重难专题16 分式方程的解法专项训练(解析版)

专题16 分式方程的解法专项训练
1．解方程：2122
x x x =+--．【分析】两边同时乘以()2x -，将分式方程化为整式方程，解整式方程，然后检验，即可求出分式方程的解．
【详解】解∶ 方程两边同时乘以()2x -，得：
22x x =+-，
解得2x =，
检验∶当2x =时，20x -=，
∴原方程无解．
2．解方程：2123111x x x x
-=+--．【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．【详解】解：2123111x x x x
-=+--，去分母得：()1231x x x --=-+，
整理得：22x =-，
解得：=1x -，
检验：把=1x -代入()()11x x +-可得()()110x x +-=，
∴=1x -是增根，原方程无解．
3．解分式方程13122--=--：x x x x
【分析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】13122x x x x
--=--去分母得：()123x x x
---=-移项，合并同类项得：31
x =-∴13
x =-．经检验， 13x =-
是原分式方程的解，
故原方程的解是：13x =-
4．解方程：11322x x x
-+=---．【分析】方程两边同时乘以()2x -，化为整式方程，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以()2x -，
得()()
1132x x --=--解得：2x =，
当2x =时，20
x -=∴2x =是原方程的增根，原方程无解．
5．解分式方程
26124
x x x -=--【答案】1
x =【详解】解：去分母得：()()()2622x x x x +-=+-，
去括号得：22264x x x +-=-，
解得1x =，
检验：当1x =时，240
x -¹∴原方程的根是1x =．
6．解方程：241111x x x +=---．【答案】3
x =-【详解】解：方程两边同乘()()11x x +-，得：()()()2
4111x x x =-+-+-，去括号，可得：224211x x x =----+，
移项、合并同类项，可得；26x -=，
系数化为1，可得：3x =-，
检验：当3x =-时，()()110x x +-¹，
∴原分式方程的解为3x =-．
7．解方程：3x x -253169
x x x --=-+【答案】3
x =-
【详解】解：2531369
x x x x x --=--+，()
253133x x x x --=--，方程两边都乘2(3)x -，得()()23353x x x x ---=-，
解得：3x =-，
检验：当3x =-时，()230x -¹，
所以3x =-是原方程的解，
即原方程的解是3x =-．8．解方程：43(1)1
x x x x +=--【分析】方程两边同乘最简公分母(1)x x -化为整式方程，然后求解，再进行检验．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母(1)x x -，得
43+=x x ，
解得2x =，
检验：当2x =时，(1)2(21)20x x -=´-=¹，
2x \=是原方程的根，
故原分式方程的解为2x =．9．解方程：22122x x x
-=--．【分析】两边都乘以2x -，化为整式方程求解，求出x 的值后再检验即可.【详解】解：22122x x x
-=--，两边都乘以2x -，得：222
x x +=-解得4x =-，
检验：当4x =-时，最简公分母20x -¹，
∴4x =-是原分式方程的解．10．解分式方程：315155x x x
+=--．【分析】观察可得最简公分母是5x -，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：由原方程可得：315155
x x x -=--，
方程两边同乘以5x -，得：3155x x -=-，
解得：5x =，
经检验：5x =是原方程的增根，
所以原方程无解．
11．解方程：235011
x x x --=--．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：235011
x x x --=--去分母得：()()3150x x +--=，
整理得：280x +=，
解得：4x =-，
经检验4x =-是分式方程的解．
12．解方程：2121x x x
+=+．【分析】根据解分式方程的解法步骤求解，最后检验即可．
【详解】解：去分母，得()()
22121x x x x ++=+去括号，得222122x x x x
++=+移项、合并同类项，得1
x -=-化系数为1，得1
x =检验：当1x =时，()10
x x +¹∴原分式方程的解为1x =．
13．解分式方程：21142
x x x =---【分析】先两边同时乘以各分母的最小公分母转化为整式方程，再解这个整式方程即可．
【详解】解：两边同乘以24x -得
21(2)(4)x x x =+--，
22124
x x x =+-+解方程得3:2
x =-，
经检验，32
x =-是原方程的解\原分式方程的解为32
x =-．14．解分式方程：14322x x x
--=--【分析】先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：14322x x x
--=--，去分母得：()1432x x +-=-，
去括号得：1436x x +-=-，
