合肥市衡安学校2020-2021学年高二上学期第三次周测考试数学理试题含答案

衡安学校2020—2021年度上学期高二年级第
三次周测考试
数学试卷(理科）
（时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知,,a b c∈R,命题“若a b>，则22
ac bc
>”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为
（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．两圆224210
x y x y
+-++=与224410
x y x y
++--=的公切线有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
3．过直线30
x y
+-=和20
x y
-=的交点,且与直线250
x y
+-=平行的直线方程是（)A．240
x y
+-= B．240
x y
+-=C．230
x y
+-=
D．230
x y
-+=
4．执行如图所示的程序，若输出的7
n=,则输入的整数P的最小值为（)
A．15B．18
C．77D．78
5．现要完成下列3项抽样调查：
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格。

②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名,行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

③某中学报告厅有28排，每排有35
个座位,一次报告会恰好坐满了听众，
报告会结束后，为了听取意见,需要请
28名听众进行座谈。

较为合理的抽样方法是（）
A．①简单随机抽样, ②分层抽样，③系统抽样B．①简单随机抽样，②系统抽样, ③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球"与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”7．对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}
M=，{1,3,5,7,9}
N=，若从集合M，N中各任取一个数x，y,则3log()xy为整数的概率为（）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
8．已知圆22
(7)(4)9
x y
-++=与圆22
(5)(6)9
x y
++-=关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．56110
x y
+-=B．6510
x y
--=C．65110
x y
+-=
D．5610
x y
-+= 9．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）
A．
π
1
4
-B．π12
C ．π4
D ．π
112- 10．不等式1
0x x ->成立的充分不必要条件是
( ） A ．1x > B ．1x >-
C ．1x <-或01
x <<
D ．10x -<<或1x >
11．已知⊙M :2
22220x
y x y +---=，直线l ：
220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙
M 的切
线,PA PB ,切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
12
30y --=与x 轴交于A ，与圆
()()2
2
:234M x y -++=交于B 、C 两点,过A 的直线与过
B
、C 两点的动圆N 切于P ，当
PBC 的面积最大
时,切线AP 的方程为（ ） A
．0x =
B
0y +=
C
y +=
D
．0x =
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二．填空题（每题5分，共20分）13．若,p q ⌝都为真命题，则p ∨q ，p ∧q 中真命题的是_____________.
14．已知实数,x y 满足221x y +=，则 21y x ++的取值范
围为________。

15．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机,若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率_________________
16．点()1,2A -在直线()21400,0ax by a b -+=>>上，且
点A 始终落在圆()()2
2
12x a y b -+++-
25=的内部或
圆上，那么b
a 的取值范围______________．三、解答题（70分） 17．设p
：实数x 满足
()
222300x ax a a --<>，q ：24x ≤<。

（1)若1a =，且p
，
q 都为真命题,求x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18．(12分）在平面直角坐标系中，已知直线
:320l ax y -+=，若直线l 在x 轴上的截距为2-
（1）求实数a 的值，并写出直线l 的斜截式方程;
（2)求出点(3,1)M 到直线l 的距离。

19。

（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶
点分别为()()()12,14,32A B C -，
，，。

(1）求ABC ∆外接圆M 的方程；
（2)若直线l 经过点(0,4)，且与圆M 相交所得的
弦长为23l 的方程.
20.(12分）某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行
统计（已知这50个身高介于155cm 到195cm 之间)，现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，...，第八组
[190,195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布
直方图,其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5:2． （1）补全频率分布直方图;
(2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；
（3)用分层抽样的方法在身高为[170,180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生,求这两位男生身高都在[175,180]内的概率．
21．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖。

随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数,得到统计表如下：
经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系。

（1)若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率;
（2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求
出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy
bx a =+，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？ 参考公式及数据：
5
5
2
1
22
1
1
1
ˆˆ,,1200,55n
i i
i i i i
n
i i i
i x y nxy
b
a
y bx x y x
x
nx
====-==-==-∑∑∑∑
22。

（12分）已知圆E 的圆心为()1,0，且截y 轴所得的弦长为23. （1）求圆
E
的方
程；
(2)设圆E 与x 轴正半轴的交点为A ,过A 分别作斜率为()1
2
1
2,k k k
k ≠的两条直线交圆E 于,B C 两点,且
122k k =，试证明直线恒过BC 一定点，并求出该
定点坐标
2020-2021年度上学期高二年级第三次周测考
试
数学试卷答案(理科）
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 .
p ∨q
14.
3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
15。

16
25
16．34,43t ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
17.(1）若1a =，则2
2230x ax a --<可化为2230x x --<，
得
13x 。

