江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)

江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联盟2016-2017学年八年级
（上）期中数学试卷(解析版)
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列实数，，，，，0.1，﹣0.010010001，其中无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）
A．30°B．40°C．45°D．60°
5．如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）
A．12 B．13 C．14 D．18
6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．（b+c）（b﹣c）=a2D．a=，b=，c=
7．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
8．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为多少度？（）
A．20°B．60°或20°C．65°或25°D．60°
9．有如下命题：
①负数没有立方根；
②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．
其中错误的是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（）
A．4个B．6个C．8个D．10个
二、填空题
11．64的平方根是，的算术平方根是．
12．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为；
（2）在等腰△ABC中，∠A=40°，且AB=BC，则∠B=．
13．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于．
14．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．
15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
①若△AEF的周长为10cm，则BC的长为cm．
②若∠BAC=138°，则∠EAF=．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为．
17．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．
18．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为．
三、解答题（本大题共8小题，共计54分．）
19．（6分）计算：
（1）2﹣1+﹣+（）0
（2）+﹣|2﹣|
20．（6分）求下列各式中的实数x的值
（1）（x﹣3）2=64
（2）3（x+5）3=﹣81
21．（4分）已知x，y，z满足于|x﹣y|++z2﹣z+=0，求x+y+z的立方根．22．（6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
23．（6分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
24．（8分）已知：长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重
（长合，折痕EF交AD于E，交BC于F．请用直尺和圆规画出折痕EF，并求出△ABE的面积．方形的对边平行且相等，四个角都为直角）
25．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
26．（10分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市宜城环科园教学联
盟八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列实数，，，，，0.1，﹣0.010010001，其中无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】无理数．
【分析】由于所以初中常见的无理数有三类：①π类；②开方开不尽的数，如；③有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（2015•六盘水）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能．
【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
5．如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）
A．12 B．13 C．14 D．18
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴ED=EB，FD=FC，
∵AB=5，AC=8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+8=13．
故选B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF 是等腰三角形是解此题的关键．
6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．（b+c）（b﹣c）=a2D．a=，b=，c=
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=180°=90°，故是直角三角形，正确；
C、∵（b+c）（b﹣c）=a2，∴b2﹣c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；
D、设a=20k，b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形．故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【考点】角平分线的性质．
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．
故选C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
8．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为多少度？（）
A．20°B．60°或20°C．65°或25°D．60°
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，在Rt△ADE中可求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；当△ABC为钝角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点E，交直线AC于点D，则可求得△BAC的外角，再利用外角的性质可求得∠B，可求得答案．
【解答】解：
当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE=40°，DE⊥AB，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=（180°﹣∠A）=65°；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∵∠ADE=40°，DE⊥AB，
∴∠DAB=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠C=∠DAB，
∴∠B=25°；
综上可知∠B的度数为65°或25°，
故选C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．
9．有如下命题：
①负数没有立方根；
②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．
其中错误的是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【考点】立方根．
【分析】①根据立方根的定义即可判定；
②根据立方根的性质即可判定；
③根据立方根的性质即可判定；
④根据立方根的性质即可判定．
【解答】解：①负数有立方根，故错误；
②一个实数的立方根是正数、0、负数，故错误；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号，故正确；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0，故错误．
故选B．
【点评】此题主要考查了立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．
10．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（）
A．4个B．6个C．8个D．10个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB=，然后即可确定C点的位置．
【解答】解：如图，AB==，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题
11．64的平方根是±8，的算术平方根是．
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】利用平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：故答案为：±8，；
【点评】本题考查平方根与算术平方根，属于基础题型．
12．（1）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为7；
（2）在等腰△ABC中，∠A=40°，且AB=BC，则∠B=100°．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）分3是底边和腰长两种情况讨论求解，再根据三角形的三边关系判断是否能组成三角形；
（2）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：（1）①若3是底边，则腰长为1，三角形的三边分别为3、1、1，
∵1+1=2＜3，
∴不能组成三角形，
②若3是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为3、3、1，
