2018通州上学期初3期末考试题

A B 北京市通州区2017-2018学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷2018.1
（时间：90分钟满分：100分）
一、 选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若反比例函数的图象经过点()2,3-，则该反比例函数的表达式为（ ）
A. x y 6=
B. x y 6-=
C. x y 3=
D. x
y 3-= 2．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A ．6π
B ．π
C ．3
π D ． 32π 3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为（ ）.
A ．m 5
B ．m 7
C ．m 5.7 D
．m 21
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则B
C D ∠的度数为（ ）
A ．︒25
B ．︒30
C ．︒35
D ．︒40
5. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，ac b 42
-=∆，则下列四个选项正确的是（ ）
A ．0<b ，0<c ，0>∆
B ．0>b ，0<c ，0>∆
C ．0>b ，0<c ，0>∆
D ．0<b ，0>c ，0<∆
6. 如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ）
A. 3
B. 32
C. 6
D. 34
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上.则A ∠cos 的值为（ ）
A. 552
B. 2
C. 5
5 D. 21
8. 如图，在ABC Rt △中，︒=∠90A ，4==AC AB .点E 为ABC Rt △边上一点，以每秒1单位的速度从点C 出发，沿着B A C →→的路径运动到点B 为止.连接CE ，以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，⊙C 与线段BC 交于点D .设扇形DCE 面积为S ，点E 的运动时间为t .则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S 关于运动时间t 的变化趋势的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9.请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数表达式 .
10. 已知点()11,y x ，()22,y x 在反比例函数x
y 2=
上，当021<<y y 时，1x ，2x 的大小关系是____________.
11. 如图，角α的一边在x 轴上，另一边为射线OP .则._______tan =α
12. 如图，点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则.____________=AC
13.如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.
14. 二次函数c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，由图象可知，不等式02
<++-c bx x 的解集为___________________.
y x
15. ⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为______________.
16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下： 老师说：“小霞的作法正确．”
请回答：小霞的作图依据是 ．
求作： BAC ∠的角平分线AP . （1） 如图，在平面内任取一点O （2）
以点O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线（3）
连接DE ，过点O 作射线
所以射线AP 为所求.
三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23,24题每小题7分，25题8分，共52分）
17．计算：︒+︒-︒⋅︒453046030tan sin tan cos ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0≠+=k b kx y 与反比例函数
()0≠=m x m y 交于点⎪⎭
⎫ ⎝⎛--2,23A ，()a B ,1． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据函数图象，直接写出不等式
的解集．
19．如图，ABC △内接于⊙O .若⊙O 的半径为6，︒=∠60B ，求AC 的长．
x m b kx >+
20. 如图，建筑物的高CD 为17. 32米.在其楼顶C ，测得旗杆底部B 的俯角α为︒60，旗杆顶部A 的仰角β为︒20，请你计算旗杆的高度.（342.020≈︒sin ，364.020≈︒tan ，940.020≈︒cos ，732.13≈，结果精确到0.1米）
21. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD . 已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边x AB =米，面积为S 平方米.
（1）请写出活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；
（2）当AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
22. 如图，ABC △是等腰三角形，AC AB =，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值．
23. 如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边中点，点F 为BC 边中点；点G ，H 为AB 边三等分点，I ，J 为CD 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形GKLH 的面积与图3中四边形KPOL 的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下
图1 图2 图3 在图2中，小瑞发现， ABCD GKLH S S _______
=； 在图3中，小瑞对四边形KPOL 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整： 设a S DEP =△，b S AKG =△
∵AF EC ∥
∴DAK DEP ∽△△，且相似比为2:1，得到a S DAK 4=△
∵BI GD ∥
∴ABM AGK ∽△△，且相似比为3:1，得到b S ABM 9=△
又∵ABCD DAG S b a S 614=+=△，ABCD ABF S a b S 4
19=+=△ ∴a b b a S ABCD 436624+=+=
∴b a ____=，b S ABCD _____=，b S KPOL _____=
∴ABCD KPO L S S _____=，则G KLH KPO L S S ____（填写“>”，“<”或“=”）
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD 对边上的点.则ABCD ANML S S _____=.
图4
24. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()0122>+-=a ax ax y 的对称轴为b x =．点()m A ,2-在直线3+-=x y 上.
