Removed_向量内积的坐标运算与距离公式

:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——
2． ab ； 入
3． | a | 与 a·a有何关系？
回忆旧知识． 师：对平面向量的内积的
研究不能仅仅停留在几何角度，
还要寻求其坐标表示．引出探
究问题．
已知 e1，e2 是直角坐标平面上的基
学生讨论并回答，教师再
问题为复习向量
向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能 提出的下列问题：
A→B＝(x2－x1，y2－y1)． 因为| a |＝ a12＋a22，所以
使刚刚学过的知
教师提出问题．
识及时得到应用．
学生讨论解答．
教师总结得出这就是根据
|A→B|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2， 这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式．
两点的坐标求两点之间的距离 公式．
例 1 设 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
例 2 已知 A(2，－4)，B(－2，3)， 求|A→B|．
解 因为 A(2，－4)，B(－2，3)，
巩固公式，形成
所以
新
A→B＝(－2，3) －(2，－4)
教师点拨，学生解答． 技能． 教师针对学生的回答进行
课
＝(－4，7)，
点评．
所以|A→B|＝ 72＋(－4)2＝ 65．
例3
已知 A(1，2)，B(3，4)，
算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，
从而有利于学生知识体系的形成．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
1．已知非零向量 a 与 b ，则 a
教师提出问题．
为知识迁移做准
与 b 的内积表达式是怎样的？由内积表
学生回忆解答．师生共同 备．
达式怎样求 cos‹a，b›？ 导
求：
(1) a·b； (3) | b |；
(2) | a |； (4)‹a，b›．
通过例 1 可让学 学生尝试解答．教师针对 生加深对向量内积的
解 (1) a·b＝3×1＋(－1)×(－2) 学生的回答进行点评．
直角坐标运算公式及
＝3＋2
向量的长度公式的理
＝5； (2) | a |＝ 32＋(－1)2＝ 10； (3) | b |＝ 12＋(—2)2＝ 5；
，e1·e2 的内积是怎样计算的？ 生的特点，容易被学
课
＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，
又因为
生接受．通过结论的 教师针对学生的回答进行 探究，让学生初步感
e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0， 点评．师生共同写出详细的探 受到无论是向量的线
所以
究过程．
性运算还是向量的内
a·b＝a1b1＋a2b2．
结 主要有：
结本节课的知识点．
进行强调和总结．
(1)直接用两向量的坐标计算内积；
(2)根据向量的坐标求模；
(3)根据两点坐标求两点间的距离；
(4)判定两向量是否垂直．
教材 P56 练习 A 组第 1 题； 作
教材 P57 练习 B 组第 1 题(选做) 业
．
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的线性运算和向量的
推导出 a·b 的坐标公式吗？
（1）(a1e1＋a2e2)·(b1
内积而设计．通过学
探究过程
e1＋b2 e2)是怎样进行运算的？ 生的探究给出结论，
a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)
（2）e1·e1，e2·e2
比直接给出更符合学
新
＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2
解和记忆．
(4) 因为
ab
cos‹a，b›＝
＝＝，
| a || b |
π 所以‹a，b›＝4．
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可得 A→B·A→C＝(1，1)·(－3，3)＝0． 所以A→B A→C．
通过学生讨论， 老师点拨，可以突出
解题思路，深化解题
练习
教师点拨，学生解答． 步骤，分解难点．顺
1．已知 A(1，2)，B(2，3)，
教师针对学生的回答进行 利帮助学生完成．
π C(－2，5)，求证： BAC=2． 新
:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——
我们还可以得到以下结论：
(1)向量垂直的充要条件为
a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0； (2)两向量夹角余弦的计算公式为
在教师的引导下学生讨论 得出．
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巩固拓展．
向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】 1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问 题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．
3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互
联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．
C(5，0)，求证：△ABC 是等腰三角
形．
证明 因为
A→B＝(3－1，4－2)＝(2，2)， A→C＝(5－1，0－2)＝(4，－2)， →BC＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，
教师点拨，学生讨论解 答．
在板书证明的过 程中，突出解题思路 与步骤．
|A→C|＝ 42＋(－2)2＝ 20， |→BC|＝ 22＋(－4)2＝ 20， 所以|A→C|＝|→BC|．
点评．
2．已知点 P 的横坐标是 7，点 P 课
到点 N(－1，5)的距离等于 10，求点 P
的坐标．
学习新知后紧跟
练习，有利于帮助学
生更好的梳理和总结
师生合作共同完成．
本节所学内容．有利
于教师检验学生的掌
握情况．
本节课我们主要学习了平面向量内
学生阅读课本,畅谈本节
梳理总结也可针
小 积的坐标运算与距离公式，常见的题型 课的收获，老师引导梳理，总 对学生薄弱或易错处
【教学难点】
向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与 a·b＝a1b1＋a2b2 两个 式子的内在联系．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内
容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运
积运算，最终都归结 为直角坐标运算．
定理 在平面直角坐标系中，已知
e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，两
教师给出向量内积的直角
个非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 坐标运算公式．并引导学生用
则
文字叙述．
a·b＝a1b1＋a2b2． 这就是说，两个向量的内积等于它
们对应坐标的乘积的和．
小组讨论时教师巡视，并 针对学生的回答给予补充、完 善．最后师生共同完成此
因此△ABC 是等腰三角形．
题．教师给出具体的解题步
骤．
例4
已知 A(1，2)，B(2，3)，
C(－2，5)，求证：A→BA→C．
证明 因为 A→B＝(2－1，3－2)＝(1，1)， A→C＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，
＝a12＋a22， 所以| a |＝ a12＋a22．
向量的坐标求向量长度的计算 a·b＝a1b1＋a2b2 的
公式．
理解．从而提高学生
这就是根据向量的坐标求向量长度
的思维能力．
的计算公式．
(2)若已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，你 能求出|A→B| 吗？
解 因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所 以
cos‹a，b›＝ ．
问题：
通过对问题的详
(1)若已知 a＝(a1，a2) ，你能用上
Байду номын сангаас
教师提出问题，稍加点 细探究得到性质，比
面的定理求出| a | 吗？ 新
拨．
直接给出结论更容易
解 因为 课
学生讨论解答．
被学生接受．同时加
| a |2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)
教师总结得出这就是根据 深对