高中数学 第一章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想

为你深度剖析独立性检验的基本思想
吃透独立性检验的基本思想,对于广大出学者来说都是首先要解决的一个问题.但这一问题并不是通过一段文字就能说明白的,也不是通过几个数据就能解决的.下面我们就从几个方面加以剖析、说明.
一. 列联表相关的概念：
1.分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.
2．列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两
⨯. 如右图吸烟与患
个值，这样的列联表称为22 Array肺癌的列联表：
由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者
患肺癌的可能性存在差异.
二. 独立性检验的基本思想：
1．独立性检验的必要性（为什么不能只凭列
联表的数据和图形下结论？）：
列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代
表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认
所得结论在多大程度上适用于总体.关于这一点在下面的例题中还要进一步说明.
2．独立性检验的步骤及原理（与反证法类似）：
3.独立性检验的案例展示
案例.某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个成年人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817 人，调查结果是：吸烟的2148 人中49人患肺癌,2099人不患肺癌；不吸烟的7817人中42人患肺癌,7775人不患肺癌.
根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关？
从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表，柱形图，和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系.
在不吸烟者中患肺癌的比重是0.54% ;在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28% .
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大. 通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关.
但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析. 独立性检验就是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法：
用字母表示吸烟与患肺癌的列联表： 不患肺癌 患肺癌 合计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 合计
a+c
b+d
a+b+c+d
样本容量 d c b a n +++=
假设H 0 :吸烟与患肺癌没有关系。

则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：
()()0≈-⇒+≈+⇒+≈+bc ad b a c d c a d
c c
b a a 因此,b
c a
d -越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱.
构造随机变量 ()()()()()
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=2
2
其中d c b a n +++=
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 . 若 H 成立,则2
k 应该很小.把表中数据代入公式得:
()632.5691
98742148781720994249777599652
2
≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k 在 H 成立的情况下,统计学家估算出如下概率:(
)
01.0635.62
≈≥k P . 即在 H 成立的情况下,2
k 的值大于6.635的概率非常小. 因此,我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”. 总结一:解题步骤总结:
第一步：提出假设检验问题H 0：吸烟与患肺癌没有关系↔ H 1：吸烟与患肺癌有关系
第二步：选择检验的指标2
2
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++（它越小，原假设“H 0：吸
烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.
第三步：由下表查表得出结论
总结二:结论的归纳总结：要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设该结论不成立，即假设 “两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造随机变量
2K 应该很小.而如果由观测数据计算得到的2K 的观测值很大,则在一定可信程度上就说明
了假设不成立.根据随机变量2K 的含义,可以通过概率{
}
≈≥ K K P 2
的小概率事件值的大小来评价该假设不合理的程度有多大,从而也可说明”这两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度有多大.即有(
){}
%10012
⨯≥- K K P 的把握.。