江苏省栟茶高级中学2012届高三数学考前热点专题训练(4)(解析几何)

2012届考前热点专题训练（4）（解析几何）
班级____ 学号_____姓名_______
一、填空题
1.设圆C ：22
4x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，则AB 的最小值为 4 ．
2.()()2
2
:3:31 2 l y x P C x y =-++=过直线 上一点作圆的两条切线，若两切线关于
l 直线 对称，
P C 则点 到圆心
3.已知⊙A ：22
1x y +=，⊙B: 2
2
(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、
⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为
11
5
． 4.已知F 是椭圆22
22:1x y C a b
+= (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆
2
2
2
14x y b +=相切于点Q ，且→
→=QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 35 ． 5.椭圆
22
12516
x y +=的左，右焦点分别为12,,F F 弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为,π,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则21||y y -=
5
3
. 6.已知正方形ABCD 的坐标分别是(1,0)-,(0,1),(1,0)，(0,1)-，动点M 满足：
1
2
MB MD k k ⋅=- 则MA MC +=
6.解：设点M 的坐标为(,)x y ，∵12
MB MD k k ⋅=- 整理，得
0x ≠），发现动点M 的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为,A C 两点，所以
MA MC +=7.如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若＝m ，＝n ，则mn 的最大值为___1_____．
8.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422
a b +的最小值为_____32_____．
9.过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，与该椭圆的另一个交点为
M ，与y 轴的交点为B.若AM=MB ，则该椭圆的离心率为_______
6
3
___． 10.椭圆22
162
x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 则
21F PF ∆11.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，
1AF B
∆的外接圆为圆
M
． 若直线2
13404
x y a ++
=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2
ME MF a ⋅=-，则椭圆方程为
2
2
11612y = . 12.已知12,F F 分别是双曲线22221y x a b -=的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若22
1
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围为 (1,3] .
12.解：()2
22121111
+4=8PF a PF a PF a PF PF PF =+≥，故a c a PF -≥=21
13.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值
.
14. 已知椭圆 22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 22
2:14
y C x -=有公共的焦点，
2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，
则2b =_____1
2
_____________.
二、解答题
15.已知圆O ：12
2
=+y x ，点P 在直线:l 032=-+y x 上，过点P 作圆O 的两条切线，B A ,为两切点，
(1) 求切线长PA 的最小值，并求此时点P 的坐标；
(2) 点M 为直线x y =与直线l 的交点，若在平面内存在定点N (不同于点)M ，满足：对
于圆 O 上任意一点Q ，都有
QM
QN
为一常数，求所有满足条件的点N 的坐标。

（3）求PB PA ⋅的最小值； 15.解：（1）设点),(00y x P
81251)32(1102
020********+-=--+=-+=-=x x x x y x PO PA
=5
4)56
(520+-x 故当560=
x ，即)53
,56(P 时，5
2min =PA （2）由题：⎩
⎨
⎧==-+x y y x 0
32，)1,1(M
设),(b a N ，),(11y x Q ，满足12
12
1=+y x
则)0()
1()1()()(2
1212
12122>=-+--+-=λλy x b y a x QM QN 整理得：0)31()(2)(22
2
11=-+++-+-λλλb a y b x a ，对任意的点Q 都成立，可得
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-=-λλλ3)1(0022b a b a 解得 ⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
===212121b a λ，或⎪⎩⎪⎨⎧===111b a λ（舍） 即点)2
1,21(N 满足题意。

（3）)1)
1(2)(
1()1cos 2(cos 2
22
2
2
2
---=-∠=∠⋅=⋅PO PO PO APO PA APB PA PB PA =3222-+
PO PO ,5
3≥PO ，令),59[2
+∞∈=PO t ,而2
21)2(t t t -='+在),59[+∞∈t 上恒大于0，故45
4
191543910592-=-+=-+≥+
t t 所以454)(min -=⋅，当)5
3
,56(P 时取得
16.如图，正方形ABCD 内接于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，
正方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第
一象限．
（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．
（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：22e k -是定值．
16.解：（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=-- 0AM AE AM AE ∴∙=∴⊥ 3分
AE 为Rt ABE ∆外接圆直径∴直线AM 与ABE ∆的外接圆相切；
5分
②由⎧⎪⎨⎪⎩2222
441
1611
a b
a b +=+=解得椭圆标准方程为
221205x y +=． 10分
（Ⅱ）设正方形ABCD 的边长为2s ，正方形MNPQ 的边长为2t ，
则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程22
221x y a b
+=得
⎧
⎪⎨
⎪⎩
22
2222
22
1(2)1s s a b s t t
a b
+=++=⇒⎧⎪⎨⎪⎩2
2221(3)14(3)s t a s s t t b s s t -=+=+22
2514b t s e a t -∴=-= 14分
(2)2t s t s
k s t s t
--=
=+-222e k ∴-=为定值．
15分
17.如图，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左、右焦点分别为21,F F ，右顶点为A ，上顶
点为B , P 为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若221PAF F PF S S ∆∆=,求椭圆的离心率；
（2）若1221PBF PAF F PF S S S ∆∆∆==，求直线1PF 的斜率k ；
（3）若2PAF S ∆、2
1F PF S ∆、1PBF S ∆成等差数列，椭圆的离心
x
率⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈1,41
e ，求直线1PF 的斜率k 的取值范围.
17.解：（1）∵21F PF S ∆=2PAF S ∆ ∴A F F F 221=
∵a-c=2c ∴e =3
1
…………………………2′ （2）设)(1c x k y PF +=的直线方程为， ∵21F PF S ∆=1PBF S ∆
∴
1
2·211·212121+=+-k kc PF k kc b PF …………………………4′
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c ∴b=22c ∴k=3
2
2…………………………7′ (3)设21F PF S ∆=t ，则t c
c
a S PAF 22-=∆…………………………8′ ∵P 在第一象限 ∴c
b k >
kc kc b k kc k kc
b S S F PF PBF 21
21222
11-=++-=
∆∆ ∴t kc kc
b S PBF ·21-=
∆…………………………9′ ∴2t=t kc
kc
b t
c c a ·22-+-
∴kc b ck ak kc -+-=4 ∴b a c k =-)6(
∴a c b
k -=6…………………………11′
∴c b a c b >-6。

