高中数学第三章推理与证明习题课推理与证明的综合应用课件北师大版选修120830375

础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,
达到灵活解题(jiě tí)的目的.
2.解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过
合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结
论正确性的证明.
3.探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完
备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满
习题课——推理与证明(zhèngmíng)的综
合应用
第一页，共20页。
学 习 目 标
思 维 脉
1.掌握新定义问题的
解题方法.
2.掌握推理与证明的
综合问题的求解方法.
3.掌握探索性问题的
求解方法.
第二页，共20页。
络
1.新定义问题的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,
或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求同学在阅读理解的基
1-(-2)
若存在n,使得Sn≥2 018,
则1-(-2)n≥2 018,即(-2)n≤-2 017.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 017,即2n≥2 017,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有(suǒyǒu)这样的n的集合为
{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
即有-a<
<a,令
2 -1
(2 )-(1)
k=
,有-a<k<a,
2 -1
又 f(x)∈ 1 ,g(x)∈ 2 ,即有-a1<kf<a1,-a2<kg<a2,
因此有-a1-a2<kf+kg<a1+a2,
因此有 f(x)+g(x)∈ 1 + 2 .
答案(dá àn):C
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4
1
答案: n(n+1)(n+2)(n+3)
4
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1
2
3
4
5



4.设 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c 是互不相等的常数),则
+
+
'() '() '()
的值是多少?
解:因为 f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),
故max{|a+b|2,|a-b|2} ≥|a|2+|b|2,故选C.
答案:C
第八页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探索性问题(wèntí
)
【例 2】已知椭圆
2
T: 2

+
2

2 =1(a>b>0)的离心率
6
e= ,A,B
3
是椭
圆 T 上两点,N(3,1)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆
程,联立方程消元得出(dé chū)一元二次方程,利用判别式得出(dé
chū)是否有解.
4.解决是否存在最值问题时,可依据条件,先得出(dé chū)函数解析
式,依据解析式判定其最值是否存在,再得出(dé chū)结论.
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
变式训练2已知Sn是等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}的前n项
第十一页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
反思感悟解决探究性、存在性问题的常用方法
1.解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合
条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.
2.解决是否存在点的问题时,可依据条件,直接探究其结果;也可以
举特例,然后再证明.
3.解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方
区域不大于d(A,B)+d(B,C)的区域,故命题②也正确(zhèngquè),故选A.
答案:A
反思感悟本题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需首先理
解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合,即可知命题①正确,
同时注重数形结合思想的运用,若用韦恩图表示三个集合A,B,C,则可将问题
等价转化为比较集合区域的大小,即确定集合中元素个数多少的比较.
1
2
3
4
5
3.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:
1
先改写第 k 项:k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k·(k+1)],
3
1
由此得 1×2= (1×2×3-0×1×2),
3
1
2×3= (2×3×1×2×3),
3
……
1
n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].
所以 f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),



于是
+
+
'() '() '()