（1）求m ，b 的值；
（2）若点()23，D 在二次函数()0122>+-=a ax ax y 上，求a 的值；
（3）当二次函数()0122>+-=a ax ax y 与直线3+-=x y 相交于两点时，设左侧的交点为()11,y x P ，若131-<<-x ，求a 的取值范围．
25.点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时：
（1）若点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；
（3）直线()03
3>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.
备用图 备用图
2017-2018学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1-5BDBCA6-8DCA
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9 y=2（x+1）2（答案不唯一）．
10．x1＞x2．
11．
12．．
13．（1）∠BAC=∠BCA；（2）∠DAF=∠ADE．
14．x＜﹣1或x＞5．
15．45°或135°．
16．（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．
三、解答题（共9小题，满分52分）
17．（5分）
解：原式=×﹣4×+1
=﹣2+1
=．
18．（5分）
【解答】解：（1）∵点A（﹣，﹣2）在函数y=上，
∴m=﹣×（﹣2）=3，
∴y=，
∵点B（1，a）在y=上，
∴a=3，
∵直线y=kx+b经过A（﹣，﹣2），B（1，3），
∴，
解得，
∴直线解析式为y=2x+1．
（2）观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣＜x＜0或x＞1．19．（5分）
【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD=90°．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD=12．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=6．
∴AC=6．
【点评】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．
20．（5分）
【解答】解：根据题意，再Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，
∴CE=≈=10米，
再Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，
∴AE=CE•tan20°≈10×0.364=3.64米，
∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0米，
答：旗杆的高约为21.0米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（5分）
【解答】解：（1）根据题意知AB=x，BC=80﹣2x，
∴S=x（80﹣2x）=﹣2x2+80x，
又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，
解得15≤x＜40，
∴S=﹣2x2+80x （15≤x＜40）；
（2）∵S=﹣2x2+80x
=﹣2（x﹣20）2+800，
∴当x=20时，S最大值为800，
答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题．
22．（5分）
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AC为圆的直径，
∴∠ADC=90°，AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D为BC的中点，
∵点O为AC的中点，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）解：∵r=2，
∴AB=AC=2r=4，
∵BE=1，
∴AE=AB﹣BE=3，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴==，
设CF=x，则有OF=x+2，AF=x+4，
∴=，
解得：x=2，
∴AF=6，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
则cosA==．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（7分）
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，
∴b==1．
∵点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上，
∴m=2+3=5；
（2）∵点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，
∴2=a×32﹣2a×3+1，
∴a=；
（3）∵当x=﹣3时，y=﹣x+3=6，
∴当（﹣3，6）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6=a×（﹣3）2﹣2a×（﹣3）+1，∴a=．
又∵当x=﹣1时，y=﹣x+3=4，
∴当（﹣1，4）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4=a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1，∴a=1．
∴＜a＜1．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
24．（7分）
=S四边【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S
四边形GKLH
；
形ABCD
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
=a，S△AKG=b．
设S
△DEP
∵EC∥AF．
=4a．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S
△DAK
∵GD∥BI，
=9b
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S
△ABM
=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．
又∵S
△DAG
=24a+6b=36b+4a．
∴S
四边形ABCD
=42b，四边形KPOL=6b．
∴a=b，S
四边形ABCD
=S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH．
∴S
四边形KPOL
故答案为，，42，6，，＜．
=a，S△AEN=b．（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S
△AGL
∵GL∥PH，
=4a，
∴△△AGL∽△AHP，相似比为1：2，得到S
△AHP
∵AT∥CD，
∴∠T=∠ECD，
∵∠AET=∠CED，AE=ED，
∴△AET≌△DEC，
∴AT=CD，
∵AT∥CJ，
∴==，
∴=，
=b，
可得S
△DNJ
=4a+b=S四边形ABCD，S△ADJ=b=S四边形ABCD，
∴S
△ABF
∴16a+b=20b，
∴a=b，
=（20b﹣8a﹣b）=4b，
∴S
四边形ANML
=20b，
∴S
四边形ABCD
=S四边形ABCD．
∴S
四边形ANML
故答案为．
【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判
定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（8分）
【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，所以d c=1，d p=4；
故答案为1，4；
（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，
∵点P在直线y=2x+2上，∴可以假设P（a，2a+2），
∵PO=1，
∴a2+（2a+2）2=1，
解得a=﹣1或﹣，
∴满足条件的点P的横坐标为﹣1或﹣．
（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，
当线段与外环相切时，可得b=，
当线段于内环相切时，可得b=，
所以满足条件的b的值：≤b＜．
【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题．。