移项得：3641x x -=-+-，
合并同类项得：23x -=-，
化x 系数化为1得：32x =
，检验：把32x =
代入2x -得：312022-=-¹，∴ 32
x =是原方程的解．15．解方程：
121133x x x =-++．【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘以()31x +，得
()3231x x =-+，
解得：6x =-，
检验：把6x =-代入()31x +得()361150-+=-¹，
∴原方程的解为：6x =-．
16．解方程：(1)
313221x x +=--；(2)22111
y y y -=--．【分析】（1）方程两边同时乘以()21x -，化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案；（2）去分母()()11y y +-化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】（1）解：()313211
x x -=--，()3261x -=-，
67x =，
76
x =，检验：当76
x = 时，()210x -¹，∴原分式方程的解是：76x =
；（2）解：()()
21111y y y y -=-+-，()()()1211y y y y +-=+-，
2221y y y +-=-，
1y =，
检验：当1y =时，()()110y y +-=，
∴原分式方程无解．17．解方程．
(1)
143x x =+；(2)31244x x x
-=---．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：143
x x =+，34x x +=，
解得：1x =，
检验：当1x =时，(3)0x x +¹，
1x \=是原方程的根；（2）解：31244x x x
-=---，312(4)x x -=---，
解得：4x =，
检验：当4x =时，40x -=，
4x \=是原方程的增根，
\原方程无解．
18．解分式方程：(1)
143x x =+．(2)31222
x x x +=+--．【分析】（1）先分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）先分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：143
x x =+，方程两边都乘()3x x +，得34x x +=，
整理，得33x =，
解得：1x =，
当1x =时，()30x x +¹，
所以原方程的解是1x =．
（2）解：31222
x x x +=+--，方程两边都乘2x -，得()3122x x =++-，
整理，得36x =，
解得：2x =，
当2x =时，20x -=，
故2x =是原方程增根，原方程无解．
19．解方程：(1)
5113x x =+-(2)21233x x x
-+=--【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：5113
x x =+-，方程的两边同乘()()13x x +-得，()531x x -=+，
解得，4x =，
检验，把4x =代入最简公分母()()130x x +-¹，
所以4x =是原方程的解；
（2）解：21233x x x
-+=--，方程的两边同乘()3x -得，
()2231x x -+-=-，
解得，3x =，
检验，把3x =代入最简公分母30x -=，
所以3x =是原方程的增根，
∴原方程无解．
20．解方程：(1)
232x x =+；(2)11322x x x
-=---．【分析】（1）方程两边都乘()2x x +得出()223x x +=，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘2x -得出()()1132x x =----，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘()2x x +，得()223x x +=，
解得：4x =，
检验：当4x =时，()246240x x +=´=¹，
\4x =是原方程的解，
\原方程的解是4x =；
（2）解：方程两边都乘2x -，得()()1132x x =----，
解得：2x =，
检验：当2x =时，20x -=，
\2x =是增根，
\原方程无解．
21．解方程(1)
322112x x x =---(2)214111
x x x +-=--【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）去分母得到：423x x =-+，解得：13x =-
，经检验13
x =-是分式方程的解；（2）去分母得：222141x x x ++-=-，
解得：1x =，
经检验1x =是增根，分式方程无解．
22．解方程(1)
132x x =-(2)21233y y y
-=---【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：132x x
=-去分母得：()32x x =-，
去括号得：36x x =-，
移项得：36x x -=-，
合并同类项得：26x -=-，
系数化为1得：3x =，
检验，当3x =时，()20x x -¹，
∴原方程的解为3x =；
（2）解：21233y y y
-=---去分母得：()2231y y -=-+，
去括号得：2261y y -=-+，
移项得：2612y y -=-++，
