极坐标系公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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0, 且0 2（或 ）
第15页
思考？ 平面内一点P直角坐标是 ( 3，,1)其 极坐标如何表示?点Q极坐标 为(5, 2 )，其直角坐标如何表示？
3
第16页
六、极坐标与直角坐标互化公式
极化直：x cos , y sin
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
第11页
关于负极径思考
“负极径”真是“负”？
？？？
依据极径定义，极径是距离，当然是正。 现在所说“负极径”中“负”到底是什么意 思？
负极径实质:从比较来看，负极径比正极径多了一 个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也 能够当作是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质 是管方向。这与数学中通常习惯一致，用“负” 表示“反向 ”。
6
3
[小结]由极坐标描点环节： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
第8页
三、点极坐标表示式研究
M
如图：OM长度为4，
4
请说出点M极坐标表示式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角始边相同，终边也相同。也就是说它们是 终边相同角。
第9页
四、极坐标系下点与它极坐标相应情况
[1]给定（,）,就能够在极坐 标平面内拟定唯一一点M
P
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标
与之相应。
原因在于：极角有无数个。
点与极坐标是一对多关系
[3]假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,
平面内点和极坐标就能够一一相应了. 第10页
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
6
6
第18页
小结
• 建立一个极坐标系需要哪些要素
– 极点；极轴；长度单位；角度单位和它正方向
• 极坐标系内一点极坐标有多少种表示式？
– 无数，极角有无数个
• 一点极坐标有否统一表示式？
– 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标互化
极坐标化直角坐标： 直角坐标化极坐标：
五、关于负极径
在普通情况下，极径都是取正值。但在一些必要
情况下，也允许取负值(<0):
当<0时如 ，何 点要M(求,(,)位)置相要应求点：位置？
点M：在角终边反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
O°
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
负极径小结：极径变为负，极角增长 。
第12页
练一练 说出下图中当极径取负值时各点极坐标：
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
第13页
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
x
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相同.
第17页
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0)
(3, )
直角坐标 (3, 3) ( 3,1) (5,0)
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
第20页
D
C
E
120m
50m45o 60o A O 60m B
A(0,0) B(60,0)
C(120, )
D(60
3, )
3
2
E(50, 3 )
4
X
第7页
[变式训练 ] 在书本P10图上描下列点：
A(3, 0)、B(6, 2 )、C(3, )、D(5, 4 )、
2
3
E(3, 5 )、F (4, )、G(6, 5 )
x cos , y sin
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
第19页
课堂练习
1.已知极坐标 M(5, 4 ),下列所给出 不能表示点M坐标3是( ) C
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点极坐标为 A(2, ), B( 2, 3 ),
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点
(, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标. 第14页
与直角坐标系联系与区别
极坐标系与直角坐标系异同是什么？ ➢都是用有序实数对来表示平面上点.
其中坐标意义不同.
➢直角系坐标与平面上点是一一相应; 极坐标系坐标与平面上点多对一; 有无办法使极坐标与点之间一一相应？ 除极点外，限制
第1页
从这向东走 500米。
请问：去?? 中学怎么走？
第2页
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向东走500米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经惯用方向和距离来
表示一点位置。这种用方向和距离表示
平面上一点位置思想，就是极坐标基本
思想。
第3页
一、极坐标系建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度正方向。 （通常取逆时针方向）.
4 F•
3
2
4
•C
。
B•
O1
•A
x
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
第6页
例2：下图是某校园平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,试验楼,办公楼位置,建立适当极 坐标系,写出各点极坐标。
O X
这样就建立了一个极坐标系.
第4页
二、极坐标系内一点极坐标要求
表示线段OM长度，叫做点M极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边 角,叫做点M极角;
有序数对(,)就叫做点M极坐标.
M.
