四川省巴中市奇章中学高三数学3月月考试题 理 新人教A版

巴中市奇章中学高2014届毕业班3月月考水平测试
数学（理科）试卷 2014.3.7 第I 卷 选择题(共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集U={
}
6<∈*
x N x ，集合A={1,3}，B={3,5}，则U ()C A B ⋃= A ．｛0，4｝ B ．｛1，5｝
C ．｛2，4｝
D ．｛2，5｝
2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则
5
2
S S = A ．11 B ．5 C ．8- D ．11- 3．在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为
A ．
2
B ．1 C
．2
4. 阅读右图所示的程序框图．若输入a ＝6，b ＝1， 则输出的结果是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加高考体检志愿服务，如果要求至少有1名女生，
那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48
6．函数()2
1
x
f x x =
+的图象大致是
7．已知非空集合M 和N ，规定{}
M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于
A ．M N
B ．M N
C ．M
D ．N
8．任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足22a b -≤的概率为
A ．
18 B ．14 C ．34 D ．78
9．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A ．=a b B ．a b C ．⊥a b
D ．λ=a b
()0λ>
10．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2
n n n a a ++π-=，记n
S
为数列{}n a 的前n 项和，
则2014S =
A ．1006
B ．1007
C ．1008
D ．1009
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11. 复数
1312i
i
-+=+ .
12.样本容量为1000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算x 的值 为 ，样本数据落在[)6,14内的频数为 ．
13.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .
C
第13题图 第14题图 14.如图所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ． 15．已知数列{n a }中，1a =
，[n a ]表示n a 的整数部分，(n a )表示n a 的小数部分，
1n a +=[n a ]+
)
(n a 1( n ∈N *
)，则n a =____________；数列{n b }中，1b =1，2b =2， 221
++⋅=n n n b b b ( n ∈N *
)，则
∑=n
i i
i b
a 1
=_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．（本小题满分12分）
已知函数()22sin sin()2
f x x x x π
=+⋅+
.
(I)求()f x 的最小正周期 ，最大值以及取得最大值时x 的集合.
(II) 若A 是锐角三角形ABC ∆的内角，()05,7,f A b a ===，求ABC ∆的面积.
17．（本小题满分12分）
如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，
PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，
2NC =，M 是线段PA 上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；
（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；
（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．
18．（本小题满分12分）
在巴中广播电视总台承办的青春校园主持人风采大赛中，每个参赛选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正
第17题图
确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
56、45、34、1
3
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．
19.（本小题满分12分）
已知a 为实数，数列{}n a 满足1a a =，当2n ≥时，111
13(3)4(3)
n n n n n a a a a a ----->⎧=⎨
-≤⎩，
（Ⅰ）{}100100100a a S =n 当时，求数列的前项的和；(5分) （Ⅱ）证明：对于数列{}n a ，一定存在*
k N ∈，使03k a <
≤
20.（本小题满分13分）
如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M （3，1）.平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点. （I ） 求椭圆的方程； （II ） 求m 的取值范围；
（III ） 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
21.（本小题满分14分）
已知函数()3
2
693f x x x x =-+-．
（I ）求函数()f x 的极值；
（II ）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．
巴中市奇章中学高三2014年3月月考水平测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20
分．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解(I):()22sin .sin(22sin .cos 2
f x x x x x x x π
=++
+
)3
2sin 2=2sin(2x x x π
++ ……4分
().f x π∴的最小正周期是 ……5分 =
+2,.3
2
2k k Z x π
π
π∈+
令 :+,.12
x k k Z π
π=
∈解得
+,}.12
()2,x k k Z f x x π
π∴=∈的最大值是取得最大值时的集合是{x| ……7分
(II)
()sin(2)032f A A πππ
=+=∴，0<A<A=3
……9分
ABC ∆在中，2222.cos a b c bc A =+-,
25240c c --=,解得83c c ==-或（舍
) ……11分
1
.sin 2
ABC S bc A ∆∴=
=分 16．解：（Ⅰ）连结BD ，
∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，
∴BD ⊥平面PAC ，
又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ， ∴平面PAC ⊥平面NEF ； ……4分 （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，
则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，
设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，
所以00
n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，
故6
(1,1,
)n m
=， ∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24
440m
+-
=，解得3m =， 故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；
故
:1:3PM MA = --------------------------8分
（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，
则00
m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，
则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，
第17题图
∴cos ,
m n <>=
=
∴二面角M EF N --的余弦值为33
-
．-------12分 17．解：设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，
由已知12345431
(),(),(),()6543
P A P A P A P A ====
（Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==5431
16546
⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．……3分
（Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则123112()()P C P A A A A A A =++
1231121515431
()()()(1)6656542
P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=；……7分
（Ⅲ）X 的可能取值为1，2，3，4
11
(1)()6P X P A ===，
21541
(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，
3125431
(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，
1235431
(4)()6542
P X P A A A ===⨯⨯=，
()123436662
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……12分
19.解:（Ⅰ）100a =当时，由题意知数列{}n a 的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而
100S =
(100979441)(3131)
3466++++++++++
共项共项
……(3分) =(1001)3466(31)1717132184922
+⨯++⨯=+=. …………(6分)
（Ⅱ）证明：①若103a <≤,则题意成立…………………(7分)
②若13a >,此时数列{}n a 的前若干项满足13n n a a --=,即13(1)n a a n =--. 设(]*
13,33,(1,)a k k k k N ∈+≥∈,则当1n k =+时,(]1130,3k a a k +=-∈.
从而此时命题成立…… (9分)
③若10a ≤,由题意得2143a a =->,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立……………(12分)
20.（I ） 设椭圆的方程为122
22=+b
y a x (a>b>0)
由题可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=11
932
2b a b a
2,1822==∴b
a
所求椭圆的方程为
12
182
2=+y x . ……4分
（II ）∴直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m,∴直线l 方程为：y=
3
1
x+m. 联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+m x y y x 31121822
消y 化简得0189622
2
=-++m mx x ∵直线l 交椭圆于A ，B 两点， ∴0)189(24)6(2
2
>-⨯⨯-=∆m m 解得22<<-m 又因为m≠0.
m 的取值范围为-2<m<2且m≠0. ……8分 （III ）设直线MA 、MB 的斜率分别为21,k k ，则问题只需证明021=+k k . 设A ),(11y x ,B ),(22y x 则3
1
,31222111--=--=
x y k x y k . 由（2）2
18
9,322121-=
⋅-=+m x x m x x 又m x y m x y +=+=
22113
1
,31代入 )
3)(3()
3)(1()3)(1(21122121----+--=
+x x x y x y k k 整理得
336333633363312189323363132
336
32122212212121212121212121=--+-+--=
--+---+-⨯=
--+-+-+=
--++-+-+=
+))(())(())(())(())(()
)(()()(x x m m m m x x m m m m x x m x x m x x x x y y x x y x x y k k
∴021=+k k .从而直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形. ……13分 21.解：（1）因为()3
2
693f x x x x =-+-，
所以()2
3129f x x x '=-+()()313x x =--．
令'()0f x =，可得1x =或3x =． 则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：
所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-． （2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，
由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．
所以()(),.
f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即32
32
693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪
⎩ 也就是方程32
693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根． 设32
()683g x x x x =-+-()3x >，
则2
()3128g x x x '=-+． 令()g x '0=，解得123x =<，223x =+>．
当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，
所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增． 因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>， 所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．
这与方程3
2
693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．。