2023安徽中考数学专题《二次函数综合》含答案解析

热点05 二次函数综合
安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为三类：
一、二次函数的图象与性质；二、二次函数中求动点坐标（与图形面积相关）；三、二
次函数的实际运用（近几年主要考察利润相关为题）；
需要注意的是综合运用的题型，难度系数较大，考察的内容较多，特别是动点，还是计算利润时由于数值比较大需细心。

考点一：利用对称轴解决问题
抛物线的开口向下，对称轴x = −b
2a =−
2
A，当x1 +x2 >2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B，当x1+x2< 2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点确，
考点二：最值问题
【答案】 8 43
a2），则点B坐标为【分析】设点A（a，1
8
由AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2可得求解．
a2），则点B 【详解】解：设点A（a，1
8
∴OB＝|a|，AB＝1a2，
想解答即可．
【详解】解：二次函数y=2(x−1)2+1的图像如图：
所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9，
当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键．
考点三：二次函数与不等式
【例6】．（2022秋·安徽淮南）二次函数y＝x2，当1 ≤y ≤ 9时，自变量x的取值范围是（）
A．1≤x≤3B．-3≤x≤3
C．-3≤x≤-1或1≤x≤3D．-3≤x≤1或1≤x≤3
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当1≤y ≤9时，自变量x 的取值范围．
【详解】解：∵y＝x2，
∴该函数图像开口向上，对称轴为直线x＝0，
当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵当y＝1时，x＝±1；当y＝9时，x＝±3，
∴ 当1≤y ≤9时，自变量x 的取值范围是-3≤x ≤-1或1≤x ≤3，
故选：C ．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【例7】． （2022秋·安徽合肥）在平面直角坐标系中，已知点A (4,2)，B (4,4)，抛物线L ：()()20y x t t t =--+≥，当L 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是（ ）
A ．3≤t ≤4
B ．5≤t ≤6
C ．3≤t ≤4，t =6
D ．3≤t ≤4或5≤t ≤6
【答案】D
【分析】根据题意知线段AB 平行于y 轴，故根据二次函数与线段交点的情况列式()2244t t --+≤≤求解即可．【详解】根据题意知：
∵点A (4,2)，B (4,4)，
故对于二次函数()()2
0y x t t t =--+≥与线段AB 有公共点时，
即当x=4时，2≤y ≤4，
即()2244t t --+≤≤，
解得：3≤t ≤4或5≤t ≤6；
故选：D ．
【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．【例8】． （2022秋·安徽合肥）如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)和一次函数y 2=mx +n (m ≠0)的图象，当y 2>y 1，x 的取值范围是________．
【答案】−2<x <1
【分析】关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断y 2＞y 1时，x 的取值范围．
【详解】从图像上看出，两个交点坐标分别为(−2,0)，(1,3)
【例10】． （2022秋·安徽芜湖·）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x =−1．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG ⊥AC 于点G ．。