湖北省襄阳市四校(曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中)高三数学上学期期中联考试题 理-人教版高三

湖北省襄阳市四校（曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中）2016
届高三数学上学期期中联考试题 理
★祝考试顺利★
第I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数21i
z i
=
-（i 是虚数单位），则|z |=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
2．已知集合2
{|230}A x x x =--<，{|ln 0}B x x =>，则A∩B=( )
A ．{|1}x x >
B ．{|3}x x <
C ．{|13}x x <<
D ．{|11}x x -<<
3．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若0>>b a ，则
b
a 1
1<”的逆命题是真命题 B ．命题:p x R ∀∈，20x >,则0:p x R ⌝∃∈，020x < C ．“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件 D ．“b a >”是“2
2
b a >”成立的充分不必要条件 4.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( ) A.sin(2)2
y x π
=+
B.cos(2)2
y x π
=+
C.sin 2cos2y x x =+
D.sin cos y x x =+
5.函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是（ ）
6. 函数)2(2)(≤-=x a x g x
的值域为（ ）
A ．(],4a -∞-
B ．(]0,4a -
C ． [)4,a -+∞
D ．(],4a a --
7．已知12515111
(),log ,log 533
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ． a b c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >> 8.若函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,+∞
B ．(],0-∞
C ．(),0-∞
D ．()0,+∞
9.在锐角ABC ∆中，sin A 与cos B 的大小关系为（ ）
A 、不能确定
B 、sin A ＜cos B
C 、sin A =cos B
D 、sin A ＞cos B
10．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为4π，+a b 与b 的夹角为3π
，则||||=a b （ ）
A
B
C
D
11.定义行列式运算：
12142334
a a a a a a a a =-.若将函数
f(x)=
sin cos 1
x x 的图象向左平移
m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）
A ．
32π B ．6π C ．π6
5 D ．
3
π
12、定义在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上的函数),(x f ()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ） A
43ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 、(1)2()sin16
f f π
>
C
64f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D
63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数2
y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于 14.在ABC ∆中，54
cos ,sin 135
A B =
=，则cos C = 15.已知函数(
)(
lg f x x x =+，如果()()2110f a f a ++-<，则a 的取值范围
是
16.已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②对任意()(),22x R f x f x ∈+=；③当
[]1,1x ∈-时，()2
1f x x
=-，若函数()()()
0ln 0x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4-上零点有 个。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
设命题R x p ∈∃:，使等式012
=++ax x 成立；
命题:q 函数1)(3
--=ax x x f 在区间[]1,1-上单调递减，如果命题p 或q 为真命题，
p 且q 为假命题，求a 的取值范围。

18. （本小题满分12分）
已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2
π＋α＋2sin αsin π2
＋α＋1
3sin αcos π
2－α－2cos αcos π－α
的值．
19．（本小题满分12分）设函数21
()ax f x bx c
+=+是奇函数（,,a b c 都是整数），且
(1)2,(2)3f f -=-< （1）求,,a b c 的值；
（2）试判断当0x <时()f x 的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）若当0x <时21m ->f(x)恒成立，求m 的取值范围。