若q 为真命题，则24x ≤<.
∴p ，q 都为真命题时,x 的取值范围是{}23x x ≤<。

（2）由()2
22300x
ax a a --<>，得3a x a -<<。

q :24x ≤<,q 是p 的充分不必要条件，
∴{}{}243x x x a x a ≤<-<<，
则2
034a a a -<⎧⎪>⎨⎪≥⎩
，得43a ≥。

∴实数a 的取值范围是43a a ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭。

18
．（1）a =1
；12
33y x =+；（2（1）因为直线l 在x 轴上的截距为—2，所以直线经过点（-2，0)，代入直线方程得-2a +2=0,解得a =1，所以直线l 的方程为x -3y +2=0,所以直线l 的斜截式方程为1
2
33y x =+. （2）点M （3,1)到直线l 的距离， 所以d =
=
【点睛】
本题考查了直线的斜截式方程、点到直线的距离公式,需熟记公式,属于基础题。

19．(1)2
2(1)
(2)4x y -+-=；(2）0x =或34160x y +-=
（1)设圆M 的方程为2
20
x
y Dx Ey F ++++=，因为圆M
过()()()12,14,32A B C -，
，，三点， 所以有14201164094320D E F D E F D E F +-++=⎧⎪
++++=⎨⎪++++=⎩
，解得24D E =-=-，，1F =，
∴ABC ∆外接圆M 的方程为2
22410x
y x y +--+=，即
22(1)(2)4x y -+-=.
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为
0x =,
联立2202410x x y x y =⎧⎨+--+=⎩，得023x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或0
23x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩
，此时弦长为23,满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
4y kx -=，即40kx y -+=，
由于圆心(1,2)到该直线的距离为2
2
23212⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
，故
2|24|11
k k -+=+,解得3
4
k =-
， ∴直线l 的方程为3404x y --+=，即34160x y +-=.综上可得，直线l 的方程为0x =或34160x y +-=. 20．（1）见解析;（2）174.5cm ；（3）0.3。

解：（1）第六组与第七组频率的和为：
∵第六组和第七组人数的比为5：2.
∴第六组的频率为0。

1，纵坐标为0。

02；第七组频率为0。

04，纵坐标为0.008.
（2）设身高的中位数为，则
∴估计这50位男
生身高的中位数为174。

5
（3)由于第4，5组频率之比为2:3,按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2,
第5组应抽取3人记为3，4,5 则所有可能的情况有:｛1，2｝,｛1，3}，{1，4},｛1，5｝，{2，3},{2，4},｛2，5｝， {3,4}，{3，5}，｛4，5}共10种
满足两位男生身高都在［175,180]内的情况
有{3，4｝,{3，5｝，{4，5｝共3种， 因此所求事件的概率为．
21．(1)7
10P =；(2)ˆ1236y
x =+，588名
（1)设第i 天的人数为()1,2,3,4,5i y i =，从这5天中随机抽取2天的情况为：
()12,y y ,()13,y y ,()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ,
共10种结果；这5天中只有第4，5天的人数超70人,至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：()14,y y ,()15,y y ,()24,y y ,()25,y y ，()34,y y ，
()35,y y ,()45,y y ，共7种结果；
则所求事件的概率为7
10P =.
（2）依题意12345
35
x ++++==，50607080100725
y ++++==
5
1
15026037048051001200i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
2222221
1234555i
i x ==++++=∑,21200537212553ˆ5b -⨯⨯∴==-⨯ 721336ˆ2a
=-⨯= 1236ˆy x ∴=+,6x =时ˆ108y =，7x =时ˆ120y
=， 则此次活动参加抽奖的人数约为
50607080100108120588++++++=。

∴线性回归方程1236ˆy
x =+，若该活动持续7天，
共有588名顾客参加抽奖。

22．(1)()
2
214x y -+=；（2）()7,0
（1)设圆E 的半径为r 231r =-2
4r =，
所以圆E 的方程为()2
214x y -+=. （2）在()
2
214x y -+=中，令0y =得()2
14x -=，解得3
x =或1x =-，所以()3,0A
设()11,B x y ，()22,C x y ，直线AB 的方程为()13y k x =-，
由()
(
)122314y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222111162930k x k x k +-++-=，
所以211219331k x k -=+，即21121
31
1k x k -=+，
所以()1
11121431
k y k x k =-=-
+ 所以2112211314,11k k B k k ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
，因为122k k =，所以212k k =，
用1
2
k 代替1k ,得2112211128,44k k C k k ⎛⎫
-- ⎪++⎝
⎭,所以
1
122111222
11122
11841431122
14BC
k k k k k k k k k k k -+
++==--+-
++ 故直线BC 的方程为2111222111431121k k k y x k k k ⎛⎫⎛⎫
---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭。

整理得2111
222111
314211k k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪+++⎝⎭
即()1
2
172
k y x k =
-+，所以直线BC 恒过一定点，定点为()7,0。