能组成三角形，
周长=3+3+1=7，
综上所述，此等腰三角形的周长为7；
（2）∵AB=BC，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣40°﹣40°=100°．
故答案为：（1）7；（2）100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论．
13．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于 6.5．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
则根据勾股定理知，AB==13，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AB==6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
14．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．
【考点】勾股定理．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：=；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：=5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
①若△AEF的周长为10cm，则BC的长为10cm．
②若∠BAC=138°，则∠EAF=96°．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．
【分析】①直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，进而可得出结论．
【解答】解：①∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10cm．
故答案为：10；
②∵∠BAC=138°，
∴∠B+∠C=180°﹣138°=42°．
∵AE=BE，AF=CF，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=42°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=138°﹣42°=96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为16．
【考点】角平分线的性质．
【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=10：8=5：4．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为16．
故答案为16．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．17．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线
上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三
角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=1，
∴DE=．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
18．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上
的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求
出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB 于N，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD=12，
=×BC×AD=×AB×CN，
∴S
△ABC
∴CN===，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF+EF≥，
即CF+EF的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题（本大题共8小题，共计54分．）
19．计算：
（1）2﹣1+﹣+（）0
（2）+﹣|2﹣|
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（1）2﹣1+﹣+（）0
=+2﹣2+1
=；
（2）+﹣|2﹣|
=4﹣2﹣2+
=．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是中考常见题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等相关知识．
20．求下列各式中的实数x的值
（1）（x﹣3）2=64
（2）3（x+5）3=﹣81
【考点】立方根；平方根．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣3=±8，
∴x=11或﹣5；
（2）由题意得：x+5=﹣3，
∴x=﹣8．
【点评】本题主要考查了立方根及平方根的定义和性质，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
21．已知x，y，z满足于|x﹣y|++z2﹣z+=0，求x+y+z的立方根．
【考点】立方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据完全平方公式，可得非负数的和等于零，根据非负数的和为零，可得x，y、z 的值，根据有理数的加法，可得x+y+z，根据开方运算，可得答案．
【解答】解：原式等价于|x﹣y|++（z﹣）2=0．
得
x﹣y=0，2y+z=0，z﹣=0．
解得x=﹣，y=﹣，z=，
x+y+z=0，0的立方根为0．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出x，y、z的值是解题关键．
22．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
【考点】利用轴对称设计图案．
【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
【解答】解：
【点评】考查利用轴对称设计图案；选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点．23．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
24．已知：长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕EF交AD于E，交BC于F．请用直尺和圆规画出折痕EF，并求出△ABE的面积．（长方形的对边平行且相等，四个角都为直角）
【考点】作图—复杂作图；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先设BE=xcm，由折叠的性质可得：DE=BE=xcm，即可得AE=9﹣x（cm），然后在Rt△ABE中，由勾股定理BE2=AE2+AB2，可得方程x2=（9﹣x）2+32，解此方程即可求得DE的长，继而可得AE的长，则可求得△ABE的面积．
【解答】解：
连接BD，作BD的垂直平分线交AD于E，交BC于F，连接EF，则折痕EF即可得到；如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，
设BE=x，
由折叠的性质可得：DE=BE=x，
∴AE=AD﹣DE=9﹣x，
在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2，
∴x2=（9﹣x）2+32，
解得：x=5，
∴DE=BE=5，AE=9﹣x=4，
=AB•AE=×3×4=6．
∴S
△ABE
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图、折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理．第2小题有一定难度，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．25．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】先根据勾股定理计算出AC=4cm，然后分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为
△ABC的中位线，则AP=AB=，易得t=（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB﹣BP=2，易得t=6（s）．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC==4cm，
当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t=3（s）；
若点P在AB上，CP=CB=3，作CH⊥AB于H，如图，CH=，在Rt△BCH中，
BH=，
则PB=2BH=，
∴CA+AP=4+5﹣=5.4，此时t=5.4s；
当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，
则BD=CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP，即AP=AB=，
∴t=4+=（s）；
当BP=BC时，△BCP为等腰三角形，即BP=BC=3，
∴AP=AB﹣BP=2，
∴t=4+2=6（s），
综上所述，t为3s或5s或6s或s时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．
26．（10分）（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C 重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=90度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．
【解答】解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．
【点评】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．。