2016届高考数学一轮复习 题组层级快练23(含解析)

题组层级快练(二十三)
1.
sin47°－sin17°cos30°
cos17°
＝( )
A ．－3
2
B ．－12
C.12
D.32
答案 C
解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝1
2
.
2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( ) A.1
8 B ．－18
C.47 D ．－47
答案 D
解析 tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝α＋β＋α－β1－
α＋β
α－β＝3＋51－3×5＝－47
. 3．若cos 2
α－cos 2
β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A ．－a
2
B.a
2 C ．－a D ．a
答案 C
解析 sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2
αcos 2
β－cos 2
αsin 2
β
＝(1－cos 2
α)cos 2
β－cos 2
α(1－cos 2
β) ＝cos 2
β－cos 2
α＝－a .
4．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73
B.73
C.57 D ．1
答案 D
解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－1
3
.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
2－131－
－13
＝1.
5．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， ∴cos A ＝－cos(B ＋C )． 又∵cos A ＝2sin B sin C ，
即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝
π
2
，∴B 为钝角． 6．已知sin α＝1213，cos β＝4
5，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )
A.
33
65
B.6365
C ．－1665
D ．－5665
答案 A
解析 因为α是第二象限角，且sin α＝12
13，
所以cos α＝－
1－144169＝－513
. 又因为β是第四象限角，cos β＝4
5，
所以sin β＝－
1－1625＝－35
. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝33
65.
7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π
3 B.2π3 C.π6
D.π4
答案 A
解析 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，
∴
tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.
又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，0<C <π，∴C ＝π
3
.
8．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π
4＋α)等于( )
A ．7
B ．－7 C.1
7 D ．－17
答案 C
解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5，
∴cos α＝－4
5
.
又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－3
4.
∴tan(π
4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－
3
41＋
34
＝17
.
9．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6
2
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a
答案 B
解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，
b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，
c ＝
6
2
＝2sin60°，∴b >c >a . 10．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23
3，则cos A cos B ＝( )
A.14
B.3
4 C.12 D ．－14
答案 B
解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝23
3
，
∴cos A cos B ＝3
4
.
11.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.310
10 B.1010 C.510
D.515
答案 B
解析 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π
4.
在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin ∠BEC ＝
55，cos ∠BEC ＝255
. sin ∠CED ＝sin(π
4－∠BEC )
＝
22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22(255－55)＝1010
. 12．(2013·新课标全国Ⅱ理)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________.
答案 －
10
5
解析 由tan(θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－1
3cos θ.
将其代入sin 2θ＋cos 2
θ＝1，得109
cos 2θ＝1.
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－10
5.
13．化简：
sin
α－πsin α
＋
α－πcos α
＝________.
答案 －4cos2α
解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3α
cos α
＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4α
sin αcos α
＝－4sin αcos α·cos2α
sin αcos α
＝－4cos2α.
14．求值：(1)1sin10°－3
sin80°＝________；
(2)3－sin70°2－cos 2
10°＝________. 答案 (1)4 (2)2
解析 (1)原式＝cos10°－3sin10°
sin10°cos10°
＝12cos10°－3
2
sin10°cos10°
＝－
2sin10°cos10°
＝
－sin20°
＝4.
(2)3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 2
10°＝3－2
10°－2－cos 2
10°
＝4－2cos 2
10°2－cos 2
10°
＝2. 15．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________. 答案 12
解析 tan α·tan β＝1－
tan α＋tan βα＋β＝1－24＝1
2
.
16．(2015·东北三校模拟)若cos(α＋π6)－sin α＝335，则sin(α＋5π
6)＝________.
答案 3
5
解析 ∵cos(α＋π6)－sin α＝33
5，
∴32cos α－12sin α－sin α＝33
5
. 即
32cos α－32sin α＝335，得cos α－3sin α＝65
. ∴sin(α＋5π6)＝sin αcos 5π6＋cos αsin 5π6＝－32sin α＋12cos α＝12(cos α－3sin α)＝12×65＝
3
5
. 17．已知α，β∈(0，π2)，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1
3.
(1)求sin(α－β)的值．
(2)求cos β的值． 答案 (1)－
1010 (2)91050
解析 (1)∵α，β∈(0，π
2)，
从而－π2<α－β<π2.
又∵tan(α－β)＝－1
3<0，
∴－π
2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－
1010
. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝310
10.
∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝4
5.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－10
10) ＝910
50
. 18．(2015·衡水调研卷)已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π
4)，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2
－2＝0.
答案 (1)T ＝2π，最小值为－2 (2)略 解析 (1)∵f (x )＝sin(x ＋7π4－2π)＋sin(x －3π4＋π2)＝sin(x －π4)＋sin(x －π4
)＝2sin(x －π
4
)， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.
(2)∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－4
5
，
∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－4
5，
两式相加，得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤π2，∴β＝π
2.
由(1)知f (x )＝2sin(x －π
4)，
∴[f (β)]2
－2＝4sin
2
π4－2＝4×(22
)2
－
2＝0.
1.
sin7°＋cos15°sin8°
cos7－sin15°sin8°
的值为( )
A ．2＋ 3
B ．2－ 3
C ．2 D.12
答案 B 解析 原式＝
－＋cos15°sin8°
－
－sin15°sin8°
＝
sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－
33
1＋
33
＝3－1
3＋1
＝2－ 3.
2．(2015·杭州外国语学校)已知tan(α＋π6)＝12，tan(β－π6)＝1
3，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵α＋β＝(α＋π6)＋(β－π
6
)，
∴tan(α＋β
)＝
α＋
π6＋
β－
π6
1－
α＋
π6
β－
π6
＝12＋131－16
＝1.
3．已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π
2)，求sin α的值．
答案 －43＋3
10
解析 ∵α∈(－π2，π2)，∴α＋π6∈(－π3，2π
3)．
又sin(α＋π6)＝－45<0，∴α＋π6∈(－π
3，0)．
∴cos(α＋π
6
)＝
1－sin
2
α＋
π6＝35
. ∴sin α＝sin[(α＋π6)－π
6
]
＝sin(α＋π6)cos π6－cos(α＋π6)sin π
6
＝(－45)32－35·12＝－43＋3
10
.
4．已知π2<β<α<3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝12
13，求cos2α的值．
答案 －33
65
解析 ∵0<α－β<π
4，
∴sin(α－β)＝1－cos 2
α－β＝1－
1213
2
＝513
. ∵π<α＋β<3π
2，
∴cos(α＋β)＝－1－sin
2α＋β＝－
1－－
3
5
2
＝－45
.
于是cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝(－45)×1213－(－35)×513＝－33
65.。