2019届天津市滨海新区高三毕业班质量监测数学(文)试题(解析版)

2019届天津市滨海新区高三毕业班质量监测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}{}
1
0120A B x x ->，，，，，则A B =（ ）
A ．{}012，
， B ．{}12， C ．{}1
0-， D ．{}1-
【答案】B
【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】 依题意{}1,2A B =，故选B.
【点睛】
本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题.
2．若x y ，满足约束条件10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．7-
D ．3-
【答案】C
【解析】画出可行域，向上平移基准直线30x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3z x y =-在点()2,3A 处取得最小值为
2337-⨯=-.故选
C.
【点睛】
本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
3．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】
由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入9n =，则输出S 的值为（ ）
A ．
8
9
B ．
910
C ．
1011
D ．
1112
【答案】B
【解析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的S 的值. 【详解】
输入9n =，0,1S i ==，判断是，1,212S i ==⨯，判断是，11,31223S i =+=⨯⨯，判断是，……，依次类推，111,101223910
S i =
+++=⨯⨯⨯，判断否，输出1111223910S =+++⨯⨯⨯1111119112239101010
=-+-++-=-=.故选B.
【点睛】
本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题. 5．已知函数()f x x =，且()1
231ln log 223a f b f c f -⎛
⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<
【答案】A
【解析】根据函数()f x 为偶函数化简b ，比较自变量的大小，然后根据函数的单调性判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】
由于函数()f x 为偶函数，故()2
21log log 33b f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.而1
12231
ln ln 21log 322
e -<==<<，而当0x >时，函数()
f x 为增函数，故a c b <<.所以本小题选A. 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查指数式和对数式比较大小，属于中档题.
6．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A B ，两点，OAB ∆的面积为
3
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
3 C ．
2
D ．
3
【答案】D
【解析】令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的
关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=±
OAB 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=
可得3
c e a ====
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题． 7．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23
x π
=
时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，
上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，
上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，
上是增函数 【答案】B
【解析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】
由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω=
=，即()1sin 2f x x φ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由
π1ππ2π2π2262k x k -
≤+≤+，解得4π2π
4π4π33
k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故B 选项正确.所以本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
8．已知函数()22211
315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩
，若关于x 的方程()1
02f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A
．(220625
⎛⎤
⋃-- ⎥⎝
⎦
，，
B
．(110325
⎛⎤
⋃-- ⎥⎝
⎦
，，
C ．(
](013⋃--，
， D ．(
](026⋃--，
， 【答案】A
【解析】画出函数()f x 与1
2
y kx =的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数k 的取值范围. 【详解】
画出函数()f x 与12y kx =的图像如下图所示，其中115,5A ⎛⎫
⎪⎝⎭
,由图可知，当
(]1
0,2
OA k k ∈时，两个函数图像有两个不同的交点.
11
115525
OA k ==，故111220,,0,22525k k ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.注意到()1,2OA OD k k k ∈，即11122,1,,222525k k ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D 三个选项.故本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题
9．已知复数z 在复平面内对应点是()1
2-，，i 为虚数单位，则2
1
z z +=-_______. 【答案】312
i +
【解析】写出z 对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论. 【详解】
依题意12z i =-，故原式()()()()
32232463
122242i i i i i i i i --+====+--. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题. 10．已函数()()2sin f x x x =-，则()f x 在点22f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，处的切线方程为______. 【答案】0x y -=
【解析】先求得切点坐标，然后求得函数的导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程. 【详解】 依题意ππππ2sin 2222f ⎛⎫⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故切点为ππ,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()()'2sin cos 2sin cos f x x x x x x x =-+-=--，所以'π2112f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
.由点斜式
得ππ
,022
y x x y -
=--=. 【点睛】
本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.
11．已知直线y ax =与圆222220:x y ax y C +--+=相交于A B ，两点（C 为圆心），且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.
