查补重难点01 整式相关运算与探索表达规律(原卷版)

查补重难点
01.整式相关运算与探索表达规律
考点一：幂运算与乘法公式1.幂运算公式：⎪⎩
⎪⎨
⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）
（同底数幂的乘法，底n n n n m n m n m n m b a ab a a a a a )()(2.乘法公式：（1）平方差公式：()；
22)(b a b a b a -=-+（2）完全平方公式：()222222
2)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+；题型1.幂运算与乘法公式基本运算
1）符号处理不当：在幂的运算中，很多同学计算时符号容易出错。

计算时，可以先确定计算符号，负数进行运算时，看次方，负数的奇次幂结果为负，偶次幂结果为正。

2）忽视指数为“1”的幂：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。

指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。

3）忽视0指数幂、负指数幂成立的条件：在计算零指数幂或负指数幂时，要注意，底数不能等于0.
4）运用完全平方公式时，①丢掉系数的平分；②丢掉中间乘积项或漏了系数的“2倍”；③不能正确区分中间项符号特征。

5）运用平方差公式时，没找准“a ”与“b ”。

例1.（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是(
)A ．22423m m m +=B ．243·m m m =C ．422m m m ÷=D ．246
()m m =变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出(22)x y +个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则+2x y 的值等于（）
A ．128
B ．64
C ．32
D ．16变式2．（2023·四川成都·统考中考真题）下列计算正确的是（
）A ．22(3)9x x -=-B ．27512x x x +=C ．22(3)69x x x -=-+D ．22
(2)(2)4x y x y x y -+=+题型2.完全平方公式变形求值（知二求二）乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形。

用2222)(b ab a b a +±=±可推导除一些变式（知二求二）：
①2222221()2()2()()2
a b a b ab a b ab a b a b ⎡⎤+=+-=-+=++-⎣⎦；
②()()222222221
2()()()()2ab a b a b a b a b a b a b ⎡⎤=+-+==+--=+--⎣⎦；特殊结构：222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭；2
22112x x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭。

变式1．（2023·江苏·统考二模）已知：2310x x -+=，则22
x x +=________．变式2.（2020·江苏宿迁·中考真题）已知a +b ＝3，a 2+b 2＝5，则ab 的值是．
题型3.完全平分公式含参运用
任意给一个二次三项式是完全平方式求解参数的值：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定参数的值，要注意的是第一项和第三项都是平方项，即第一项可写成±a 的平方，第三项可写为±b 的平方，那么参数的值也有两个。

变式1．（2022·黑龙江·中考真题）已知代数式变式2．（2023·浙江·九年级期中）将16y 2+1再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
题型4.乘法公式的几何验证
利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解。

例1.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①()2222a b a ab b +=++②()2
222a b a ab b -=-+③22()()a b a b a b +-=-④22()()4a b a b ab
-=+-其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（
）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个
变式1．（2023年湖北省随州市中考数学真题）设有边长分别为a 和b (a b >)的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a b +的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片．若要拼一个长为3a b +、宽为22a b +的矩形，则需要C 类纸片的张数为()
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
变式2．（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：()a b c d ad bd cd
++=++公式②：()()a b c d ac ad bc bd ++=+++公式③：()2222a b a ab b -=-+公式④：()2
222a b a ab b +=++图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式()()22a b a b a b +-=-的方法，如图5，请写出
证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，E 为边AC 上任意一点（不与端点重合），过点E 作EG BC ⊥于点G ，作EH AD ⊥F 点H 过点B 作BF //AC 交EG 的延长线于点F ．记△BFG 与△CEG 的面积之和为1S ，△ABD 与△AEH 的面积之和为2S ．
①若E 为边AC 的中点，则12
S S 的值为_______；②若E 不为边AC 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？
若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．考点二：探究与表达规律
探究与表达规律是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。

规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

这类问题，因其独特的规律性和探究性，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求，在近几年全国各地的中考试题中，不仅频频出现规律探究题，而且“花样百出”。

题型1.数与式规律问题
1）从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案；新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在。