合并同类项得：3y -=-，
系数化为1得：3y =，
检验，当3y =时，30y -=，
∴3y =是原方程的增根，
∴原方程无解．
23．解方程(1)
3222x x =+-(2)29472393
x x x x +-=+--【分析】（1）先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出x 的值，最后进行检验；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，将未知数系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】（1）解：去分母得：()()3222x x -=+，
去括号得：3624x x -=+，
移项合并同类项得：10x =，
经检验10x =是原方程的解；
（2）解：去分母得：()()29347233x x x +=-+´-，
去括号得：291221618+=-+-x x x ，
移项合并同类项得：1648-=-x ，
将未知数系数化为1得：3x =，
检验：把3x =代入()33x -得：()3330´-=，
∴3x =是原方程的增根，
∴原方程无解．
24．解方程：(1)
33122x x x -+=--；(2)23321
x x =--．【分析】（1）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1求出方程的解，并检验即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求出方程的解，并检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘以2x -，得323x x +-=-，
移项，合并，得22
x =系数化为1，得1x =，
检验：当1x =时，210x -=-¹，
∴原分式方程的解为1x =；
（2）解：方程两边都乘以()()321x x --，得()()33221x x -=-，
去括号，得3942
x x -=-移项，合并，得7
x -=系数化为1，得7x =-，
检验：当7x =-时，()()3210x x --¹，
∴原分式方程的解为7x =-．
25．解方程：(1)
312x x x -=-．(2)2114232349
x x x x -=+--．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：312x x x
-=-，去分母得：()()2322x x x x --=-，
解得：6x =，
检验：()()26620x x -=´-¹，
∴方程的解为6x =；
（2）2114232349
x x x x -=+--，去分母得：()23234x x x --+=，解得：32
x =-，检验：2
23494902x æö-=´--=ç÷èø，是增根，∴方程无解．
26．解分式方程：(1)
23211x x x +=+-；(2)21233x x x
-=---．【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：由23211
x x x +=+-则去分母得：()()()()2131211x x x x x -++=+-，
去括号得：22223322x x x x -++=-，
移项合并同类项得：5x =-，
经检验：5x =-是原分式方程的解；
（2）解：由21233x x x
-=---，则去分母得：()()()()233233x x x x x --=----，
去括号得：2265321218x x x x x -+=-+-+，
移项合并同类项得：3x =，
因为330-=，
经检验：3x =是增根，原分式方程无解．
27．解分式方程：(1)
3513x x =++；(2)214111
x x x +-=--．【分析】（1）先去分母，解得到的整式方程，再检验，即可得到答案；
（2）先去分母，解得到的整式方程，再检验，即可得到答案．
【详解】（1）3513
x x =++解：两边同乘以()()13x x ++得，()()3351x x +=+，
解得，2x =，
当2x =时，()()130x x ++¹，
∴2x =是分式方程的解；
（2）214111
x x x +-=--解：两边同乘以()()11x x +-得，()()()21411x x x +-=+-，
解得，1x =，
当1x =时，()()110x x +-=，
经检验1x =是增根，
∴原分式方程无解．
28．解方程：(1)121x x x
+-=(2)21111
x x x -=++【分析】（1）方程两边都乘x 得出()12x x -+=，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘1x +得出()211x x -+=，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：121x x x
+-=，去分母得：()12x x -+=，解得：12
x =-，
检验：当12
x =-时，0x ¹，∴12
x =-是原方程的解；（2）21111
x x x -=++，去分母得：()211x x -+=，
解得：2x =，
检验：当2x =时，10x +¹，
∴2x =是原方程的解．
29．解方程：(1)
3211x x =+-；(2)29472393