【答案】【解析】根据三角形ABC
为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的2
，由此列方程，解方程求得 a 的值. 【详解】
由于三角形ABC 为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离等于半径的
2
.直线的一般方程为0ax y -=，圆的方程为()()2
2
211x a y a -+-=-，圆心为(),1a
，半径为
)1a >.
2
=
a =. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题. 12．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱与底面边长均为2，则该三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】
283
π 【解析】先找到球心的位置，然后计算出球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】
画出图像如下图所示，设B是底面的外心，则球心在其正上方，也即BC中点O的位置.
故外接球的半径r OA
====故外接球的表面积为2
728
4π4ππ
33
r=⨯=
.
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.
13．已知x y
，为正实数，则
2
2
x x y
x y x
+
+
+
的最小值为_________.
【答案】
3
2
+
【解析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.
【详解】
原式
1
2
2
1
y
y x
x
=++
+，令
y
t
x
=>，则上式变为
1
2
12
t
t
++
+
()
113
12
1222
t
t
=+++
+
33
22
≥=+
()
111
12,
1222
t t
t
-
=+=
+
时等号成立，故最小值为
3
2
+.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14．如图，在梯形ABCD ，432AB CD AB AD CD ===∥，，，，32
AB AD ⋅=
，AM AD λ=，()()01λ∈，
，且3AC BM ⋅=-，则λ的值为______.
【答案】
2
3
【解析】将3AC BM ⋅=-转化为用,AB AD 来表示，解方程求得λ的值. 【详解】 依题意
()
132AC BM AD AB AD AB λ⎛⎫
⋅=+-=- ⎪⎝⎭
,
22111322AD AB AD AB λλ⎛⎫
+-⋅-=- ⎪⎝⎭
，解得23λ=.
【点睛】
本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
15．为了调查居民对城市共享单车的满意度，随机选取了100人进行问卷调查，并将问卷中的100人根据其满意度评分值按照
[)[)[)[)[)506060707080809090100，，，，，，，，，
分为5组，得到号如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求满意度分值不低于70分的人数.
（Ⅱ）已知满意度分值在[)5060，
内的男性与女性的比为3：4，为提高共享单车的满意度，现从满意度分值在[)5060，
的人中随机抽取2人进行座谈，求这2人中只有一位男性的概率.
【答案】（Ⅰ）73人（Ⅱ）()4
7
P M =
【解析】（I ）计算出70分以上的频率，然后乘以100得到所求的人数.（II ）先求得[)50,60内的人数为7人，其中男性3人，女性4人，利用列举法和古典概型概率计算公式计算出所求的概率. 【详解】
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知满意度分值不低于70分的人数为： ()0.0350.0300.0081010073++⨯⨯=（人）， ∴满意度分值不低于70分的人数为73人.
（Ⅱ）[)5060，
的样本内共有居民0.007101007⨯⨯=人，3名男性，4名女性， 设三名男性分别表示为A B C ，，，四名女性分别表示为D E F G ，，， 则从7名居民随机抽取2名的所有可能结果为：
{}{}{}{}{}{}A B A C A D A E A F A G ，，，，，，，，，，， {}{}{}{}{}B C B D B E B F B G ，，，，，，，，， {}{}{}{}C D C E C F C G ，，，，，，， {}{}{}D E D F D G ，，，，， {}{}E F E G ，，， {}F G ，，共21种.
设事件M 为“抽取2人中只有一位男性”，则M 中所含的结果为：
{}{}{}{}A D A E A F A G ，，，，，，， {}{}{}{}B D B E B F B G ，，，，，，， {}{}{}{}C D C E C F C G ，，，，，，，
共12种
∴事件M 发生的概率为()124
217
P M ==. 【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图计算频率和频数，考查列举法求解古典概型问题，属于中档题.
16．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，
()
cos cos 0C a B b A c ++=.
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若2a b =
=，求()sin 2B C -的值.