∴15
1<<e 。

又由已知141<≤e ，∴14
1
<≤e 。

…………………………12′
∴2
222
1236a
ac c b k +-==22221236a ac c c a +-- =1123612
2+--e e e =22)16(1--e e （令16-=e m ，∴6
1
+=m e ）……13′
=2
2
)
61(
1m m +-=221236361m m m --- =)12
35(3612--m m
∵141<≤e ，∴521
<≤m 。

∴2151≤<m 。

∴4
1502≤<k 。

∴2
15
0≤
<k 。

…………………………16′ 18..已知动圆G 过点F (32，0)，且与直线l ：x ＝－3
2
相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线
E 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2).
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知OA ·OB ＝－9(O 为坐标原点)，探究直线AB 是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4.求△ABC 面积的最大值.
解：(1)依题意，圆心G 到定点F (32，0)的距离与到直线l ：x ＝－3
2
的距离相等，∴曲线
E 是以
F (3
2，0)为焦点，直线l ：x ＝－32
为准线的抛物线.
∴曲线E 的方程为y 2
＝6x .(3分)
(2)当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b (k ≠0). 由2
6y kx b y x
=+⎧⎨
=⎩消去x 得ky 2
－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0. y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 2
16·y 2
26＝(y 1y 2)2
36＝b 2
k
2.
OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6b
k
＝－9，
∴b 2
＋6kb ＋9k 2
＝0，(b ＋3k )2
＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0. ∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k (x －3)， ∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)
当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB 恒过定点(3,0).(8分) (3)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则
x 0＝x 1＋x 22＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 216－y 226
＝6y 1＋y 2＝3y 0
.
∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 0
3(x －2).
令y ＝0，得x ＝5，故C (5,0)为定点.
又直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0
(x －2)，与y 2＝6x 联立，消去x 得y 2－2y 0y ＋2y 2
0－12＝
0.
由韦达定理得y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝2y 2
0－12. ∴|AB |＝1＋
1
k 2
AB
·|y 1－y 2|＝
(1＋y 20
9
)[(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2]
＝
(1＋y 20
9)[4y 20－4(2y 20－12)]＝23
(9＋y 20)(12－y 2
0).
又点C 到直线AB 的距离为h ＝|CM |＝9＋y 2
0， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝13(9＋y 20)2(12－y 2
0)
令t ＝9＋y 2
0(t >9)，则12－y 2
0＝21－t .
设f (t )＝(9＋y 20)2
(12－y 2
0)＝t 2
(21－t )＝－t 3
＋21t 2
， 则f ′(t )＝－3t 2＋42t ＝－3t (t －14).
当9<t <14时，f ′(t )>0；当t >14时，f ′(t )<0.∴f (t )在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.
∴当t ＝14时，[f (t )]max ＝142
×7.故△ABC 面积的最大值为143
7.(13分)
注：第(3)问也可由AB 直线方程y ＝kx ＋b 及x 1＋x 2＝4，推出b ＝3
k
－2k ，然后转化为求
关于k 的函数的最值问题.
19.已知抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为1x )0(1>x ，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线:2
p
l y =
于点M ，当2||=FD 时， 60=∠AFD ．
（Ⅰ）求证：AFQ ∆为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ，交
直线l 于点N ，求PMN ∆面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．
解：(1)设),(11y x A ，则切线AD 的方程为p
x
x p x y 22
11-=，
所以),0(),0,2(
11y Q x D -，12||y p FQ +=，12
||y p
FA +=，所以||||FA FQ =， 所以AFQ ∆为等腰三角形 …………3分
且D 为AQ 中点，所以AQ DF ⊥，
60,2||=∠=AFD DF ，
12
,
60==∠∴p
QFD ，得2=p ，抛物线方程为y x 42= …………7分 （II ）设)0(),(222<x y x B ，则B 处的切线方程为2
22
22x
x x y -=
由)4,2(4
24221212
222
11x x x x P x x x y x x x y +⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=，)1,22(142112
1
1x x M y x x x y +⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-= 同理)1,2
2(
2
2x x N +， 所以面积2
12211221221116)4)(()41)(2
222(21x x x x x x x x x x x x S --=
---+=……① 设AB 的方程为b kx y +=，则0>b
由04442
2=--⇒⎩
⎨⎧=+=b kx x y x b kx y ，得⎩⎨⎧-==+b x x k x x 442121代入①得：
b b
k b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616，使面积最小，则0=k
得到b
b
b S 2)1(+=…………② 令t b =，
②得t t t t t t S 12)1()(3
22++=+=，2
22)1)(13()(t t t t S +-='， 所以当)33,
0(∈t 时)(t S 单调递减；当),3
3(+∞∈t )(t S 单调递增， 所以当33=
t 时，S 取到最小值为9316，此时3
12==t b ，0=k ，
所以3
1
1=y ，即3321=x …………15分。