x x x x +-=+--．【分析】（1）先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出x 的值，最后进行检验；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，将未知数系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】（1）解：3211
x x =+-，3322x x -=+，
5x =，
检验：把5x =代入()()11x x -+得：()()5151200-+=¹，
∴5x =是原方程的解．
（2）解：29472393
x x x x +-=+--，()()29347233x x x +=-+´-，
291221618+=-+-x x x ，
1648-=-x ，
3x =，
检验：把3x =代入()33x -得：()3330´-=，
∴3x =是原方程的增根，
∴原方程无解．
30．解分式方程：(1)
100307x x =+；(2)21212339
x x x -=+--．【分析】（1）两边同时乘以(7)x x +去分母，然后再整理成一元一次方程进行计算即可；
（2）两边同时乘以()(33)x x +-去分母，然后再整理成一元一次方程进行计算即可．
【详解】（1）方程两边都乘以(7)x x +，得100(7)30x x +=．
解这个一元一次方程，得10x =-．
检验：当10x =-，(7)0x x +¹．
所以，10x =-是原分式方程的根．
（2）方程两边都乘以()(33)x x +-，得32(3)12x x -++=．
解这个一元一次方程，得3x =．
检验：当3x =时，(3)(3)0x x +-=．
因此，3x =是原分式方程的增根，
所以，原分式方程无解．
31．阅读与思考阅读下面的材料，解答后面的问题．
解方程：1401
x x x x --=-．解：设1x y x -=
，则原方程可化为40y y -=，方程两边同时乘y 得240y -=，解得2y =±，
经检验：2y =±都是方程40y y -=的解，\当2y =时，12x x
-=，解得=1x -，当=2y -时，12x x
-=-，解得13x =，经检验：=1x -或13x =都是原分式方程的解，\原分式方程的解为=1x -或13
x =．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”．问题：
(1)若在方程中1021
x x x x --=-，设1x y x -=，则原方程可化为________________．(2)模仿上述换元法解方程：
1279021x x x ---=+-．
【分析】（1）设1x y x
-=，则111,221x x y x x y -==-，据此求解即可；（2）先把方程变形为19(2)021
x x x x -+-=+-，再用换元法求解即可．【详解】（1）解：设1x y x -=，原方程可化为1102y y -=，故答案为：
1102y y -=（2）解：∵
12712719(2)9(9)212121x x x x x x x x x x ---+--=-+=-+-+-+-，∴原方程为
19(2)021x x x x -+-=+-。

设12
x y x -=+，原方程可化为90y y -=，方程两边同时乘以y ，得290y -=，
解得，3=±y ，
经检验，3=±y 都是原方程的解，
当3y =时，有132
x x -=+，解得：72x =-，当=3y -时，有
132x x -=-+，解得：54x =-，经检验：7=2x -或54
x =-都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为72x =-或54
x =-．32．观察下列方程及其解的特征：①12x x +=的解为121x x ==．②152x x +
=的解为12x =，212x =．③1103x x +
=的解为13x =，213
x =； ．．．解答下列问题：
(1)请猜想：方程1265
x x +=的解为______；(2)请猜想：关于x 的方程1x x +=______的解为1x a =，21x a
=(3)利用（2）的结论解方程：①11143
x a x a +=-+++；
②2112322234a a x x a
+++=-．【分析】（1）观察阅读材料中方程解的特征，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【详解】（1）解：猜想方程1265x x +
=，即1155x x +=+的解为15=x ，215x =，故答案为：15=x ，215
x =；（2）猜想：关于x 的方程11x a x a +
=+的解为1x a =，21x a
=，故答案为：1a a +；（3）①方程11143x a x a +=-+++变形为114343
x a x a ++=++++，可得43x a +=+或143x a +=
+，解得：11x a =-，24113
a x a +=-+，②2112322234a a x x a
+++=-变形为2321223x a x a -+=+-，可得232x a -=或2312x a
-=，解得：132
x a =+，2132x a =+．33．请阅读材料并求解：要使恒()122A B x x x x =-++成立，我们可以把1x =，=1x -分别代入上式，得方程组11211112
A B A A B ì-=ïï+íï-=-ï--+î，解得1212
A B ì=ïïíï=ïî，即()()1112222x x x x =-++.(1)请用上述方法将()()1
221x x -+写成()()1
221221
A B x x x x =--+-+的形；(2)如何求解下面的分式方程：()()()11112242x x x x x