3）掌握一些数学思想方法：规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。

例1.（2023·江苏盐城·一模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．
变式1.（2023年湖北省恩施州中考数学真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
-，64，……①
2-，4，8-，16，32
-，71，……②
0，7，4-，21，26
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的
题型2.图形变化规律问题
图形变化规律题常见处理办法：
(1)利用特殊点、特殊图形、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般找规律，进而得出解决问题的方法；
(2)当问题的结论不能唯一确定时，则需要按可能出现的情况加以分类讨论；(3)利用一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似的问题的结论或解决方法，并加以严密论证。

例1.（2021·江苏扬州·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．
A ．20
21B ．61
84C ．589
840D ．431
760
变式2.（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求
题型3.坐标变化规律问题
探究点的坐标变化，先明确动点的运动方式，有时需要制作表格或者画图，来帮助寻找变化规律。

在初中阶段，探究点的规律通常用不完全归纳法来解决。

通过一些点的特殊情况，作出一般性的归纳推理。

这是一种很好的推理手段。

但是在归纳坐标变化规律时，有时需要将坐标进行整理，按照一定方式呈现，如竖排、利用表格等，能将规律体现得明显，有助于规律的发现。

坐标变化规律题常见处理办法：①找出第一周期的几个数，确定周期数；②算出题目中的总数和待求数；③用总数÷周期数=m ……n （表示这列数中有m 个整周期，最后余n 个）；④最后余几，待求数就和每周期的第几个一样。

例变式1.（2023·河南漯河·二模）图，在平面直角坐标系中，123345567，…都是等边三
角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点1A 的坐标为()20，
，点2A 的坐标为(1,，点3A 的坐标为()00，，点4A 的坐标为()2,23…，按此规律排下去，则点2024A 的坐标为（）
A ．(1,10103-
B ．(1,10113-
C ．(2,10123
D ．(210143，
变式2.（2023·山东烟台·二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出米的螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这
组数为半径作90︒的圆弧 122334,,,PP P P P P ，得到一组螺旋线，连接12
2334,,,PP P P P P L ，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点123,,P P P 的坐标分别为(1,0),(0,1),(1,0)-，则点7P 的坐标为（）
A ．(6,1)
B ．(8,0)
C ．(8,2)
D ．(9,2)
-考点三：整式的化简求值
1）整式化简是初中数学的一大要点，主要内容包括整式的加减乘除、乘方运算，方差公式、完全平方公式的运用。

一般运算顺序为：先乘方、再乘除、最后加减。

2）求代数式的值的一般方法是先用数值代替代数式中的每个字母，然后计算求得结果。

3）对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解：
（1）给出代数式中所有字母的值。

该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算。

（2）给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化为可以用已知关系表示的形式，再代入计算。

题型1.先化简，再代入求值化简求值易错点：①多项、漏项：主要是因为在计算的过程中，没有注意运算顺序；②符号错误：单项式乘多项式的运算过程中，搞错了所得项的正负性；③公式用错；④幂的运算错误：混淆幂的运算法则。

例1．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：()()()2
333a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-.变式1．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：2(1)2(1)x x +-+，其中x
变式2．（2024·江苏徐州·模拟预测）先化简，再求值：()()()2
3233x y x y x y +-+-；其中1,2x y ==．题型2.整体代入求值
整体代入法：
变式1．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数y x
=()0x >与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式
11
a b
-的值为（）
A ．12
-
B ．1
2
C ．14
-
D ．
14
变式2．（2021·江苏苏州·中考真题）若21m n +=，则2366m mn n ++的值为
．
题型3.利用根与系数的关系化简求值
利用根与系数的关系求解：
如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值。

例1．（2023·江苏盐城·二模）若方程2220270x x --=的两根为1x ，2x ，则2
11242x x x --的值为
．
变式1．（2023·江苏南京·二模）若α、β为2240x x +-=的两根，则22ααβα++的值为
．
变式2．（2023·四川成都·三模）若,a b 是一元二次方程2
520x x --=的两个实数根，则32
52
a a b
a ++的值为
．
题型4分式的化简求值
分式化简的易错点：（1）分式化简与分式方程混淆，通分后去掉分母。

