【福建省】2016届高考数学(理科)-数列、不等式、算法初步及推理与证明-专题练习及答案解析

A ．7k =
B ．6k ≤ 6．已知数列{}n a 满足*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，定义：使乘积123...k a a a a ，为正整数的*()k k ∈N 叫做“期盼数”，则在区间[1,2011]内所有的“期盼数”的和为（ ） A ．2 036
B ．4 076
C ．4 072
D ．2 026
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分． n
+
+，则数列10．“整数对”按如下规律排成一列：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……，则第50个数对是________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分10分）
给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；
14916(1234)......-+-=-+++．猜测第*()n n ∈N 个等式，并用数学归纳法证明．
12．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且n S 满足：2,n S n n n +=+∈N ．等比数列{}n b 满足：21
log 02
n n b a +=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n T ． 13．（本小题满分15分）
已知函数21()()1f x x a x a
=-++，0a >．
（Ⅰ）当1
2a =时，解不等式()0f x ≤； （Ⅱ）比较1
a 与的大小；
11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)
(1)12
⨯+-⨯
=右边=， 左边=右边，等式成立．
（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立 即22221212(1)
1234...(1)(1)(1)(1)2
k k k k k k k --+-+-++-=-+-+． 则当1n k =+时，
22221221
2(1)
1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2
k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]
()(1)[(1)](1)22
k
k k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立
根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．
12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1221a ==⨯，∴2n a n =由21
log 02n n b a +=得1()2
n n b = （Ⅱ）11()2
n n n n c a b n -==
0122111111
1()2()3()...(1)()()22222
n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）
12111111
1()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2） (1)(2)-得1211
1()11111121()()...()()()122222212
n
n n n n T n n --=++++-⨯=
-⨯- ∴11
4()(2)2
n n T n -=-+． 13．解：（Ⅰ）当1
2
a =
时，有不等式23()102f x x x =-+≤，
∴1
()(2)02
x x --≤，
∴不等式的解集为：1
{|
2}2
x x ≤≤； （Ⅱ）∵1(1)(1)
a a a a a
+--=且0a >
∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1
a a
=；
（Ⅲ）∵不等式1
()()()0f x x x a a
=--≤
当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1
{|}x a x a ≤≤；
当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1
{|}x x a a
≤≤；
当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．
福建省2016届高考数学（理科）-专题练习 数列、不等式、算法初步及推理与证明
解 析
一、选择题．
1．【解析】由等差数列的性质可得
4681012240
a a a a a ++++=，解得
848
a =，设等差数列
{}
n a 的公差为d ，
()911888112
332
333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．
2．【解析】因为
21102,4,
n n a a a n +=-=所以
214
a a -=，解得
198
a =，由累加方法求得数列
2
2298n a n n =-
+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而
98
2n n =解得249n =，当n=7时，n
a n 由最小值26
3．【解析】∵
4
a 与
14
a 的
等比中项为
，∴8
=，
∴
711288a a a +≥⨯=，∴
711
2a a +的最小值为8．
4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图
目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：
30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O
与直线l
2=
，所以目标函数的最小值
为9
2，故选（B ）
5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为
)
2(log 1+=+n a n n ，
所以
()()
()
1232lg 2lg3lg 4lg5....log 2lg 2lg3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++L L ，又因为
123..k
a a a a L 为整数，所以k+2必须
是2的n 次幂，即22n k =-，又[]
1,2011
k ∈，所以1222011n ≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间
[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：
()()()()211
2
3
4
10
2222222222292026
12--+-+-+
-=-⨯=- ，
故选择D 二、填空题．
7．【解析】由已知，111411
,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭的前n 项和
为
1111111124[()()...()]4()233412222n
n n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+， 又因为22,b b a a >>，所以2
2b a b a +>+，所以a b +最大．
9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需
m m y x x y 2822
min
+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得
8
82282≥⋅≥+y x x y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．
10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列， ，，，……依此类推；由于
9(19)
129452⨯++++=
=，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．
三、解答题．
(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(
11．【解析】由归纳推理不难写出第
个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：
＝
()n n *
∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。