=
+
+
(-)(-) (-)(-) (-)(-)
(-)-(-)+(-)
=
=0.
(-)(-)(-)
C.若 f(x)∈ 1 ,g(x)∈ 2 ,则 f(x)+g(x)∈ 1 + 2
D.若 f(x)∈ 1 ,g(x)∈ 2 ,且 a1>a2,则 f(x)-g(x)∈ 1 - 2
解析:对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),
(2 )-(1 )
和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 018?若存在,求出符合条件的所有n
的集合;若不存在,说明理由.
解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.
2 -4 = 3 -2 ,
由题意得
2 + 3 + 4 = -18,
R 且 x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论正确的是(
)
A.若 f(x)∈ 1 ,g(x)∈ 2 ,则 f(x)·g(x)∈ 1 · 2
()
()
B.若 f(x)∈ 1 ,g(x)∈ 2 ,且 g(x)≠0,则
∈ 1
2
3
相加,得 1×2+2×3+…+n(n+1)
1
= n(n+1)(n+2).
3
类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果
是
(结果写成关于 n 的一次因式的积的形式).
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1
2
3
4
5
解析:先改写第 k 项:k(k+1)(k+2)
1
4
= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],
)
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立
D.命题①不成立,命题②成立
思路分析:分析所给的定义,对每一个命题进行判断,要结合集合
(jí
hé)的运算法则以及韦恩图帮助分析.
第六页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
解析:命题①显然正确(zhèngquè),通过如下韦恩图亦可知d(A,C)表示的
即 x-y-2=0,
代入椭圆方程,整理得 4x2-12x+12-a2=0.
又设 C(x3,y3),D(x4,y4),
12-2
所以 x3+x4=3,x3x4=
,
4
4-2
y3y4=(x3-2)(x4-2)=
,
4
假设存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O,
则 x3x4+y3y4=0,得 a2=8,又 a2>12,故不存在这样的椭圆.
一
探究(tànjiū)
二
新定义问题
【例1】 设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其
中card(A)表示有限集A中元素的个数.
命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条
件;
命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).(
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
解析:根据向量运算的几何意义,即三角形法则(fǎzé),可知
min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|}的大小不确定,由平行四边形法则
(fǎzé)及余弦定理可知,max{|a+b|,|a-b|}所对的角大于或等于90°,
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1
2
3
4
5
1.已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且
中,使得(shǐ de)2Sn<S(n∈N+)恒成立的是(
)
A.a1>0,0.6<q<0.7
B.a1<0,-0.7<q<-0.6
C.a1>0,0.7<q<0.8
D.a1<0,-0.8<q<-0.7
lim Sn.下列条件
T 相交于 C,D 两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出
该椭圆方程;若不存在,请说明理由.
思路分析:先假设存在符合条件的椭圆,将直线方程代入,再利用根与
系数的关系解决.
第九页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
解:(1)由离心率
第十九页，共20页。
1
2
3
4
5
5.已知 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,在 P 点的切线方程的
足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论证,如果可
以得到满足条件的结果,那么可以得出存在性结论;如果得到了与已
知条件等相矛盾的结果,那么说明假设的元素不存在,或者命题不成
立.
第三页，共20页。
【做一做】 在R上定义(dìngyì)运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)
<0的实数x的取值范围是(
-1 2 -1 3 = 1 2 ,
即
1 (1 + + 2 ) = -18,
1 = 3,
解得
= -2.
故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n-1.
第十三页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
(2)由(1)有
3·[1-(-2) ]
Sn=
=1-(-2)n.
1
4
由此得 1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3),
1
2×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4),……,n(n+1)(n+2)
4
1
= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],相加得
4
1
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3).
)
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
解析:x☉(x-2)<0⇒x(x-2)+2x+x-2<0⇒x2+x-2<0⇒-2<x<1.
答案:B
第四页，共20页。
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明. (
=S
→∞
1-
1
解析:由题意得:2a1
<a1 ,(0<|q|<1)对一切正整数恒成立,当 a1>0
1-
1-
n 1
n 1
2 1
时,q > 不恒成立,舍去;当 a1<0 时,q < 恒成立⇒q < ,因此选 B.
2
2
2
答案(dá àn):B
第十五页，共20页。
1
2
3
4
5
2.对于正实数 a,Ma 为满足下述条件的函数 f(x)构成的集合:∀x1,x2∈
)
(2)在解决问题时,常常先用分析法寻找解题的思路(sīlù)与方法,再用
综合法展现解决问题的过程. (
)
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”. (
)
(4)反证法是指将条件和结论同时否定,推出矛盾. (
)
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
第五页，共20页。
探究(tànjiū)
x1+x2=
2
3 +1
,
由 N(3,1)是线段 AB
1 +2
的中点,得
=3,
2
解得 k=-1,代入②得,a2>12,直线 AB 的方程为 y-1=-(x-3),
即 x+y-4=0.
第十页，共20页。
①
②
探究
(tànjiū)一
探究
(tànjiū)二
(2)因为 CD 垂直平分 AB,
所以直线 CD 的方程为 y-1=x-3,
第七页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
, ≥ ,
, ≥ ,
变式训练1记 max{x,y}= , < ,min{x,y}= , < , 设a,b为
平面向量,则(
)
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
6
e= ,可得椭圆
3
T:x2+3y2=a2(a>0).
设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=k(x-3)+1,
代入 x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.
Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,
6(3-1)