+-=+++.【分析】（1）根据已知方法得关于A 和B 的方程组，求出A 和B 即可；
（2）根据材料得关于x 的分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将1,1x x ==-代入，得：112213112213
A B A B ì-=-ïï-+íï-=ï++î，解得：1525A B ì=ïïíï=ïî，即112(2)(21)5(2)5(21)
x x x x =----+.（2）解：根据材料，()()()11111122222242x x x x x -+--=+++，则()1124x -=+，928129,2
x x x +=-=-=-，，∴方程的解为92
x =-．34．阅读：解方程组：233114x y x y
ì-=ïïíï+=ïî解：设1a x =，1b y =，则原方程组可变形为关于a b ，的方程组2334
a b a b -=ìí+=î，∴解这个方程组得31
a b =ìí=î，∴13x =，11y =，所以原方程组的解为 ．
(1)把上面的解答过程补充完整： ．(2)仿照上述方法解方程组：2143213x y x y
ì-=ïïíï+=ïî．【分析】（1）根据等式的性质，解分式方程即可求解；
（2）根据材料提示，设1m x =，1n y =，则原方程组可变形为关于m n ，的方程组，运用加减消元法解二元一次方程组，再解分式方程即可．
【详解】（1）解：∵
13x =，11y =，0,0x y ¹¹，∴31,1x y ==，
∴131
x y ì=ïíï=î，故答案为：131
x y ì=ïíï=î．（2）解：2143213x y x y
ì-=ïïíï+=ïî设1m x =，1n y =，则原方程组可变形为关于m n ，的方程组243213
m n m n -=ìí+=î∴解这个方程组得32m n =ìí=î
，∴13x
=，12y =，且0,0x y ¹¹，∴31,21x y ==，∴1312x y ì=ïïíï=ïî
，∴原方程组的解为1312x y ì=ïïíï=ïî
．35．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．观察下列计算过程：
111112233445+++´´´´1111111112233445æöæöæöæö=-+-+-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø
14155
=-=这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项
恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算．阅读下面一道例题的解答过程：
因式分解：232x x ++解：我们可以将3x 拆成x 和2x 即原式222
x x x =+++()()22x x x =+++()()21x x =++在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式
分解，像这样的方法称为拆项法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知111111111,,,12223233434
=-=-=-××××××´´´，则依据此规律()11n n =+____；②请你利用拆项法进行因式分解：256x x ++=_____；
(2)若,a b 满足22120a a a b -++-=，求()()()()()()()()1111111223320212021a b a b a b a b a b +++++×+×++×++×++×+L 的值；(3)受此启发，解方程222221111492011301342155628
x x x x x x x x x +++=+++++++++．【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得1a =，2b =，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵
111111111,,,12223233434
=-=-=-××××××´´´∴类比得()111n n 1n n 1=-++，故答案为：111
n n -+；②()()()()225623623232x x x x x x x x x x ++=+++=+++=++，
故答案为：()()32x x ++；
（2）解：∵,a b 满足22120a a a b -++-=，即()2
120a a b -+-=∴10a -=，20a b -=，
解得1a =，2b =，
∴10b a -=>，()()()()()()()()
1111111223320212021a b a b a b a b a b +++++×+×++×++×++×+L 111111223344520222023=+++++´´´´´L 1111111111223344520222023
=-+-+-+-++-L 112023=-
20222023
=；（3）解：222221111492011301342155628
x x x x x x x x x +++=+++++++++，21111111144556677828x x x x x x x x x -+-+-+-=+++++++++，
21144828
x x x -=+++，2
244381222x x x +=++，22283212x x x ++=+，124x -=，13
x =-，经检验，13
x =-是原方程的解，∴原方程的解为13x =-．。