（2）丢掉符号：分式化简中最关键的步骤是通分，不仅要考虑最简公分母，也要注意符号的变化。

（3）求值时，代值错误：当所给值不唯一时，一定要注意选值时应该使原分式和化简过程中的分式都有意义，即保证分母不为0。

例1．（2024·江苏连云港·模拟预测）先化简，再求值：2
12111
x x x -⎛
⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中x 是方程2230x x --=的根．变式1．（2024·江苏连云港·一模）先化简，再求值：22211
2x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪+⎝⎭
，其中2x =-．变式2．（2023·江苏·九年级校考阶段练习）先化简222221211x x x x x x x x
+÷-++++，当22x -<<时，取适当的整数x
并求出代数式的值．
考点四：因式分解
1.因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2.因式分解的基本方法：1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++；2）运用公式法：平方差与完全
平方公式；3）十字相乘：()2
()()a p q a pq a p a q +++=++；4）分组分解。

3.分解因式的一般步骤：“一提，二套，三十字，四分组，五检查”。

题型1.因式分解
因式分解易错点：①概念错误：概念不清，发生了因式分解的结果不是整式的积的情形；②公式用错型：平方差公式和完全平方公式的本质形式没有分清，搞懂；③分解不彻底。

因式分解步骤：1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。

例1.（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式：244m m ++=．变式1．（2024·江苏南京·一模）分解因式：(2)2x x x +--=．变式2．（2024·江苏宿迁·一模）因式分解：224x y -=．
题型2.因式分解的应用
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2）因式分解必须是恒等变形；3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止；
4）因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。

例1.（2022·江苏苏州·中考真题）已知4x y +=，6-=x y ，则22x y -=．
变式1．（2021·江苏扬州·中考真题）计算：2220212020-=
．
变式2.（2023·河南·八年级期末）边长为a ，b 的长方形的周长14，面积10，则33222a b ab a b ++的值为．
专项训练
1.（2023·江苏扬州·中考真题）若23( )22a b a b ⋅=，则括号内应填的单项式是()A ．a
B ．2a
C ．ab
D ．2ab
2．（2023年湖南省常德市中考数学真题）若2340a a +-=，则2263a a +-=()
角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5
层，…；如图中画出了最上面的四层．若用n a 表示第n 层的弹珠数，其中n ＝1，2，3，…，则123
111a a a ++＋…
＋
19
1
a ＝（）
A ．
1920
B ．
1910
C ．
2021
D ．
4021
6．（2023·湖南常德·模拟预测）若a 是不为1的有理数，则我们把
1
1a
-称为a 的差倒数，如2的差倒数为1
112
=--，1-的差倒数为
()11112=--，已知：13a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，依次类推，2023
a
的值是（）
A ．3
B ．12
-
C ．
23
D ．13
-
7．（2023·河南周口·二模）如图，在四边形ABCD 中，顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，2AD =，4OB =，
10BC =，90ADC ∠=︒，CD x ∥轴，CD 交y 轴于点.E 将四边形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，
则第2023次旋转结束时，点C 的坐标为（）
A ．()8,2
B ．()8,2-
C ．()2,8
D ．()
2,8--8．（2023·江苏泰州·二模）m 、n 为正整数，22122m n m n ++=+，则m n +的值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．（2023·山东菏泽·三模）设m 、n 是方程220230x x --=的两个实数根，则22m m n --=．
10．（2024·江苏常州·模拟预测）直线32y x =-+过点(),P a b ，则622023a b ++值为
．
11．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的
倍．
12．（2022·江苏常州·中考真题）分解因式：22x y xy +=
．
16．（2023·江苏苏州·二模）若x 满足，则10095x x -+-=．
17．（2024·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：
11a a a a ⎛⎫
⎪⎝
+-⎭÷，其中2a =-．18．（2023·江苏常州·一模）先化简，再求值∶2()(2)x y x x y --+，其中1
,23
x y ==-．
19．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知30a b >>，a
M b
=
，13a N b +=+，试比较M 与N 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较21x +与21x -的大小．
小华：∵()
()()2
22
121121110x x x x x +--=+-+=-+>，
∴2121x x +>-．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：
23
68
__________2265．（填“>”“=”或“<”）【规律发现】请用含n 的式子填空：(1)第n 个图案中“”的个数为(2)第1个图案中“★”的个数可表示为122
⨯，第2个图案中“★”的个数可表示为数可表示为
342⨯，第4个图案中“★”的个数可表示为45
2
⨯，……“
”。