球
B.至少有一个黒球与恰有1个黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球
D.恰有个黒球与恰有2个黒球参考答案：
D
略
9. 已知均为锐角，且满足，则与的关
系（）
参考答案：
解析：．
由题设：．
∴ ．
∴ ．
10. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1+x）=f（3﹣x），当x≥1时，f（x）单调递增，则关于θ不等式的解范围（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】根据条件判断函数的对称性，结合三角函数的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（﹣1+x）=f（3﹣x），
∴函数关于=1对称性，
∵log82=log82===，
∴不等式等价为f（sin2θ）＜f（），
∵当x≥1时，f（x）单调递增，
∴当x＜1时，f（x）单调递减，
则不等式等价为sin2θ＞，
即2kπ+＜2θ＜2kπ+，k∈Z．
则kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．
故不等式的解集为（kπ+，kπ+），k∈Z．
故选：A
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数对称性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数且的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则___________．
参考答案：
27
12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．
参考答案：
3:1:2
13. 已知实数满足，则的最大值为．
参考答案：
4
14. , 设△ABC 的内角A满足，且，
则BC边上的高AD 长的最大值是________.
参考答案：
【分析】
通过已知条件可求出A角，bc乘积，于是可求得面积，利用余弦定理与基本不等式可得到a的最小值，于是再利用面积公式可求得答案.
【详解】根据题意，,故，求得，
,故，根据余弦定理得，即
，即而三角形面积为
，所以边上的高长的最大值是，故答
案为.
【点睛】本题主要考查解三角形，基本不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.
15. 函数的定义域为______________．
参考答案：
略
16. 已知直线l过点，，则直线l的倾斜角为______.
参考答案：
【分析】
根据两点求斜率的公式求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.
【详解】依题意，故直线的倾斜角为.
【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
17. 已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））= ．
参考答案：
3
【考点】函数的值．
【分析】由分段函数先求出f（﹣2）=，由此能求出f（f（﹣2））的值．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=，
f（f（﹣2））=f（）=1﹣=1﹣（﹣2）=3．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域为A，函数的值域为B，
（1）求集合A、B，并求；
（2）若C＝，且，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）∵A＝＝A＝…………2分
∵∴∴B＝…………4分
∴＝………………6分
（2）∵C＝，且∴，
……………………10分
19. 已知函数f（x）=b+log a x（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．
参考答案：
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】（1）由已知得b+log a8=2，b+log a1=﹣1，从而求解析式即可；
（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，即可求实数x的值；
（3）化简g（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1，从而利用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）由已知得，b+log a8=2，b+log a1=﹣1，（a＞0且a≠1），
解得a=2，b=﹣1；
故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；
（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，
∴log2x﹣1=0或3，
∴x=2或16；
（3）g（x）=2f（x+1）﹣f（x）
=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1≥1，
当且仅当x=，即x=1时，等号成立）．
于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．
【点评】本题考查了对数的运算及对数函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．20. 如图所示，在梯形ABCD中，∥，⊥，，PA⊥平面ABCD，⊥．
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）若，求点B到平面PAC的距离．
参考答案：
（1）见解析（2）
【分析】
（1）通过⊥，⊥来证明；（2）根据等体积法求解. 【详解】（1）证明：∵⊥平面，平面，
∴⊥.
又⊥，，平面，平面，
∴⊥平面.
（2）由已知得，所以
且由（1）可知，由勾股定理得
∵平面
∴=，
且
∴，
由，
得∴
即点到平面的距离为
【点睛】本题考查线面垂直与点到平面的距离. 线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.
21. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正数p，q都有
，当x＞4时，f（x）＞，且f（）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）抽象函数常用赋值法求解；
（2）=﹣=﹣．按照单调性的定义，任取0＜x1＜x2，则f （x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣1=
﹣，
由于＞4，可得﹣＞0，即可证明．
（3）解抽象函数的不等式，常化为f（m）＞f（n）的形式，然后结合单调性求解．【解答】（1）解：，∴，
∴，
解得f（2）=1．
（2）证明：=﹣=﹣．
任取0＜x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）=﹣=﹣=+﹣
1=﹣，
∵＞4，∴﹣＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）﹣=1+1﹣=．
f（x）+f（x+3）=f（x2+3x）+＞2．
∴，
∴，解得x∈（1，+∞），
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
【点评】本题考查了抽象函数的求值与单调性、不等式的性质，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．
22. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm与
195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组
[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方
图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中
位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的
所有男生中随机抽取两名男生，记他们
的身高分别为事件
{}，事件
{}，求．
参考答案：
解：
（1）第六组的频率为,
所以第七组的频率为
；
（2）身高在第一组[155,160)的频率为，
身高在第二组[160,165)的频率为，
身高在第三组[165,170)的频率为，ks5u
身高在第四组[170,175)的频率为，
由于，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则
由得
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
（3）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人,
设为,则有共15种情况，
因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件包含的基本事件为共7种情况，
故
．
由于，所以事件{}是不可能事件，
由于事件和事件是互斥事件，所以
略。