【答案】（Ⅰ）34C π=
（Ⅱ）10
-
【解析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】
解：（Ⅰ()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=
sin sin 0C C C +=，∴cos 2
C =-，∵0C π<<，∴34C π=
（Ⅱ）因为2a b =
=，34
C π
=
，由余弦定理得
2222cos 242210
2c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，∴c =
由
sin sin sin c b B C B =⇒=
，因为B 为锐角，所以cos B =
4sin 225
B ==，22
3cos 2cos sin 5B B B =-=
()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，
2PA PB AB BC PC =====，点E 为AB 的中点，AC 与BD 交于点O .
（Ⅰ）求异面直线PC 与AD 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PCE ABCD ⊥平面平面； （Ⅲ）求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）
3
（Ⅱ）见证明；（Ⅲ【解析】（I ）根据//AD BC 判断出PCB ∠是异面直线成角，判断三角形PBC 是直角三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II ）先证得PE AB ⊥,然后证得PE EC ⊥，由此证得PE ⊥平面ABCD ，从而证得平面PCE ⊥平面ABCD .（III ）过点A 作
AH EC ⊥与EC 的延长线交于点H ，证得APH ∠直线PA 与平面PCE 所成角，在Rt APH ∆中，求得线面角的正弦值.
【详解】
解：（Ⅰ）∵ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴PCB ∠是异面直线成角
在PBC ∆中，2PB PC BC ==
=， ∴在Rt PBC ∆中，
cos BC PCB PC ∠=
=
∴
（Ⅱ）∵2PA PB AB ===，点E 为AB 的中点∴PE AB PE EC ⊥==，
又∵PC =
∴PE EC ⊥
又∵AB EC E AB CE ABCD ⋂=⊂，，面，∴PE ABCD ⊥面 又∵PE PCE ⊂面∴PCE ABCD ⊥平面平面 （Ⅲ）过点A 作AH EC ⊥与EC 的延长线交于点H ， ∵AH PCE ⊥平面，PH 为斜线PA 在面PCE 内的射影
∴APH ∠直线PA 与平面PCE 所成角 在Rt APH ∆
中，2AH AP =
=
∴sin AH APH AP ∠==
∴直线PA 与平面PCE
【点睛】
本小题主要考查线线角余弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S (
)*
n N
∈，{}n
b 是首项为1
2
的等比数列，且公比大于0，2343198317b b b a a S b +==-=+，，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求{}2n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）221
2n n n a n b -=-=（Ⅱ）()655499
n
n n T -=
+ 【解析】（I ）根据基本元的思想列方程，解方程求得1,,q a d 的值，由此求得数列,n n a b 的通项公式（II ）利用错位相减求和法求得数列的前n 项和n T . 【详解】
解：（1）∵2311
32
b b b +==
，∴2q =或3-（舍） ∵431b a a =- ∴2d = 又∵9817S b =+ ∴5981a =∴11a = ∴221
2n n n a n b -=-=
（2）()()22
12212
214n n n n a b n n --=-=- ()0121143454214n n T n -=⋅+⋅+⋅++-
()()12141434234214n n n T n n -=⋅+⋅+
+-+-
()()2313124444214n n n T n --=+++++--
()()141412
21414
n n n --=+---
∴()655499
n n n T -=
+
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
19．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>
的左焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆
的短轴长为2，12F F ，分别为椭圆的左，右焦点，A B ，分别为椭圆的左，右顶点，设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C ，直线PA 的斜率为k . （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求k 的值； （Ⅲ）设点N 为AC 的中点，射线NO （O 为原点）与椭圆交于点M
，满足
6AMC MA MC
∠=
⋅，求k 的值.