20．（本小题满分12分）
设函数()f x m n =⋅，其中向量()1,2cos m x =，(
)
3sin 2,cos n x x =
．
()1求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；
()2在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()2f A =，1b =，C
∆AB
，求C ∆AB 外接圆半径R ．
21.（本小题满分12分）
2015年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过
市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝2750x －ax 2
－ln x 10，(]2,x t ∈，
当x ＝10时，y ＝
22
5
. （1） 求y ＝f(x)的解析式;
（2）求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值.
22、（本小题满分12分） 已知0t <，设函数32
3(1)()32t f x x x tx -=+
-．
(1)若)(x f 在(0, 2)上无极值，求t 的值；
(2)若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围； (3)若()x
f x xe m ≤- （e 为自然对数的底数)对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为
0，求t 的取值范围．
2015—2016学年上学期高三期中考试
理科数学(答案)
一、选择题：BCCBA DACDB DA 二、填空题:13、
16 14、33
65
15、1a <-或2a > 16、8 三、解答题：(本大题共6小题，共70分).
17、解：2
4022p a a ⇒∆-≥⇒≥≤-真=a 或 ……………………3分
[]2(x)01,1f a x '⇒-≤∈-q真=3x 在恒成立
3a ⇒≥ ……………… 6分 由“p q ∨”为真，p q ∧为假，,p q ⇒一真一假 ……………… 7分
当p 真q 假时，
{
223
223a a a a a ≥≤-<⇒≤-≤<或或 …… 8分
当p 假q 真时，
{
223a a a φ-<<≥⇒∈ …………………9分
223a a ≤-≤<综上得或 …………………… 10分
18.解： (1)因为tan α＋
1tan α＝－10
3
，
所以3tan 2
α＋10tan α＋3＝0， ……………2分 解得tan α＝－1
3或tan α＝－3， ………………4分
因为3π4＜α＜π，所以－1＜tan α＜0，所以tan α＝－1
3. ……………6分
(2)原式＝sin 2
α＋2sin αcos α＋13sin 2α＋2cos 2
α
＝2sin 2
α＋2sin αcos α＋cos 2
α3sin 2α＋2cos 2
α ……………8分 ＝2tan 2α＋2tan α＋13tan 2
α＋2 ………………10分 ＝5
21
. ……………12分 19.解：（1）21
()ax f x bx c
+=+为奇函数，则有由f(-x)=-f(x)得c=0. ………… 2分
又(1)2,(2)3f f -=-<所以124132a b a b
+=⎧⎪
+⎨<⎪⎩⇒12a -<< …………3分
又a Z ∈0,1a ∴= 当0a =时1
(2
b =
舍） 当a=1时b=1 …………4分 综合得(2)3f <．∴a=1,b=1,c=0 ………………………………5分 （2）设120x x <<， 21120,0x x x x ->>，
21121212
()(1)
()()x x x x f x f x x x ---=
， …………7分
当
121x x <≤-时，121x x >，∴1210x x -<，∴ 12()()f x f x <
∴f(x)在
(],1-∞-上是增函数； ………… 9分
同理可证f(x)在[)
1,0-上是减函数 (10)
分
（3）由（2）知当0x <时f(x)的最大值为f(-1)=-2,
∴只需2m-1>-2即可，∴1
2
m >-
………… 12分 20.解：(1)由题意得：
2()2cos 2cos 2212sin(2)16
f x x x x x x π
=+=++=++． ………… 3分
所以，函数()f x 的最小正周期为T π=，由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈得
函数()f x 的单调递增区间是,36k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
……………………………6分
(2)
()2,2sin(2)126f A A π=∴++=，解得3
A π
=， ………… 7分
又
ABC ∆
，1b =,.得
. 1
sin 2
bc A =4c = ………… 9分
再由余弦定理2222cos a b c bc A =+-
，解得a =………… 11分
2sin a
R A
=
,R =…………………………l2分 21.解：(1)∵当x ＝10时，y ＝
225，即2750×10－a×102
－ln 1＝225
，解得a ＝1100.
∴f(x)＝27
50
x －x 2
100－ln x 10. (]2,x t ∈ ………………………………4分
(2)对f(x)求导，得22712750(2)(25)
()50505050x x x x x f x x x x
-+--'=--=-=-
. 令f ′(x)＝0，得x ＝25或x ＝2 (舍去)．………………………………………………6分
当x ∈(2,25)时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(2,25)上是增函数；
当x ∈(25，＋∞)时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(25，＋∞)上是减函数
所以当t>25时，当x ∈(2，25)时，f ′(x)＞0，,f(x)在(2，25)上是增函数；
当x ∈(25，t]时，f ′(x)＜0，f(x)在(25，t]上是减函数．
∴当x ＝25时，y 取得最大值; ……………………………………………………………8分 所以当2<t ≤25时，当x ∈(2，t)时，f ′(x)＞0，,f(x)在(2，t)上是增函数,
∴当x ＝t 时，y 取得最大值 …………………………………10分
综上：当t>25时，x ＝25时，y 取得最大值
当2<t ≤25时，x ＝t 时，y 取得最大值……………………………………………12分
22. 解：（Ⅰ）/
2
()33(1)33()(1)f x x t x t x t x =+--=+- 又()f x 在(0, 2)无极值
1,1t t ∴-=∴=- …………………………………………3分
（Ⅱ）①当01t <-<时，()f x 在(0,)t -单调递增，在(,1)t -单调递减，在(1,2)单调递增，()(2)f t f ∴-≥ 显然：3
2
34t t +≥在10t -<<上无解…………………4分
②当-1t =时，不合题意； …………………………..5分 ③当12t <-<时，即21t -<<-时()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t -单调递减，在(,2)t -单调递增，
(1)(2)21f f t ≥⎧∴⎨
-<<-⎩
得5
23t -<≤- …………………………………6分 ④当-2t ≥时，即2t ≤-时()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件……7分
综上所述：5,3t ⎛
⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦时，存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0,2]上的最
大值. …………………8分 （Ⅲ）若
3
2
3(1)32
x t x x tx xe m
对任意),0[+∞∈x 恒成立，
即3
2
2
3(1)3(1)
332
2
x
x t t m
xe x x tx x e x x t 对任意),0[+∞∈x 恒成
立， ……………………………………9分
令2
3(1)
32x t g x
e x x t ，),0[+∞∈x 由于m 的最大值为0， 则23(1)
302
x t g x e x x t 恒成立，否则存在0[0,
)x 使得00g x ， 则当0,0x x m 时，()x
f x xe m 不恒成立，
由于(0)130g t ，则， 1
03
t -≤< ……………………… 10分
当103t -≤<时，3(1)22x t g x e x ，则2x g x e ，
若20x g x e ，ln 2x ，则g x 在0,ln 2递减，在ln 2,
递增， 即'min
3(1)
ln 2
2
2ln 202
t g x
g ，g x 在[0,)上是递增函数，
130g x g t 满足条件，t 的取值范围是1,0
3⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
…………… 12分
（若用分离参数法去做可酌情给分）。