O
X
强调：不做特殊阐明时,≥0,∈R
当=0时，表示极点(0,) 。
第5页
例1、 如图，写出各点极坐标：
5
6 D• E•
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思考？ 平面内一点P直角坐标是 ( 3，,1)其 极坐标如何表示?点Q极坐标 为(5, 2 )，其直角坐标如何表示？
3
第16页
六、极坐标与直角坐标互化公式
极化直：x cos , y sin
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
第11页
关于负极径思考
“负极径”真是“负”？
？？？
依据极径定义，极径是距离，当然是正。 现在所说“负极径”中“负”到底是什么意 思？
负极径实质:从比较来看，负极径比正极径多了一 个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也 能够当作是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质 是管方向。这与数学中通常习惯一致，用“负” 表示“反向 ”。
6
3
[小结]由极坐标描点环节： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
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三、点极坐标表示式研究
M
如图：OM长度为4，
4
请说出点M极坐标表示式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角始边相同，终边也相同。也就是说它们是 终边相同角。
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四、极坐标系下点与它极坐标相应情况
[1]给定（,）,就能够在极坐 标平面内拟定唯一一点M
P
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标
与之相应。
原因在于：极角有无数个。
点与极坐标是一对多关系
[3]假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,
平面内点和极坐标就能够一一相应了. 第10页
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
6
6
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小结
• 建立一个极坐标系需要哪些要素
– 极点；极轴；长度单位；角度单位和它正方向
• 极坐标系内一点极坐标有多少种表示式？
– 无数，极角有无数个
• 一点极坐标有否统一表示式？
– 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标互化
极坐标化直角坐标： 直角坐标化极坐标：
五、关于负极径
在普通情况下，极径都是取正值。但在一些必要
情况下，也允许取负值(<0):
当<0时如 ，何 点要M(求,(,)位)置相要应求点：位置？
点M：在角终边反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
O°
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
负极径小结：极径变为负，极角增长 。
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练一练 说出下图中当极径取负值时各点极坐标：
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
第13页
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
x
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相同.
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例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0)
(3, )
直角坐标 (3, 3) ( 3,1) (5,0)
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
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D
C
E
120m
50m45o 60o A O 60m B
A(0,0) B(60,0)
C(120, )
D(60
3, )
3
2
E(50, 3 )
4
X
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[变式训练 ] 在书本P10图上描下列点：
A(3, 0)、B(6, 2 )、C(3, )、D(5, 4 )、
2
3
E(3, 5 )、F (4, )、G(6, 5 )
x cos , y sin
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
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课堂练习
1.已知极坐标 M(5, 4 ),下列所给出 不能表示点M坐标3是( ) C
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点极坐标为 A(2, ), B( 2, 3 ),
E(3,- )
6
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F(-4,-
3
)
都是同一点
(, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标. 第14页
与直角坐标系联系与区别
极坐标系与直角坐标系异同是什么？ ➢都是用有序实数对来表示平面上点.
其中坐标意义不同.
➢直角系坐标与平面上点是一一相应; 极坐标系坐标与平面上点多对一; 有无办法使极坐标与点之间一一相应？ 除极点外，限制
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从这向东走 500米。
请问：去?? 中学怎么走？
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请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向东走500米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经惯用方向和距离来
表示一点位置。这种用方向和距离表示
平面上一点位置思想，就是极坐标基本
思想。
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一、极坐标系建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度正方向。 （通常取逆时针方向）.
4 F•
3
2
4
•C
。
B•
O1
•A
x
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
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例2：下图是某校园平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,试验楼,办公楼位置,建立适当极 坐标系,写出各点极坐标。
O X
这样就建立了一个极坐标系.
第4页
二、极坐标系内一点极坐标要求
表示线段OM长度，叫做点M极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边 角,叫做点M极角;
有序数对(,)就叫做点M极坐标.
M.
O
X
强调：不做特殊阐明时,≥0,∈R
当=0时，表示极点(0,) 。
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例1、 如图，写出各点极坐标：
5
6 D• E•