【答案】（Ⅰ）22
14x y +=（Ⅱ）()
04k k =>（Ⅲ）6
k = 【解析】（I ）根据抛物线的准线求得c ，根据短轴长求得b ，由此求得a ，进而求得椭圆方程.（II ）设出直线PC 的方程，联立直线PC 的方程和椭圆方程，求得C 点的坐标，令2x =求得P 点坐标.利用三角形的面积公式计算出AOC ∆和PBC ∆的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得k 的值.（III ）根据（II ）求得N 点坐标，由此求得ON 的斜率，设NO 所在直线方程为1
4y x k
=-
，代入椭圆方程，求得M 点坐标，计算出M 到直线
ON 的距离d ，AC 的长度，化简
6AMC MA MC
∠=
⋅得到AMC S ∆=
，利用1
2
AMC S AC d ∆=
⋅列方程，解方程求得
k 的值. 【详解】
解：（Ⅰ）由已知得，1c b ==，故2a =，椭圆方程为：2
214
x y +=，
（Ⅱ）设PC 直线方程为
()22
(2)2,14
y k x y k x x y =+⎧⎪=+⎨+=⎪⎩∴()
2222
41161640k x k x k +++-=
∴()22161244c k x k --=+∴22
82
41
c k x k -+=+ ∴2
441c k
y k =+，令2x =∴()24P k ， ∴22
144224141
AOC k k
S k k ∆=⨯⨯=++ ∴2322128324224141PBC
k k S k k k ∆⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪++⎝
⎭ ∵PBC AOC S S ∆∆=
∴)04
k k =
> （Ⅲ）由（II ）和中点坐标公式，得222
82,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设NO 所在直线方程为1
4y x k
=-
，则 22444
x y k x y ⎧
=-⎪⎨⎪+=⎩，∴22
21641k x k =+
∴M ⎛⎫， M 到直线NO
的距离：2
41
d AC k =
=+，
6
AMC MA MC
∠=
⋅，
6
cos MA
MC AMC =
⋅∠
即
AMC S ∆=
，
AMC
S
∆==
4k =， ∵0k >，∴6
k =. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题. 20．已知函数()3
2
4x a x f x x =-++.
（Ⅰ）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的()0x ∈+∞，
，()()ln 8f x f x x +-+≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-.证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点.
【答案】（Ⅰ）40x y -+=（Ⅱ）1e
⎛
⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
，
（Ⅲ）见证明 【解析】（I ）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II ）将原不等式分离常数，得到2max 4ln 2x a x ⎛⎫-
⎪⎝⎭≥恒成立，构造函数()2
4ln 0x
v x x
x =>，，利用导数求得函数()v x 的最大值，由此求得a 的取值范围.（III ）先求得()g x 的表达式，然后利用导数证得()
g x 在()0-∞，
上有一个零点.再利用导数证得()g x 在()0,∞+上没有零点，由此得证. 【详解】
解：（Ⅰ）已知函数()3
2
4x a x f x x =-++，
可得2()321(0)1f x x ax f ''
=-+=，，且(0)4f =，
函数()f x 在0x =处的切线方程为40x y -+=.
（Ⅱ）()()2
24ln 8f x f x ax x +-=-++8≥对任意()0x ∈+∞，
恒成立，所以2max
4ln 2x a x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭≥.
令()24ln 0x v x x
x =>，，则()2
43
12ln 12ln 44x x x
x x v x x x '⋅--=⋅= 令()'
0v x =
，解得x =
当时(
0x ∈时，()'0v x >，所以()v x
在(
0上单调递增；
当)x ∈+∞时，()'
0v x <，所以()v x
在)
+∞上单调递减.
所以(
)max 2
v x v
e ==
， 所以22a e
-≥，即1a e
≤-，所以a 的取值范围为1e
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
，. （Ⅲ）证明：由已知3a =，则()()3
2
314x x x g x k =-+-+.且可知10k ->.
当0x ≤时，()2
3610g x x x k '
=-+->，()g x 单调递增，()110g k -=-<，
()04g =，所以()0g x =在()0-∞，有唯一实根.
当0x >时，令()3
2
34x x h x =-+，则
()()()()1g x h x k x h x =+->.()2()3632h x x x x x '=-=-，()h x 在()0,2单调递
减；在()2+∞，
单调递增.所以()()()20g x h x h >=≥.所以()0g x =在()0+∞，没有实根.
综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点. 【点睛】
本小题主要考查切线方程的求法，考查利用分离常数法求解不等式恒成立问题，考查利用导数证明有关函数零点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.。